1、 1 习 题 解 答 第一章 质点运动学 1-1 (1) 质点 t 时刻位矢为： jttitr 4321)53( 2(m) (2) 第一秒内位移 jyyixxr )()( 01011 )(5.33)101(3)01(21)01(3 2mjiji (3) 前 4 秒内平均速度 )sm(53)2012(41 1 jijitrV (4) 速度 )sm()3(3dd 1 jtitrV )sm(73)34(3 14 jijiV As； /。 (5) 前 4 秒平均加速度 )sm(4 3704 204 jjVVtVa (6) 加速度 )sm()sm(dd 242 jajtVa 1-2 23dd 23 tt
2、txv ctttctvxx 241dd 34 当 t=2 时 x=4 代入求证 c= 12 即 12241 34 tttx tttvattv63dd23223 将 t=3s 代入证 )sm(45)sm(56)(4141 23133 avmx 1-3 (1) 由运动方 程 ty tx 234 2 消去 t 得轨迹方程 0)3( 2 yx (2) 1 秒时间坐标和位矢方向为 mymx 54 11 4,5m: 3.51,25.1 xytg (3) 第 1 秒内的位移和平均速度分别为 2 )m(24)35()04(1 jijir )sm(24 11 jitrV (4) 质点的速度与加速度分别 为 it
3、VajitrV 8dd,28dd 故 t=1s 时的速度和加速度分别为 2111 sm8,sm28 iajiV 1-4 该星云飞行时间为 a1009.2s1059.61093.3 1074.21046.9 10177915 即该星云是 101009.2 年前和我们银河系分离的 . 1-5 实验车的加速度为 g)(25m / s1047.280.13 6 0 0 101 6 0 0 223 tva 基本上未超过 25g. 1.80s 内实验车跑的距离为 ）（ m4 0 080.13 6 0 02 101 6 0 02 3 tvs 1-6 (1)设第一块石头扔出后 t 秒未被第二块击中，则 20
4、21 gttvh 代入已知数得 28.9211511 tt 解此方程，可得二解为 s22.1s,84.1 11 tt 第一块石头上升到顶点所用的时间为 s53.18.9/15/10 gvt m 由于 mtt 1 ,这对应于第一块石头回落时与第二块相碰；又由于 mtt 1 这对应于第一块石头上升时被第二块 赶上击中 . 以 20v 和 20v 分别对应于在 t1 和 1t 时刻两石块相碰时第二石块的初速度，则由于 2111120 )(21)( ttgttvh 所以 184.1)184.1(8.92111)(21 21121120 ttttghv m/s2.17 同理 . 3 122.1)122.
5、1(8.92111)(21 21121120 ttttghv m/s)(1.51 (2) 由于 12 3.1 tst ,所以第二石块不可能在第一块上升时与第一块相碰 .对应于 t1时刻相碰，第二块的初速度为 3.184.1)3.184.1(8.92111)(21 22122120 ttttghv m/s)(0.23 1-7 以 l 表示从船到定滑轮的绳长，则 tlv d/d0 .由图可知 22 hls 于是得船的速度为 02222 dddd vs hstlhl ltsv 负号表示船在水面上向岸靠近 . 船的加速度为 3202022 dddddd svhtlvhllltva 负号表示 a 的方向
6、指向岸边，因而船向岸边加速运动 . 1-8 所求位数为 52 242222 1048.960 1.0)106(44 g rng r 1-9 物体 A 下降的加速度 (如图所示 )为 222 m /s2.02 4.022 t ha 此加速度也等于轮缘上一点在 s3t 时的切向加速度，即 )m/s(2.0 2ta 在 s3t 时的法 向加速度为 )m / s(36.00.1 )32.0()( 2222 RtaRva tn 1-10 2m/s2.1a , s5.00 t , m5.10 h .如图所示，相对南面，小球开始下落时，它和电梯的速度为 习题 1-9 图 习题 1-10 图 习题 1-7 图
7、 4 m /s )(6.05.02.100 atv 以 t 表示此后小球落至底板所需时间，则在这段时间内，小球下落的距离为 20 21 gttvh 电梯下降的距离为 20 21 attvh 又 20 )(21 taghhh 由此得 s59.02.18.9 5.122 0 ag ht 而小球相对地面下落的距离为 20 21 gttvh 259.08.92159.06.0 m06.2 1-11 人地风人风地 vvv 画出速度矢量合成图 (a)又 人地风人风地 02vvv ，速度矢量合成如图（ b）两图中 风地v 应是同一矢量 .可知（ a）图必是底角为 45 的等腰直角三角形，所以，风向应为西北风
