1、误差理论与数据处理练习题 第一章 绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的 绝对误差测得值实际值 100.2 100.5 0.3（ Pa）。 相对误差 = 0 .3 1 0 0 % 0 .3 %1 0 0 .5 1-9 使用凯特摆时， g由公式 g=4 2（ h1+h2） /T2给定。今测出长度（ h1+h2）为（ 1.04230 0.00005） m，振动时间 T为（ 2.0480 0.00
2、05） s。试求 g及其最大相对误差。如果（ h1+h2）测出为（ 1.04220 0.0005） m，为了使 g的误差能小于 0.001m/s2， T的测量必须精确到多少？ 【解】测得（ h1+h2）的平均值为 1.04230（ m）， T 的平均值为 2.0480（ s）。 由 21224 ()g h hT,得： 2 224 1 . 0 4 2 3 0 9 . 8 1 0 5 3 ( / )2 . 0 4 8 0g m s 当 12()hh 有微小变化 12()hh 、 T 有 T 变化时，令 12h h h g 的变化量为： 221 2 1 2 1 2231221 2 1 2248( )
3、 ( ) ( )()42 ( ) ( ) ggg h h T h h h h Th h T T TTh h h hTT 2223224842()ggg h T h h Th T T TThhTT g 的最大相对误差为： 1 2222221244 22 244()0 . 0 0 0 0 5 2 ( 0 . 0 0 0 5 ) 1 0 0 % 0 . 0 5 4 %1 . 0 4 2 3 0 2 . 0 4 8 0TTh h h hg h TTTg h Th h hTT 如果 12()hh 测出为 （ 1.04220 0.0005） m，为使 g的误差能小于 0.001m/s2，即： 0.001g
4、 也即 21 2 1 2242 ( ) ( ) 0 . 0 0 1Tg h h h hTT 22420 . 0 0 0 5 1 . 0 4 2 2 0 0 . 0 0 12 . 0 4 8 0 2 . 0 4 8 00 . 0 0 0 5 1 . 0 1 7 7 8 0 . 0 0 1 0 6TTT 求得： 0 . 0 0 0 5 5 ( )Ts 1-10. 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 【解】 引用误差示值误差测量范围上限。所以该电压表的引用误差为： 2 2%100mmmUr
5、U 由于： 2%2.5% 所以该电压表合格。 1 13 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.lkm，优秀射手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高 ? 解： 多级火箭的相对误差为： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 附加 1 1 测得某三角块的三个角度之和为 180o00 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： %001.000001.010000 1.0 %002.00 0 0 2.05001.0501 mmmcm21802000180 oo%0 0 0 0 3 1.01
6、0 0 0 0 0 3 0 8 6 4.0064800 20660180 2180 2 o2 3 第二章 误差的基本性质与处理 2-2. 试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差x，两者物理意义和实际用途有何不同？ 【解】 单次测量的标准差 表征同一被测量 n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。 2 2 212 nn 算术平均值的标准差x是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准x n 在 n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的 1n，当测量次数 n愈大时 ,算术平均值愈接近被测量的真值，测量
7、精度也愈高。 2-3. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在 2 , 2中的概率。 【解】（ 1）误差服从正态分布时 2222( 2 ) ( 2 )2012( 2 ) 22P e d e d 引入新变量 t: ,tt ,经变换上式成为： 2202( 2 ) 2 ( ) 2 0 . 4 1 9 5 0 . 8 4 8 4 %2 ttP e d t t （ 2）误差服从反正弦分布时 因反正弦分布的标准差为： 2a ，所以区间 2 , 2 ,aa ,4 故 : 2211( 2 ) 1aaPda （ 3） 误差服从均匀分布时 因其标准差为： 3a ，所以区间 222 , 2 ,33aa
8、 ，故 23231 1 1 2( 2 ) 2 0 . 8 2 8 2 %2 2 3aaP d aaa 2-4. 测量某物体重量共 8次，测得数据（单位为 g）为 236.45， 236.37， 236.51， 236.34， 236.39，236.48， 236.47， 236.40，求其算术平均值及其标准差。 【解】选参考值 0 236.00x ，计算差值 236.00iixx 、 0x 和残差 iv 等列于表中。 或依算术平均值计算公式， n=8，直接求得： 811 2 3 6 .4 3 ( )8 iix x g计算标准差：用贝塞尔公式计算：21 0.0251 0.06 ( )1 8 1n
9、ii v gn 0 .0 6 0 .0 28x n 5 2 6 测量某电路电流共 5 次，测得数据 (单位为 mA)为 168.41， 168.54， 168.59， 168.40， 168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 解： )(49.168551 mAII i i 51()0.0851iiII 0 .0 8 0 .0 45x n 51()220.08 0.053 5 1 3iiII 0 .6 7 4 5 0 .0 2xR 51()440.08 0.065 5 1 5iiII 0 .7 9 7 9 0 .0 3xT 2 7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5次
10、，测得数据 (单位为 mm)为 20 0015，20.0016， 20.0018， 20.0015， 20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99的置信概率确定测量结果。 解： 求算术平均值 求测量列单次测量的标准差 用贝塞尔公式计算：2 841 26 10 2.55 1014nii v mmn 用别捷尔斯公式计算： 41 0.0008 1.25 3 1.25 3 2.24 10( 1 ) 5 4nii v mmnn 求算术平均值的标准差 4 42 . 5 5 1 0 1 . 1 4 1 05x mmn mmn lxni i 00 15.201 6 4 2 . 2 4 1 05x n 0.
