1、分类号: O174.14 单位代码 : 密 级: 一般 学 号:本科毕业论文（设计）题 目: 多项式理论在初等数学中的应用专 业: 数学与应用数学 姓 名: 指导老师: 职 称: 答辩日期: 二一三年五月十八日 延安大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担作者签名：_ 日期：_关于论文使用授权的说明学位论文作者完全了解延安大学有关保留和使用论文的
2、规定，即：本科生在校攻读学士学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学，学生公开发表需经指导教师同意学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或者其他复制手段保存、汇编学位论文保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在 2 年解密后适用本授权书非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书作 者 签 名：_ 日期：_ 指导教师签名：_ 日期：_ 0多项式理论在初等数学中的应用摘 要:多项式理论是高等代数的主要内容之一,它与初等数学有着密切的联系，它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题.本文将
3、从因式分解、一元高次方程、多项式的恒等、证明一类数是无理数等方面来探究多项式理论在初等数学中的应用，并给出了若干应用方法，彻底解决了一元多项式的理论问题，促使师范专业的学生了解到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等代数之间的联系，加强学生对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的教师提供帮助.关键词:因式分解;一元高次方程;多项式的恒等;艾森斯坦判断法Polynomial theory in the applicationof elementary mathematicsAbstract: Polynomial theory is one of the main content
4、of advanced algebra, it is closely related with elementary mathematics, it solves many legacy of polynomial in elementary mathematics. This paper will explore the application of polynomial theory in elementary mathematics from factorization ,a high degree univariate equation,polynomial identity,to p
5、rove that a class is an irrational number etc, and introduce some applicable methods, thoroughly solve the problem of polynomial theory, prompting normal professional students to understand the guidance function of advanced algebra to elementary mathematics, to understand the link between elementary
6、 mathematics and advanced algebra, to strengthen the student to the study of polynomial theory, in order to help the middle school mathematics teacher in the future.Key words: Factorization; A high degree univariate equation; Polynomial identity; Eisenstein judgment method10 引言 多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代
7、数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都常遇见它.但因为高等代数与初等数学在研究对象、方法上出现了不同，加之它的抽象性，造成许多数学专业的大学生认为， “教中学用不上高等代数” ，因此许多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视.那么如何运用高等代数来指导中学数学便成了值得探讨的问题. 本文将运用高等代数中的多项式理论方面的知识来处理初等数学中的一些遗留问题.通过一些实例，使师范院校的学生充分了解到高等代数对初等数学的指导作用.1 判断能否分解因式多项式的因式分解是指在给定的数域 上，把一个多项式表示成若干个不可约多F项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可
