1、 第 1 页 共 13 页2015-2016 学年上海市徐汇区高二上学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共 12 小题，每个空格填对得 3 分，否则一律得 0分.1直线 3x4y5=0 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）2若=（ 5，4） ，=（7，9） ，则与同向的单位向量的坐标是 3若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 a+b= 4行列式中中元素3 的代数余子式的值为 7，则 k= 5以点 P（3，4）和点 Q（ 5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是 6若顶点在原点的抛物线的焦点与圆 x2+y24x=0 的圆心重合，则该抛物线的准线方程为 7在ABC 中，|
2、AB |=3， |BC|=7，|CA |=5，则在方向上的投影是 8已知双曲线 kx2y2=1 的一条渐进线的方向向量=（2， 1） ，则 k= 9在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点，AB=3 ，BD=1，则= 10已知 F1、F 2 是双曲线 C：=1（a0，b0）的两个焦点，P 是双曲线 C 上一点，且，若PF 1F2 的面积为 16，则 b= 11若点 O 和点 F 分别为椭圆+y 2=1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2 的最小值为 12在平面直角坐标系中，两个动圆均过点 A（1，0）且与直线 l：x=1 相切，圆心分别为C1、C 2，若动
3、点 M 满足 2=+，则 M 的轨迹方程为 第 2 页 共 13 页二、本大题共 4 小题，每小题 4 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13 “”是 “方程组有唯一解”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条C充要条件 D既不充分又不必要条件14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ）A4 B5 C6 D715已知集合 P=（x，y）|x|+2|y|=5，Q=（x，y）|x 2+y2=5，则集合 PQ 中元素的个数是（ ）A0 B2 C4 D816已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为 y=x（a0，b0） ，若双曲线上有一点 M（x 0，y 0） ，
4、使 b|x0|a|y 0|，则该双曲线的焦点（ ）A在 x 轴上 B在 y 轴上C当 ab 时，在 x 轴上 D当 ab 时，在 y 轴上三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共 5 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知：、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若|=2，且，求的坐标；（2）若|=，且+2与 2垂直，求与的夹角 第 3 页 共 13 页18已知直线 l 经过点 P（2 ，） ，并且与直线 l0：xy+2=0 的夹角为，求直线 l 的方程19如图所示，A（2，0） 、 B、C 是椭圆 E： +=1（ab 0）上的三点，BC 过椭圆 E 的中心且斜率为
5、1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形（1）求椭圆 E 的方程；（2）求ABC 的面积20如图所示的封闭区域的边界是由两个关于 x 轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是 x2+y24y4=0，双曲线的左右顶点 A、B 是该圆与 x 轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于 x 轴的一条直径的两个端点（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为 F1、F 2，试在封闭区域的边界上求点 P，使得F 1PF2 是直角21对于曲线 C：f（x，y）=0，若存在非负实常数 M 和 m，使得曲线 C 上任意一点P（x，y）有 m|OP|M
6、成立（其中 O 为坐标原点） ，则称曲线 C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线” ，并将最小的外界 M0 成为曲线 C 的外确界，最大的内界 m0 成为曲线 C 的内确界（1）曲线 y2=4x 与曲线（x 1） 2+y2=4 是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；第 4 页 共 13 页（2）已知曲线 C 上任意一点 P（x，y）到定点 F1（1，0） ，F 2（1，0）的距离之积为常数a（a0） ，求曲线 C 的外确界与内确界第 5 页 共 13 页2015-2016 学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分 36
7、分）本大题共 12 小题，每个空格填对得 3 分，否则一律得 0分.1直线 3x4y5=0 的倾斜角的大小为 arctan （结果用反三角函数值表示）【考点】直线的倾斜角【分析】根据所给的直线 3x4y5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到 tan=，0，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果【解答】解：直线 3x4y5=0，直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，tan=，0，=arctan，故答案为：arctan 2若=（ 5，4） ，=（7，9） ，则与同向的单位向量的坐标是 （，） 【考点】平行向量与共线向量【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量
8、即可【解答】解：=（ 5，4） ，=（7，9） ，=（12，5） ，|= =13；与同向的单位向量的坐标为=（，） 故答案为：（，） 3若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 a+b= 2 【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则 a+b=1+1=2，故答案为：24行列式中中元素3 的代数余子式的值为 7，则 k= 3 【考点】三阶矩阵【分析】由题意可知求得 A12=k+4，代入即可求得 k 的值第 6 页 共 13 页【解答】解：由题意可知：设 A=，元素3 的代数余子式 A12=k+4，k+4=7，k=3，故答案
9、为：35以点 P（3，4）和点 Q（ 5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是 （x+1）2+（y5 ） 2=17 【考点】圆的标准方程【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程【解答】解：点 P（3，4）和点 Q（ 5，6） ，以点 P（3，4）和点 Q（ 5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（ 1，5） ，圆的半径 r=圆的方程为：（x+1） 2+（y5） 2=17故答案为：（x+1） 2+（y5） 2=176若顶点在原点的抛物线的焦点与圆 x2+y24x=0 的圆心重合，则该抛物线的准线方程为 x=2 【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程【分析】