11、0001 求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 做法 1 ： 因 n 5 较小，算术平均值的极限误差应按 t 分布处理。 现自由度为： n 1 4； 1 0.99 0.01， 查 t 分布表有： t 4.60 单次测量的极限误差： 4 3 3l i m 4 . 6 0 2 . 5 5 1 0 1 . 1 7 3 1 0 1 . 1 7 1 0x t m m 算术平均值的极限误差： 44l i m 4 . 6 0 1 . 1 4 1 0 5 . 2 4 1 0xx t m m 写出最后测量结果 做法 2 ： 因假设测量值服从正态分布， 并且置信概率 P=2 (t)=99%，则 (t)=0.
12、495，查正态分布积分表，得置信系数 2.6t 单次测量的极限误差： 44l i m 2 . 6 0 2 . 5 5 1 0 6 . 6 3 1 0 0 . 0 0 0 6 6xt 算术平均值的极限误差： 44l i m 2 . 6 0 1 . 1 4 1 0 2 . 9 6 4 1 0 0 . 0 0 0 3xxt 写出最后测量结果 l im 2 0 . 0 0 1 5 0 . 0 0 0 3L x x m m 2 10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差 0.001mm，若要求测量的允许极限误差为 0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的
13、意义，有 0 0 1 5.0 ntt x 根据题目给定得已知条件，有 5.1001.00015.0 nt mmxxL 4lim 1024.50015.20 7 查教材附录表 3 有 若 n 5， v 4， 0.05，有 t 2.78， 24.1236.2 78.2578.2 nt 若 n 4， v 3， 0.05，有 t 3.18， 59.1218.3418.3 nt 即要达题意要求，必须至少测量 5 次。 2-11 已知某仪器测量的标准差为 0.5 m。若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为 26.2025mm，试写出测量结果。若重复测量 10次，测得值（单位为 mm）为 26.2025
14、，26.2028， 26.2028， 20.2025， 26.2026， 26.2022， 20.2023， 26.2025， 26.2026， 26.2022，试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由中 10次重复测量的测量值，写出上述、的测量结果。 解： 单次测量的极限误差以 3计算 : l i m 3 3 0 . 5 1 . 5 ( ) 0 . 0 0 1 5 ( )x m m m 所以测量结果可表示为： 26.2025 0.0015 (mm) 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： 101 2 6 .2 0 2 5 ( )iix x m m取与相同的置信度， 算术平均
15、值的标准差 : 0 . 0 0 0 510x n -4 1 . 5 8 1 0 m ml i m 3 3 4 . 7 4 5xx - 4 - 4 - 41 . 5 8 1 0 1 0 1 0mm 则测量结果为： 3 2 6 .2 0 2 5 0 .0 0 0 5xx (mm) 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值 0 26.202x ，计算差值 26.202iixx 、 0x 和残差 iv 等列于表中。 8 用贝塞尔公式计算：2 841 42 10 2.2 101 10 1nii v mmn 算术平均值的标准差： 42 . 2 1 010x
16、mmn 0.00007 取与相同的置信度，则测量结果为： 3ix 此时的测量结果为 2 6 . 2 0 2 5 3 0 . 0 0 0 2 2 2 6 . 2 0 2 5 0 . 0 0 0 6 6 2 6 . 2 0 2 5 0 . 0 0 07 (mm)； 的测量结果为 2 6 . 2 0 2 5 3 0 . 0 0 0 0 7 2 6 . 2 0 2 5 0 . 0 0 0 2 1 2 6 . 2 0 2 5 0 . 0 0 02 (mm). 2-13 测量某角度共两次，测得值为 1=24 1336”， 2=24 1324”，其标准差分别为 1=3.1”， 2=13.8”，试求加权算术平
17、均值及其标准差。 【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。 12 2 2 2 2121 1 1 1 1 1: : : : 1 9 0 4 4 : 9 6 13 .1 1 3 .8 9 .6 1 1 9 0 .4 4pp 取： 121 9 0 4 4, 9 6 1pp 选取 0 24 1336 ，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差： 9 1011 9 0 4 4 0 9 6 1 ( 1 2 )2 4 1 3 3 6 1 9 0 4 4 9 6 12 4 1 3 3 5 .4 miiimiipp 加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差： 120 .6 , 1 1 .4 vv
18、 算术平均值的标准差为： 222111 9 0 4 4 0 . 6 9 6 1 ( 1 1 . 4 ) 6 . 6 ( 2 1 ) ( 1 9 0 4 4 9 6 1 )( 1 )mi x iix miipvmp 2-15. 试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为 n 乘以任一个测量值的权。 【证明】因为等精度测量，可设 n 个测得值的标准差均为 ，且其算术平均值的标准差为：x n 又设各测量值的权相等，即： 1 2 0ip p p p 。 n 个相等精度测得值的平均值的权为 xp ，则： n 个相等精度测得值的平均值的权 xp 与各测得值的权( 1,2. )ip i n 的比为 221
19、1 1: : : : 1xixinp p n xip np 2-17 对某量进行 10次测量，测得数据为 14.7， 15.0， 15.2， 14.8， 15.5， 14.6，14.9， 14.8， 15.1， 15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 解： 先计算算术平均值： 14.96x 。各测量数据的残余误差分别为： 1 2 3 4 56 7 8 9 1 00 .2 6 0 .0 4 0 .2 4 0 .1 6 0 .5 40 .3 6 0 .0 6 0 .1 6 0 .1 4 0 .0 4v v v v vv v v v v 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，
