1、1由角平分线想到的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一） 、截取构全等如图 1-1，AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例 1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分ABC，CE 平分BCD，点 E 在
2、AD 上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长 BE
3、 与 CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。例 2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC图 1-1OABDEFC图 1-2ADB CEF2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例 3 已知：如图 1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1 已知在ABC 中，AD 平分BAC，B=2
4、C，求证：AB+BD=AC2 已知：在ABC 中，CAB=2B，AE 平分CAB 交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE3 已知：在ABC 中，ABAC,AD 为BAC 的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CMAB-AC4 已知：D 是ABC 的BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点，连接 DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二） 、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。图 1-3ABCDE图 1-4AB CDE图 2-1A
5、BCDEF3求证：ADC+B=180 分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC 与B 之和为平角。例 2 如图 2-2，在ABC 中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例 3 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC的平分线也经过点 P。分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等。练习：1如图 2-4AOP=BOP=15 ，PC/O
6、A，PDOA， 如果 PC=4，则 PD=（ ）A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC 中，C=90 ，AD 平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3已知：如图 2-5, BAC=CAD,ABAD，CEAB，AE= （AB+AD）.求证：D+B=180 。214.已知：如图 2-6,在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BC 上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5 已知：如图 2-7，在 RtABC 中，ACB=90 ,CDAB，垂足为 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求证 CF=BH。图 2-2A
7、B CDE图 2-3PAB CMND F图 2-4BO APDC图 2-5ABDCE4（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交） 。例 1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH= （AB-AC）2分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例 2 已知：如图 3-2，AB=A
8、C，BAC=90 ，AD 为ABC 的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图 3-3 在ABC 中，AD、AE 分别BAC 的内、外角平分线，过顶点 B 作 BN 垂直 AD,交 AD 的延长线于 F，连结 FC并延长交 AE 于 M。求证：AM=ME。图 2-6EAB CDF图 2-7FDCBAEH图 图 3-1ABCDHE图 3-2DABEFC图 3-3DB EFNACM5分析：由 AD、AE 是BAC 内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线
9、段证相等。例 4 已知：如图 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD延长线于 M。求证：AM= （AB+AC）21分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，作ABD 关于 AD 的对称AED，然后只需证 DM= EC，另21外由求证的结果 AM= （AB+AC） ，即 2AM=AB+AC，也21可尝试作ACM 关于 CM 的对称FCM，然后只需证 DF=CF 即可。练习：1 已知：在ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是BAC 的平分线，且 CEAE 于 E，连接 DE，求 DE。2 已知 BE、BF 分别是ABC
10、 的ABC 的内角与外角的平分线，AFBF于 F，AEBE 于 E，连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求证 MN= BC21（四） 、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。图 4-2图 4-1CA BCBAFIEDHG图 3-4nEBAD CMF6例 4 如图，ABAC, 1=2，求证：ABACBDCD。例 5 如图，BCBA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。例 6 如图，A
11、BCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。练习：1. 已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC 是直角三角形。2已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCAC12ACDBB DCAA BECDCA B73已知 CE、AD 是ABC 的角平分线，B=60，求证：AC=AE+CD4已知：如图在ABC 中，A=90，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD（五） 、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的
12、延长线于点 E。求证：BD=2CE。证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，AB CDAEB D CAB DC1 28OED CBA1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中 BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中线。（六） 、借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2：（06 郑州市中考题）如
13、图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、abBE 的长.中考应用（06 北京中考）如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、 CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、 CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；EDGFCBA9（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由(第 23 题图)O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图