8、，风速为 人地人地风地 00 245c o s vvv )sm(23.4 1 1-12 (1) vLvLt 22 (2) 2221 2 uv vLuv Luv Lttt 1212 vuvL 向西，由速度合成可得飞机对地速度 (3) vLvLttt 21,如图所示风速 u 由东vuv ,则 22 uvV . 2221222vuvLuvLvLt 证毕 1-13 （ 1）设船相对岸的速度为 V (如图所示 ),由速度合成得 VuV V 的大小由图 1.7 示可得 c o sc o s uVV 习题 1-12 图 习题 1-13 图 习题 1-11 图 5 即 332323c o sc o s uVV
9、而 1212s ins in uV船达到 B 点所需时间 )s(1 0 0 0s in DV DVOBt AB 两点之距 s inc o sDD ctgS 将式（ 1）、（ 2）代入可得 m)(1 2 6 8)33( DS (2) 由 s in101s in3uV Dt 船到对岸所需最短时间由极值条件决定 0c o ss in11dd 2 ut 即 2/,0c os 故船头应与岸垂直，航时最短 . 将 值代入（ 3）式得最短航时为 s)(500105.021012/s in 101 333m i n sut (3) 设 lOB ,则 s in c o s2s ins in22u uVVuDV
10、DVDl 欲使 l 最短，应满足极值条件 . aauVVuuDl c o ss in c o s2d d220c o s2s i ns i n2222 uVVuaauV 简化后可得 01c o sc o s 222 uV Vua 即 01c o s613c o s 2 a 解此方程得 32cos 2.4832c o s 1 故船头与岸成 2.48 ，则航距最短 . 将 值代入（ 4）式得最小航程为 222222m i n321232322321 0 0 0c o s1c o s2uuvvuDl k m )(5.1m105.1 3 AB 两点最短距离为 6 k m )(12.115.122m i
11、 nm i n DlS 第二章 质点动力学 2-1 （ 1）对木箱，由牛顿第二定律，在 木箱将要被推动的情况下如图所示， x 向： 0c o s m axm in fF y 向： 0s inm in MgFN 还有 Nf smax 解以上三式可得要推动木箱所需力 F 的最小值为 s inc o s ssm in MgF在木箱做匀速运动情况下，如上类似分析可得所需力 F 的大小为 s inc o s kkm in MgF（ 2）在上面 minF 的表示式中，如果 0s inc o s s ，则 minF ，这意味着用任何有限大小的力都不可能推动木箱，不能推动木箱的条件是 0sinco s s 由
12、此得 的最小值为 s1arctan 2-2 （ 1）对小球，由牛顿第二定律 x 向： maNT s inc o s y 向： 0c o ss in mgNT 联立解此二式，可得 N)(32.3)30s i n8.930c o s2(5.0)s i nc o s( gamT N)(74.3)30s i n230c o s8.9(5.0)s i nc o s( agmN 由牛顿第三定律，小球对斜面的压力 N)(74.3 NN （ 2）小球刚要脱离斜面时 N=0， 则上面牛顿第二定律方程为 mgTmaT s in,c os 由此二式可解得 2m / s0.1730t a n/8.9t a n/ ga
13、 2-3 要使物体 A 与小车间无相对滑动，三物体必有同一加速度 a,且挂吊 B 的绳应向后倾斜。作此时的隔离体受力图如图所示 习题 2-1 图 习题 2-3 图 习题 2-2 图 7 三物体只有水平方向的运动，只须列出水平方向的牛顿方程及相关方程： )4(:)3(0c o s)2(s in:)1(:322211MaNFMgmTamTmamTm水平 水平3N 为绳中的雨拉力在水平向的合力 )5(s in3 TTN 水平 联立（ 1），（ 2），（ 3），（ 4），（ 5）解得 )N(78480)( 222121 2 gmmgmmmmF （因为三个物体有同一加速度 a， 且在水平方向只受外力 F
14、 的作同，所以，可将三个物体看作一个物体： aMmmF )( 21 再与（ 1），（ 2），（ 3）式联立求 解即可。） 2-4 由图写出力函数用积分法求解。 )75(355 )50(2 tt ttF(1) 由 tvmF dd 得 tFmv d1d (2) 在 s50 内 200 1d21 tmttmvv tt (3) 当 t=5 时： )sm(3025 105 mvv在 5-7s 内再用（ 2）式 5.1123525d)355(1 255 ttttmvv tt (4) 当 t=7 时： )sm(4010 157 vv 再用积分法： tvxtxv dd,dd (5) 在 0-5s 内，由（ 3
