1、一个不等式在高考数学中的应用所引发的思考随着新课程改革的不断深入，高效教学已经成为所有学科教师研究的重要话题.作为高三的数学教师，认真研究高考题型，找出解决问题的捷径与方法，使得学生在最短的时间内，找到解决问题的方法，提高解题效率，为解决其他题目节省更多的时间.而最近，笔者通过研究最近几年的高考数学模拟试卷，对模拟试卷中的几道填空题作了专项调查与研究.研究发现多数同学试卷中的答案都是空白的，或是不会做，又或直接放弃，偶尔有几个同学写了答案，但答案也是错误的（也有与答案相近的，他们中大部分解题思路都是正确的，但由于各种原因最终的答案还是错误的） ，而作为高中毕业班的数学教师感觉非常遗憾，难道填空
2、题压轴题真的那么难吗？那么不可攻破吗？其实，对于这几份试卷上的压轴题，如果同学们真的静下心来，思考分析，还是会有一个通用的更快更好的解决方法.本文将为一线数学教师和即将进入“战场”的学生介绍一种新的解题思路，以进一步提高解题效率. 数学来源于生活、来源于现实，又回归现实、回归生活，因此具有明显的现实意义.正如均值不等式就经常在实际生活中应用，而且苏教版中的均值不等式内容又是高考 C 级要求，重要性可想而知.我们都知道柯西不等式与均值不等式有着千丝万缕的联系，在现实生活中也有属于它的数学情境，在数学与物理学科整合方面，尤其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，只是它在苏教版高中数学教学
3、模块中，作为选讲内容没有让学生作进一步的研究.但是笔者认为：学习柯西不等式不仅可以提高学生本身的数学探究能力，可以进一步开阔学生的数学视野和空间思维能力，从而激发学生的学习兴趣，调动学习的积极性，培养创造性思维，更有利于提高学生的科学素养.尤其在高考数学求函数最值等方面，学生如果能够灵活运用它，能使一些较为困难的问题迎刃而解，是一个非常重要的不等式. 柯西不等式： （a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2 （a，b，c，dR，当且仅当 ad=bc 时，等号成立） 高考模拟题再现： 例 1 已知等腰三角形 ABC 的腰 AB 上的中线 CD 的长为 2，则三角形ABC 周长的最大值为. 解
4、析首先建立函数模型，设等腰三角形半腰长为 x，周长为 y，则周长 y=4x+8-2x2.问题转化为求函数 y=4x+8-2x2 的最大值. 解 y2=（4x+8-2x2）2 =（22?2x+1?8-2x2）2 （22）2+12（2x）2+（8-2x2）2 =（8+1） （2x2+8-2x2）=89=72. 所以周长最大值为 62. 当 2x=22?8-2x2，即 x=423 时取“=”. 点评调查发现：这道题学生都是通过换元法或者是函数导数法来求最值，运用这种方法时计算量特别大，且容易在计算过程中出错，计算时间上耗时又增加，而且还不能保证一定的正确率.但是笔者通过适当的配凑，直接利用柯西不等式
5、求最值，复杂问题简单化，加深对知识的理解与巩固，大大缩短解题的时间，很大程度上提高解题的正确率，可见正确运用柯西不等式的重要性. 例 2 已知函数 f（x）=x2+ax+b （a，bR） ，若存在非零实数 t，使得 f（t）+f（1t）=-2，则 a2+4b2 的最小值. 解析由条件可化得（t+1t）2+a（t+1t）+2b=0， 令 x=t+1t（|x|2） ， 上式可变形为 x2+ax+2b=0 （|x|2）. 利用柯西不等式问题可转化为存在 x（|x|2） ，使得a2+4b2x4x2+1 成立，再次转化为求函数 g（x）=x4x2+1 （|x|2）的最小值. 解由条件可化得（t+1t）2
6、+a（t+1t）+2b=0， 令 x=t+1t （|x|2） ， 上式可变形为 x2+ax+2b=0 （|x|2） ， 即（x?a+1?2b）2=（-x2）2=x4（|x|2） ， 即 x4（x2+1） （a2+4b2） （|x|2） ， 即存在 x（|x|2） ，使得 a2+4b2x4x2+1 成立. 设 g（x）=x4x2+1=（x2+1）2-2（x2+1）+1x2+1 =（x2+1）+1x2+1-2 （|x|2）5+15-2=165. 变式 a，bR，a0，曲线 y=a+2x，y=ax+2b+1，若两曲线在3，4上至少有一个公共点，则 a2+b2 的最小值. 解析问题转化为方程 ax2+
7、（2b+1）x-（a+2）=0 在3，4上有解，变换主元变形为（x2-1）a+2xb+x-2=0， 即 2-x=（x2-1）a+2xb. 由柯西不等式得（2-x）2（x2-1）2+4x2（a2+b2） ， 所以问题又转化为熟悉的问题：存在 x3，4，使得 a2+b2（2-x）2（x2+1）2 成立，进而又转化为函数最值问题. 点评这两道题几乎没有正确的，很多学生一时间很难找到解题的突破口，命题者初衷可能想利用最常规的方法来处理，但是计算量太大，学生在规定的时间根本无法完成，但是如果学生能够利用柯西不等式来求解，问题就容易多了.所以，教师应该在课堂上讲解这类解题的方法，通过多思、多学、多练来提高
8、学生的解题能力. 综上所述，在教育改革的今天，每位高三数学教师都应该努力使自己成为学者型教师，积极开发教学课程资源，运用于课堂教学实践，提高课堂教学效率.著名特级教师孙双全说：“教师拥有研究机会，如果他们抓住这个机会，不仅能有力地和迅速地推进教学的技术，而且将使教师工作获得生命力与尊严.”因此，教师不仅处于最佳的研究位置，而且还拥有最佳的研究机会，只有将研究性学习行为日常化，教师的科研水平才能不断提高，才能向专业化发展.柯西不等式，作为新课程的选修内容，在数学的多个领域（函数、代数、方程、几何等）都有着广泛的运用.因此，作为高三毕业班的数学教师，要在高中数学教学过程中不断探究，启发学生，让学生在学习过程中找出发现问题和解决的方法，提高学生的数学探究能力.
