1、含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 的基础上，又多了一个参数，故思路12,x很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.例 1. 已知函数 有两个不同的零点 ，求证： .xaef)( 12,x21x不妨设 ，记 ，则 ，12x12tx0,1te因此只要证明： ，te )(t再次换元令 ，即证xtxt ln,1 ),1(0)(2l x构造新函数 ，2()()lF1F求导 ，得 在 上递增， 2 240(1)()xx)(x),1所以 ，因此原不等式 获证.0)(12例 2. 已知函数 ， 为常数，若函数 有两个零点 ，证
2、明：()lnfxa()fx12,x21.xe法二：利用参数 作为媒介，换元后构造新函数：a不妨设 ，12x ， ，2ln0,ln0x12121212ln(),ln()xaxxa ，欲证明 ，即证 .12xa21e12l ，即证 ，1212ln()x12ax原命题等价于证明 ，即证： ，令 ，1212ln122()lnx12,()xtt构造 ，此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答，下略.2()l,)(tgt法三：直接换元构造新函数：设 ，1221lnln,xxa211,()xtt则 ，112ll,tttxx反解出： ， 1211lnlnl,lnl1t tttx故 ，转化成法二，下同，略.
3、21l 2xext例 3.已知 是函数 的两个零点，且 .21,xaxef)( 21x（1 ）求证： ；（2 ）求证： . 21x(2)要证： ，即证： ，等价于 ，12x121aex 21)(221xeex也即 ，等价于 ，令212)()(12xex 212)()(12x012xt等价于 ，也等价于 ，等价于即证：0)(2tt 0tett 2tte令 ，则 ，)(1tetht )1(21)( 22ttttt eh又令 ，得 ， 在 单调递减，)0(2)(tt0)(tt)(t),0，从而 ， 在 单调递减， ，即证原不0t tht),(ht等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数 ，得到一个关
4、于 的多元不等式证明，利用换元思a21,x想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式. 例 4.已知函数 ，若存在 ，使 ，求()(0)axfe12,()12()0fxf证： .gkstkgkstkgkstk12xae再证： .12xae ，1122lnxx而 ，10e .证毕.2lnxa【招式演练】设函数 的图像与 轴交于 两点，()()xfeaRx1212(,0),()ABx（1 ）证明： ；021（2 ）求证： .x（2 ）证明：由 ，易知 且 ，12()xea21xae从而 ，令 ，则 ，1221xxe12,ln1由于 ，下面只要证明： ，121,(0)结合对数函数
5、 的图像可知，只需证： 两点连线的斜率要比lnyx(,ln)(l)两点连线的斜率小即可，(,ln)(,)又因为 ，即证： ，l1k1l 2ln0(1)令 ，则 ，1()2ln0,(1)g221(1)() 0g 在 上单调递减， ， 0, 0原不等式 成立.122x设函数 ，其图像在点 处切线的斜率为 .()lnfabx(2,)Pf3当 时，令 ，设 是方程 的两个根，a()gfk1x()0gx是 的等差中项，求证： ( 为函数 的导函数）.0x12, 0)g)设函数 ，函数 为 的导函数，且21()ln(0)fxaax()fxf是 的图像上不同的两点，满足 ，线段12,()ABff 12()0
6、fx中点的横坐标为 ，证明：0x01.x【解析】 ，又依题意 ，122axa2()fxa得 在定义域上单调递增，所以要证 ，只需证 ，()fx01ax212()()fxffxa即 22()0fxa不妨设 ，注意到 ，由函数单调性知，有 ， 11fa12,xa构造函数 ，则 ，()(Fxffx 3224(1)()()xFffa当 时， ，即 单调递减，当 时， ，从而不等1a01xa(0F式式成立，故原不等式成立. 已知函数 .)(ln1)(Raxxf（1 ）若 ，求函数 在 上的零点个数；2a)f,2e（2 ）若 有两零点 （ ） ，求证： .)(xf21,x211321aex【点评】1.方程
7、的变形方向： 是函数 的两个零点，1 是该函数的极值点.21,x)(xf是函数 的两个零点， 是该函数的极值点.21,x)(hae2.难点 的证明依赖利用 放缩.1321aex 21x已知函数 .（）讨论 的单调性；（）设 ，证明：当 时， ；（）设 是 的两个零点，证明 .【答案】 （） 在 上单调递减，在 上单调递增；（）当 时，；（）证明过程见解析（）令 ，则.求导数，得 ，当时 ， ， 在 上是减函数.而 ， ，故当 时， （）由（）可知，当 时，函数 至多有一个零点，故 ，从而 的最小值为 ，且 ，不妨设 ，则 ， ，由（）得 ， 从而 ，于是 ，由（）知， . 点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间 （）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数 当 时的最大值小于零即可 （）要充分利用（） （）问的结论.已知函数 （ ）.214lnfxmx0（）若 ，求函数 的单调递增区间；f（）若函数 ，对于曲线 上的两个不同的点4gxxygx， ，记直线 的斜率为 ，若 ，1,Mx2,NMNk0证明： .20x【答案】 （1） （2）见解析,由题设得 .120gx 124lnx124mx又 ，12128xgmx12 012124ln8x212114lnxx