8、约.例如多项式 在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项2x式的乘积，但这个多项式在实数域上可约，因为 .)2(2xx因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨.51.1 待定系数法按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数.例 1 判断 在有理数域上能否分解因式.43281x解 令 ，因为 ，所以 无一次因式.若一个整()fx(1)0f()fx系数 多项式 在有理数域上可
9、约，那么 总可以分解成次数都小于 的0n()f n两个整数系数多项式的乘积.则可设 ，其 中 为 整 数 .221fxmnm,即 4343281()xmnn比较等式两端的对应项系数，得 08 由知 或 ，若 ，则 但 ；若 ，则0n2n820m0n，但 ，所以 不可约.即 在有理数域上不能分解因式.2m82()fx()fx1.2 艾森斯坦判断法 定理 1 （艾森斯坦判断法）设 是一个整系数多项式.若 01()nfxax是能够找到一个素数 使p2（i) 最高次项系数 不能被 整除；nap(ii) 其余各项的系数都能被 整除；（iii) 常数项 不能被 整除，02那么多项式 在有理数域上不可约.x
10、f例 2 判断 在有理数域上能否分解因式.1n解 令 ，易找到素数 ，满足上述条件， ， ， ，()fp21|2故 在有理数域上不可约.即 在有理数域上不能分解因式.()f 2nx艾森斯坦判断法不是对于所有整系数多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数 不一定存在.若是对于某一多项式 找不到这样的素数 ，那么 可能p )(xf p)(xf在有理数域上可约，也可能不可约.例如，对于多项式 与 来说，都找23x21不到一个满足判断法的条件素数 ，但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一p个多项式不可约.虽然有时对于某一多项式 来说， 艾森斯坦判断法不能直接应)(f用，但是我们可以把 适当变形
11、后，就可以应用这个判断法，例如 ，令()fx 2得 ，因为 ， ， ，所以 在有理数域上不1xy2()gy21|221x可约.以上通过待定系数法和艾森斯坦判断法，我们就可以知道多项式能否分解因式.2 分解因式在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便、特殊，如提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题.2.1 综合除法 2综合除法用以寻找所给整系数多项式 的一次因式， 有因式 的充要()fx()fxa条件是 ， 就是 的一个根.当 是有理数时，可用综合除法试除予以确定 .这()0fa()fxa种方法
12、的依据是：如果整系数多项式 011afnn有因式 （ ， 是互质的整数）则 一定是 的约数， 一定是 的约数. qxppq0a具体做法是：（1）先写出整系数多项式 的首项系数 和常数项 的所有因数，然后以()fxna0的因数为分母， 的因数为分子，做出所有可能的既约分数（包括整数） ，如果na0a有有理根，则必在这些既约分数中，因此它们是 可能的试除数.()fx ()fx（2）从上述既约分数中合理地选择试除数.首先，1 与 -1 永远在有理数 中出jipq现，计算 .若 ，则 是 的有理根.若有理数 是 的f（ ） f（ 1） =01()fx(1)(fx3有理根，则只需对那些使商 与 都是整数
13、的 来进行试除.（假定 都(1)f)fjipq(1)f不等于零，否则可以用 或 除 而考虑所得的商式.）x(fx（3）选好试除数后，即用综合除法试除.例 3 在有理数域上分解多项式 .326+154解 这个多项式的最高次项系数 的因数是 ，常数项 的因数是1.所 以 可 能 的 有 理 根 是 .我们算出， .所1,27,4,7, ()4,()36ff以都不是 的根.另一方面，由于 都不是整数，所以()fx4,12都不是 的根.但 都是整数，所 以 有 理 数 2在 试 验 之 列 ，2,714()f,应用综合除法 | 2165148470所以 是 的一个根，同时我们得到 .容易看出， 不是2
14、()fx 2()(47)fxx2的一个重根.从而()f 2()4fx应用综合除法分解多项式可以使解题思路清晰，解题过程简洁，不易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上.如果多项式需要试除的因子过多，则每个因子都要进行一次相应的综合除法，这就给计算增加了困难.2.2 待定系数法用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件，判定原式分解后形成的因式乘积的形式，然后再列方程（组）确定待定系数的值.例 4 在有理数域上分解多项式 .435x解 先用综合除法，可能的试除数是 ， ，试除结果都被排除，因此原式在1有理数域上没有一次因式.假定原式含有 的二次因式，设43224325()()()()()xxm