15、）式积分 ttmvxx d)1(50 2005 即 )m(326831 2 52505 xx再由（ 4）式 8 5.1123525 25t ttvv 求 5 得 75 2557 d)5.1 1 23525( tttvxx 得 )m(142317357 xx2-5 设两物体未用绳连接则由牛顿第二定律，沿 x 方向，对 A，有 AAAA ammggm c o ss in k 对于 B，有 BBBB ammggm c o ss in k 由此得 2kA m / s63.3)30c o s15.030( s i n8.9)c o s( s i n ga A 2kB m / s12.3)30c o s2
16、1.030( s i n8.9)c o s( s i n ga B 由于 BA aa 。所以绳被拉紧，二（ 1）如图所示， A 在下， B 在上。者一起下滑，而 aaa BA 。以 TT 和 分别 表示绳对 A 和 B 的拉力 )( TT ，则由牛顿第二定律， 沿 x 方向 对 A： amTmggm AAA c oss in k 对 B： amTmggm BBB c oss in k 由此得 )m / s(29.330c o s8.985.25.185.221.05.115.030s i n8.9c o ss i n2kk gmmmmagaBABBAA（ 2）图中绳中张力为 N)(51.029
17、.35.130c o s8.95.115.030s i n8.95.1 c o ss i n k amgmgmT AAAA （ 3）如果互换位置， A 在上， B 在下，则由于 BA aa ，连接绳子将松弛，因而 T=0，此时 AB 的加速度即 )m / s(12.3),m / s(63.3 22 BBAA aaaa 2-6 当漏斗转速较小时， m 有下滑趋势，小物体受最大静摩擦力 mf 方向向上，如图所示。对小物体，由牛顿第二定律 x 向： rmfN m m in2c o ss in y 向： 0s inc o s mgfN m 还有 Nfm s 联立解以上各式，可得 习题 2-6 图 习题
18、 2-5 图 9 rg)s in( c o s )c o s( s in ssm in 或 rg)s in( c o s )c o s( s in21 ssm in 当 n 足够大时，小物体将有上滑趋势，它将受到向下的静摩擦力，即 mf 的方向与图 2.6 中所示的方向相反。与上类似分析可得最大转速为 rgn )s in( c o s )c o s( s in21 ssm a x 总起来讲，小物体在漏斗壁上不动，转速 n 应满足的条件是 minmax nnn 2-7 设圆柱与绳索间的摩擦力为 f，绳对重物 m1的拉力 T1， m1和 m2对地加速度分别为 a1、 a2，对 m1、m2 列出方程
19、 fTaamamgmfamTgm)( 12222111 联立解出： )2()()(2121211212212211agmmmmTfmmamgmmammamgmma2-8 质点在 x、 y 两个方向都是匀加速直线运动。 )m(874132167212166212)2(21)21()sm(8745)7()62()()(7622221-000jijijtaitatvrjijtmitmjtavitavvjmaimajiFyxxyyxxyx2-9 tvmkvf dd vvt tmkvvtmkvv0 0dddd （ 1）积分得 tmkvv e0 习题 2-7图 10 （ 2） tmkvtxv edd 0积
20、分得 )e1(00 tmk-kmvxxx （ 3）利用（ 1）的结果，令 v=0 得 t 代入（ 2）的结果中 得 00 )01( vkmvkmx （ 4）将 kmt 代入（ 1）的结果中 得 010 e1e vvv 2-10 初始时刻 0,0,0 00 vxt ， t 时刻受力如图所示，设 x 为该时刻入水长度，棒的横截面积为 s，有 gsxf slm 12浮当 lx 时有 tvmfmgF dd 浮 即 vxvslgsxgsl dd212 xl gxglvv xv dd 0 2 120 2/12122)2(2 xxll gv （ 1） （ 1）当 lx 时 2/1122)2(2 glv （
21、2） （ 2）当 212 时，（ 2）式无意义，即此条件将使棒不可能全部没入液体中，但（ 1）式仍然成立，当棒到达最大深度 xm时 v=0，由（ 1）式 得： )(01 舍去mx lxm 122 2 即为所求 （ 3）由（ 1）式求极值得：当 lx12 时有 glv12max 2-11 以 M 和 m 分别表示木星和木卫三的质量，则由万有引力定律和牛顿第二定律，可得 ( k g )1089.1)8 6 4 0 016.7(1067.6 )1007.1(444272113922322222 GTRMRmRTmRMmG2-12 （ 1）设链条的质量线密度为 ，链条开始下滑时，其下垂直度为 0x ，应满足的条件是其下垂部分的重力等于或大于其在桌面部分的摩擦力， 即： 习题 2-10 图 习题 2-12 图