10、由已知得抛物线的焦点 F（2，0） ，由此能求出该抛物线的准线方程【解答】解：顶点在原点的抛物线的焦点与圆 x2+y24x=0 的圆心重合，抛物线的焦点 F（2，0） ，该抛物线的准线方程为 x=2故答案为：x=27在ABC 中，|AB |=3， |BC|=7，|CA |=5，则在方向上的投影是 【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用余弦定理求出 A，则与的夹角为 A【解答】解：cosA= 第 7 页 共 13 页在方向上的投影是| cos（A）=3= 故答案为8已知双曲线 kx2y2=1 的一条渐进线的方向向量=（2， 1） ，则 k= 【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题设条件知求出渐
11、近线的斜率，建立方程求出 k【解答】解：双曲线 kx2y2=1 的渐近线的一条渐近线的方向向量= （2，1） ，渐近线的斜率为=，k=故答案为：9在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点，AB=3 ，BD=1，则= 【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案【解答】解：如图，AB=3，BD=1，B=60 ，=故答案为：10已知 F1、F 2 是双曲线 C：=1（a0，b0）的两个焦点，P 是双曲线 C 上一点，且，若PF 1F2 的面积为 16，则 b= 4 【考点】双曲线的简单性质【分析】Rt PF 1F2 中，由勾股定理及双曲线的定义，PF 1
12、F2 面积为 16，即可求出 b【解答】解：设|PF 1|=m，|PF 2|=n，得F 1PF2=90，m 2+n2=4c2，PF 1F2 的面积为 16，mn=324a 2=（mn） 2=4c264，b 2=c2a2=16，b=4故答案为：411若点 O 和点 F 分别为椭圆+y 2=1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2 的最小值为 2 【考点】椭圆的简单性质【分析】先求出左焦点坐标 F，设 P（x，y） ，根据 P（x ，y）在椭圆上可得到 x、y 的关系式，表示出|OP| 2+|PF|2，再将 x、y 的关系式代入组成二次函数进而可确定答案第 8 页
13、共 13 页【解答】解：由题意，F（ 1，0） ，设点 P（x，y） ，则有 +y2=1，解得 y2=1，因为|OP| 2+|PF|2=x2+y2+（x +1） 2+y2=x2+（x+1） 2+2x2=（x+1） 2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x=1，|OP|2+|PF|2 的最小值为 2故答案为：212在平面直角坐标系中，两个动圆均过点 A（1，0）且与直线 l：x=1 相切，圆心分别为C1、C 2，若动点 M 满足 2=+，则 M 的轨迹方程为 y 2=2x1 【考点】轨迹方程【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为 y2=4x，利用 2=+，确定坐标之间的关系，即可求出
14、 M 的轨迹方程【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为 y2=4x，设 C1（a，b） ， C2（m，n） ， M（x，y） ，则2=+，2（xm，y n）=（am，bn）+（1 m，n） ，2x=a+1，2y=b，a=2x 1，b=2y，b 2=4a，（2y） 2=4（2x 1） ，即 y2=2x1故答案为：y 2=2x1二、本大题共 4 小题，每小题 4 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13 “”是 “方程组有唯一解”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条C充要条件 D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据两直线间的
15、位置关系，从而得到答案【解答】解：由a1 b2a 2 b1，直线 a1x+b1y=c1 和直线 a2x+b2y=c2 不平行，方程组有唯一解，故选：C14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ）第 9 页 共 13 页A4 B5 C6 D7【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 S=0 时，满足继续循环的条件，故 S=1，k=1；当 S=1 时，满足继续循环的条件，故 S=3，k=2；当 S=3 时，满足继续循环的条件，故 S=11，k=3；当
16、S=11 时，满足继续循环的条件，故 S=2059，k=4；当 S=2049 时，不满足继续循环的条件，故输出的 k 值为 4，故选：A15已知集合 P=（x，y）|x|+2|y|=5，Q=（x，y）|x 2+y2=5，则集合 PQ 中元素的个数是（ ）A0 B2 C4 D8【考点】交集及其运算【分析】做出 P 与 Q 中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断【解答】解：对于 P 中|x|+2|y|=5，当 x0，y0 时，化简得：x+2y=5；当 x0，y0 时，化简得：x2y=5；当 x0，y0 时，化简得：x+2y=5；当 x0，y0 时，化简得：x 2y=5，对于 Q 中，x 2
17、+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合 PQ=，即 PQ 中元素的个数是 0 个，故选：A16已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为 y=x（a0，b0） ，若双曲线上有一点 M（x 0，y 0） ，使 b|x0|a|y 0|，则该双曲线的焦点（ ）A在 x 轴上 B在 y 轴上C当 ab 时，在 x 轴上 D当 ab 时，在 y 轴上【考点】双曲线的简单性质【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得0，即可判断出焦点的位置【解答】解：a|y 0|b|x 0|0平方 a2y02b 2x02 0焦点在 y 轴第 10 页 共 13 页故选：B三、解答题（本大题满分
18、 48 分）本大题共 5 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知：、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若|=2，且，求的坐标；（2）若|=，且+2与 2垂直，求与的夹角 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角【分析】 （1）设，由|=2，且，知，由此能求出的坐标（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角 【解答】解：（1）设，|=2，且，解得或，故或（2），即，整理得，又0，=18已知直线 l 经过点 P（2 ，） ，并且与直线 l0：xy+2=0 的夹角为，求直线 l 的方程【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】根据条件求出直线 l 的倾斜角，可得直线 l 的斜率，再用点斜式求得直线 l 的方程【解答】解：由于直线 l0：x y+2=0 的斜率为，故它的倾斜角为 ，由于直线 l 和直线 l0：xy+2=0 的夹角为，故直线 l 的倾斜角为或，故直线 l 的斜率不存在或斜率为 再根据直线 l 经过点 P（2， ） ，可得直线 l 的方程为 x=2，或 y=（x+2） ，即 x=2，或 x+y1=0如图：