15、kxnlxmnklxmlnkxl比较等式两端对应项的系数，得方程组 1053lnkl 上面的 同是原式常数项 的因数，因此 和 的值可能有下面四组.,kl3l或 或 或13ll1kll4将 代入 式 得 13kl35mn将、联立，解得 .1,2但是 不满足式,因此不是方程的解.31,32mnkl将 代入 ，得 kl5mn将、联立，解得 .1,2并且 满足，因此是方程组的解.1,23mnkl所以 4353xxx待定系数法比较简单，也容易理解，但会涉及到解多个方程组，计算量往往会加大.只有在分解因式前先观察最高次项系数与常数项系数，再找出多项式的所有有理根，才能有效降低待定系数法的难度.2.3 分
16、离重因式法 34设 有典型分解式()0,()ofxf，rkkkxpxapf )()()(21若 ,有 且 不能被 1)(,）（ f 11 gxr ()x()ipx整除.利用最大公因式法得）（ ri2.121 )()(),( rkkkxxff 令 比较上述有关式子可知 .上述意思是若(),fxfg1()qp用 除以 ，则得商 是一个与 具有完全相同的不可约因式而没fxqf有重因式的多项式.由此得思想：若将 能分解的话，便知 的不可约因式，再()fx确定每个不可约因式在 的重数（作带余除法直至不能整除）()f例 5 在有理数域上分解多项式 .4325648fx解 第一步：求 ，fx 321f第二步
17、：求 ， (),(),(fx第三步：由带余除法得： 2)()第四步：分解 ：qx第五步：确定每个因数的重数， ，(1f21()fx3()=1(2)fx分离重因式法是线性代数中的一种基本方法，用途十分广泛，但它必须建立在多项式有重因式的基础上，否则就无法使用.因式分解是一项重要的基本技能训练，在分式运算，解方程和各种恒等变换中都要经常用到因式分解，所以对因式分解我们应给予足够重视.53 一元高次方程定理 2 设 中 次多项式 在复数域1()Fx0)n100()(1)nnfxaxaC 中有 个根 则根与系数的关系是n2,10()na21310n3123124210( )nna11213230()
18、)nnnnna 1210nnn定理 3 （代数基本定理）任何 次多项式在复数域上至少有一个根.1 )0(定理 4 若实数多项式 有一个非实的复数根 ，那么 的共轭根 也是)(xf 的根，并且 与 有同一重数.换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成)(xf对.3.1 已知方程的所有的根，求方程.例 6 求所有以有理数 为根的方程,pqm320xpqm解 利用根与系数的关系知 满足,pqm （i）若 (或 )，由知 ，代入得 （或 ）0q0m0qp（ii）若 ，但 ，由得 ，代入得 ，显然，,p1p2是方程 的根；1,232x（iii）若 均不为 0，由得 代入得 这个方,mq4320q程有且
19、仅有一个有理根 ，从而 ， .显然 有根 1 和重1qp1mx根 .1综上所述，所求方程为 或 或30x320x3210例 7 求有单根 与 以及二重根 的四次多项式.5526解 由根与系数的关系知：，1(523)9a， 2(2)317，353.4()0因此所求多项式是 或43291790fxx（ ）.aaa3.2 已知方程的部分根，求解方程.例 8 已知方程 有一个根是 ，解此方程.42350x132i解 因为实系数方程的虚根成对出现，故 也是上述方程的根，由代数基i本定理可知此方程有 个根,设此方程其余两根为 、 ，由根与系数的关系得4133(2413)()24iii）解 得 ,即 是 所
20、 给 方 程 的 二 重 根 ， 所 以 原 方 程 的 根 为 , , .12 12ii12此题还可用综合除法求得 是所给方程的二重根，然后再利用实系数多项式的12非实复根两两成对理论求出方程的另一根.3.3 已知方程组，求方程组的解.形如方程组 其中 ， 都是一元高次方程，求方程 的()0fxg()fxg()0fxg解.对于这类题，我们可以考虑从方程组的公共根出发，利用辗转相除法求 和f的最大公因式，再令其等于零.()gx例 9 解方程组4324305xx解 令 ， ，对 ， 施432()f32()543gx()fxg行辗转相除法，求得 ，令 ，得 .即原方程组的解是(),fxg.3x74
21、 多项式的恒等定理 5 （多项式恒等定理）数域 F 上的两个多项式1110()nnfxaxaxmgbb恒等的充要条件是它们的次数相同，且同次项系数对应相等即 ，且nm(1,2)iab例 10 对于任意的实数 ,不等式 恒成立，求xy226900xyxy满足条件的 .,解 要使上述不等式成立，只要 是一个实数式的平方n加上一个正数 ,于是令22 2690(3)()mnaR则 22 26906xyxmynxyaxy由定理 5 知 16010ann所以当 ，且 时，原不等式恒成立.60m例 11 若 为任意实数，证：直线系a必经过定点222(3)(5)(43)axya证明 将上述直线系转化成关于 的恒等式410yx此恒等式对于任意实数 是恒成立的，所以由定理 5 知解得 234510yx12xy故直线系 必经过定点（1，-2）.222(3)()(3)0aaya定理 6 如果数域 上有两个次数不大于 的多项式 和 ，对于 的1Fn()fxgx个不同的值都有相等的值，那么它们恒等，即 .n (f例 12 求证 其中 为互不相等的()()xbcxxbabac,abc复数.证明 令 ()()()=xcxxfbcb它是一个二次式，但当 分别以 代入时有 且 ，根,a()1fafcabc据定理 6，有 ()()()xcxxac
