1、 - 1 - 第十五讲 2016年中考重点题目预测（三） 以二次函数为基架的压轴题解题通法研究及典型题剖析 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在成都，绵阳等地的中考和外地招生考试中都有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。我通过近年的研究，思考和演算了上 1000 道 二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。 一、常见的类
2、型及破题策略 1.求证“两线段相等”的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来； 然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到 x 轴（ y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。 2.“平行于 y 轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于 y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为 t），借助于 两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母 t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于 y 轴的线段长度计算公
3、式 下上 yy - ， 把动线段的长度就表示成为一个自变量为 t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3 求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式（或称 K 点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。 4 “抛物线上是否存在一点 ，使之到定直线的距离最大”的问题： （方法 1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（ k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母 y 消
4、掉，得到一个关于 x 的的一元二次方程，由题有 =2b-4ac=0（因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以2b-4ac=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出 x、 y 的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。 （方法 2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。 （方法 3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离
5、公式可以轻松求出。 5.常数问题： （ 1）点到直 线的距离中的常数问题： “ 抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题： 先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 （ 2）三角形面积中的常数问题： “ 抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题： 先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程 ，解此方程，即可求出动点的横
6、坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或 x 轴或 y 轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题： 先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度应用两点间的距离公式计算即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。 7.三角形周长的“最值 (最大值 或最小值 )”问题： “在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两
7、边动的问题）： 由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。 8.三角形面积的最大值问题： “ 抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）： (方法 1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式 21 底高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。 （方法 2）过动点向 y 轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成 两 个 基 本 模 型 的 三
8、 角 形 ， 动 点 坐 标 一 母 示 后 ， 进 一 步 可 得 到）（）（ 左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形 xxyS -y-21 ， 转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。 “三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）： 先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在 x轴或 y 轴上的三角形，或者有一边平行于 x轴或 y 轴的三角形 ，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在 x轴或 y 轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。利用相似三角形的性质（对
9、应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角- 2 - 形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。 9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”： 由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结 两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与 7 相同。 10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案： 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； 方案（二）
10、：过不在 x轴或 y 轴上的四边形的一个顶点，向 x轴（或 y 轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差） 11.“两个三角形相似”的问题： （ 1）已知 有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似 ;否则不相似。 （ 2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似 ;否则不相似。 一个定三角形和动三角形相似： （ 1）已知有一个角相等的情形： 先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出
11、来（一母示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是 否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。 （ 2）不知道是否有一个角相等的情形： 这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个
12、直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相 似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。 12.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题： 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公 式，建立方程
13、。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。 3、 “某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题： 这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有 3 条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标 公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相
14、等，列出两个方程，求解即可。 进一步有： 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。 若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。 若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等 ？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。 4.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：（此为“单动问题”即定解析式和动图形相结合的问
15、题，后面的 19 实为本类型的特殊情形。） 先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求 解即可。 5. “ 某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题： 若夹直角的两边与 y 轴都不平行：先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与 y 轴平行的直线）垂直的斜率结论（两
16、直线的斜率相乘等于 -1），得到一个方程，解之即可。 若夹直角的两边中有一边与 y 轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于 y 轴的那条直线上的点）直接向平行于 y 的直线作垂线或过直角点作平行于 y 轴的直线的垂线与另一相关图象相 交，则相关点的坐标可轻松搞定。 6.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。 若定点为直角顶点，先用 k 点法求出另一直角边所在直线的解析式（如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角
17、边等否？若等，该交点合题，反之不合题，舍去。 若动点为直角顶点：先利用 k 点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该 点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为 -1？若为 -1，则就说明所求交点合题；反之，舍去。 7.“ 题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题： 题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“ A”或“ X”是关键和突破口。 二、常用公式或结论 破解函数难题的基石 1. 横线段的长 = 横标之差的绝对值 = 小大 xx - = 左右 x
18、x - - 3 - 纵线段的长 =纵标之差的绝对值 = 小大 yy - = 下上 yy - （ 2） 点轴距离： 点 P（ 0x ， 0y ）到 X 轴的距离为 0y ，到 Y轴的距离为 ox 。 （ 3） 两点间的距离公式： 若 A（ 11,xy） ,B( 2, 2xy),则 AB= 221 2 1 2( ) ( )x x y y （ 4） 点到直线的距离： 点 P（ 00,xy）到直线 Ax+By+C=0 (其中常数 A,B,C 最好化为整系数，也方便计算 )的距离为：22 00 BACByAxd 或22 001 kbykxd )0( bykxbkxy 即 （ 5） 中点坐标公式 : 若
19、A( 1, 1xy)， B（ 22,xy），则线段 AB 的中点坐标为（ 1 2 1 2,22x x y y） （ 6） 直线的斜率公式： 若 A（ 11,xy）， B（ 22,xy）1 2xx，则直线 AB 的斜率为： 1212=AByyk xx , 1 2 1 2, A B yx x x x注 ： 当 时 ， 直 线 与 轴 平 行 ， 斜 率 不 存 在 （ 7） 两直线平行的结论： 已知直线 1 1 1 2 2 2: , : ;l y k x b l y k x b 若 2121 kkll 若 212121 , llbbkk 且 （ 8） 两直线垂直的结论： 已知直线 1 1 1 2
20、2 2: , : ;l y k x b l y k x b 若 1 2 1 2. 1;l l k k 若 1 2 1 2. 1 .k k l l （ 9） 由特殊数据得到或猜想的结论 ： 已知点的坐标或线段的长度中若含有 2 、 3 等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。 在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决。 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率 k 的值，若 33k ，则直线与 X 轴的夹角为 30 ；若 1k ；则直线与 X 轴的夹角为 45 ；若 3k ，则直线与 X 轴的夹角为 60 。这对计算线段长度或或点的坐标或
21、三角形相似等问题创造条件。 三 、中考二次函数压轴题分析 例 1 如图， 抛物线 y x 2 bx c（ c 0）与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D，且 OB OC 3点 E 为线段 BD 上的一个动点， EF x 轴 于F （ 1）求 抛物线的解析式 ； （ 2） 当 CEF ABD 时， 求 点 E 的坐 标； （ 3）是否存在点 E，使 ECF 为直角三角形？ 若 存在，求 点 E 的坐标； 若 不存在，请说明理由 解：（ 1） OB OC 3， c 0， B（ 3， 0）， C（ 0， 3） y x 2 bx 3， 把 B（ 3
22、， 0） 代入得： 0 9 3b 3， b 2 抛物线的解析式为 y x 2 2x 3 （ 2） 作 DG x 轴于 G， CH EF 于 H y x 2 2x 3 ( x 1 )2 4， D（ 1， 4） DG 4， BG 3 1 2 设直线 BD 的解析式为 y kx n 3k n 0k n 4 解得 k 2n 6 直线 BD 的解析式为 y 2x 6 设 E（ m， 2m 6） EF x 轴， CH m， EH ( 2m 6 ) 3 CEF ABD， tan CEF tan ABD B C E x y A O D F B C x y A O D 备用图 B C E x y A O D F
23、 G H - 4 - CHEH DGBG 42 2， m ( 2m 6 ) 3 2 解得 m 65 ， E（ 65 ， 185 ） （ 3） 若 CEF 90， 则 CE x 轴 点 E 的 纵坐标为 3， 代入 y 2x 6 3 2x 6， x 32 E1（ 32 ， 3） 若 ECF 90， 作 CH EF 于 H 则 CHE FCH， CHEH FHCH m ( 2m 6 ) 3 3m ， 解得 m 3 3 2 1 m 3， m 3 2 3 E2（ 3 2 3， 6 2 12） 综上所述 ， E 点坐标为 E1（ 32 ， 3）， E2（ 3 2 3， 6 2 12） 例 2 如图，直线
24、 l： y 34 x m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B（ 0， 1），抛物线y 12 x 2 bx c 经过点 B，与直线 l 的另一个交点为 C（ 4， n） （ ） 求 n 的值和抛物线的解析式； （ ） 点 D 在抛物线上， DE y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且四边形 DFEG为矩形 设 点 D 的横坐标为 t（ 0 t 4） ， 矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值 （ ） 将 AOB 绕平面内 某 点 M 逆时针旋转 90得到 A1O1B1（ 点 A1、 O1、 B1分别 与点 A、 O、 B 对应 ），
25、 若 A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1的 坐标 解：（ ） 直线 l： y 34 x m 经过 点 B（ 0， 1）， m 1 直线 l 的解析式 为 y 34 x 1 直线 l： y 34 x 1 经过 点 C（ 4， n） n 34 4 1 2 抛物线 y 12 x 2 bx c 经过点 B（ 0， 1） 和 点 C（ 4， 2） c 112 4 2 4b c 2 解得 b 54 c 1 抛物线的解析式 为 y 12 x 254 x 1 （ ） 直线 l： y 34 x 1 与 x 轴交于点 A A（ 43 ， 0） ， OA 43 B（ 0， 1）， OB 1，
26、 AB OA 2 OB 2 53 DE y 轴 ， OBA FED 又 DFE AOB 90， OAB FDE OAFD OBFE ABDE ， 43 FD 1FE 53 DE FD 45 DE， FE 35 DE p 2( FD FE ) 2( 45 DE35 DE ) 145 DE 点 D 在抛物线上，点 D 的横坐标为 t， D（ t， 12 t 254 t 1） E（ t， 34 t 1），且 0 t 4 DE 34 t 1 ( 12 t 254 t 1 ) 12 t 2 2t p 145 ( 12 t 2 2t) 75 t 2285 t（ 0 t 4） p 75 t 2285 t 7
27、5 ( t 2 )2 285 当 t 2 时， p 有最大值 285 （ ） A1（ 34 ， 3196 ） 或 A1（ 712 ， 29288 ） B C A x y l O A1 M O1 B1 B C A x y E D F G l O B C A x y E D F G l O B C x y A O D F E B C x y A O D F E H - 5 - 提示： AOB 绕平面内 某 点 M 逆时针旋转 90得到 A1O1B1（ 点 A1、 O1、 B1分别 与 点 A、O、 B 对应 ） 且 A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上 顶点 O1、 B1落在抛物线上 或 顶点
28、A1、 B1落在抛物线上 当 O1、 B1落在抛物线上 时，则 A1O1 y 轴， O1B1 x 轴 O1、 B1关于抛物线的对称轴对称 y 12 x 254 x 1 12 ( x 54 )25732 抛物线的对称轴为直线 x 54 O1B1 OB 1， 点 O1的 横坐标为： 54 12 34 当 x 34 时， y 12 ( 34 )2 54 34 1 5332 O1（ 34 ， 5332 ） A1O1 AO 43 ，点 A1的 纵坐标为：43 5332 3196 A1（ 34 ， 3196 ） 当 A1、 B1落在抛物线上 时 设 A1（ a， 12 a 254 a 1）， 则 B1（ a 1，12 a 254 a 1 43 ） 点 B1在抛物线上， 12 a 254 a 1 43 12 ( a 1 )2 54 ( a 1 ) 1 解得 a 712 A1（ 712 ， 29288 ） B C A x y l O A1 O1 B1 M
