1、1 绪论 (1). 要使 20 的近似值的相对误差限 0.1%, 应至少取 _4_位有效数字。 (2). 要使 20 的近似值的相对误差限 0.1%, 应至少取 _4_位有效数字 ,此时的绝对误差限 为 31 102 - (3). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为 y 的近似值 ,其绝对误差限的估计式为 : | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2| (4). 计计 算算 f=( 2 -1)6 , 取 2 1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答： C (A) 61
2、21 )( , (B) (3-2 2 )2, (C) 3223 1 )( , (D) 99-70 2 (5). 要使 17 的 近近 似似 值值 的相对误差限 0.1%, 应至少取 4 位有效数字？ (6). 设 x=3.214, y=3.213，欲 计计 算算 u= yx , 请给出一个精度较高的算式 u=yx yx2 方程根 (7). 设设 迭迭 代代 函函 数数 (x)在在 x*邻近 有有 r（ 1） 阶阶 连连 续续 导导 数数 ， 且且 x* = (x*)， 并并 且且 有有 (k)(x*)=0 (k=1, ,r-1)，但 (r) (x*)0，则 xn+1=(xn)产生的序列 xn
3、的收敛阶数为 _r_ (8). 称称 序序 列列 xn是是 p 阶阶 收敛 的的 条条 件件 为为 cxxxxpnnn *lim 1 (9). 用牛顿法求 f(x)=0 的 n 重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数 u(x)=0的单根， u(x)= ()()fxfx(10). 用用 Newton 法法 求求 方方 程程 f(x)=x3+10x-20=0 的的 根根 ， 取取 初初 值值 x0 = 1.5, 则则 x1 =1.5970149 (11). 用牛顿法解方程 0123 xx 的迭代格式为kkkkkk xx xxxx 23 12 231 (12). 迭代过程 )(1 kk xx
4、收敛的充分条件是 )(x 1 (13). 用 Newton 法求方程 f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值 x0= 1.5, 则 x1= 1.5970149 (14). 用牛顿法解方程 0123 xx 的迭代格式为_kkkkkk xx xxxx 23 12 231 _ (15). 迭迭 代代 公公 式式 xk+1 =xk (xk2 +3a)/(3xk2 +a)是是 求求 a1/2 的的 3 阶阶 方法 3 方程组 (16). 矩阵的 LU 分解中 L 是一个为 单位下三角阵 ， 而 U 是一个 上三角阵 。 (17). 设线性方程组的系数矩阵为 A=6847153131483412,
5、全主元消元法的第一次可选的主元素为 -8，或 8，第二次可选的主元素为 8+7/8 或 -8-7/8. 列主元消元法的第一次主元素为 -8；第二次主元素为 (用小数表示 )7.5; (18). 在方阵 A 的 LU 分解中 , 方阵 A 的所有顺序主子不为零 ,是方阵 A 能进行 LU 分解的充 分 (充分 ,必要 )条件 ； 严格行对角占优阵 能 _(能 ,不能 )进行 LU 分解 ； 非奇异矩阵 不一定 (一定，不一定 )能 进行 LU 分解 。 (19). 设 A 是正定矩阵，则 A 的 cholesky 的分解 唯一 (唯一 ,不唯一 ). (20). 设2021012aaA ，为使
6、A 可分解为 A=LLT，其中 L 是对角线元素为正的下三角形矩阵，则 a 的取值范围是 )3,3(a ，取 a=1，则 L=3232002321002。 4 迭代 (1). 32 11A，则 1|A 4 ， 2|A 3.6180340 ， |A 5 ； a) 已知方程组 2121132.021 bbxx ，则解此方程组的 Jacobi 迭代法 是 收敛（填“是”或“不”）。 (2). 给定方程组 111211111112321xxx记此方 程组的 Jacobi 迭代 矩阵为BJ=(aij)33，则 a23= -1； , 且 相应的 Jacobi 迭代序列是 发散 的。 (3). 设 ( )3
7、( ) 1f x x=-， 则 ()fx关于 0,1C 的 f = 1 , 2f = 17(4). (5). Rn 上的两个范数 |x|p, |x|q 等价指的是 _C,DR,_C_|x|q _|x|pD |x|q _； Rn 上的两个范数 _一定 _是等价的。（选填“一定”或“不一定”）。 (6). Tx )12,4,0,3( ， 则 1|x 19 , 2|x 13_， |x _12 ； (7). TX )4,3,2( 则 1|X ， 2| X ， | X 解 4|,29|,9| 21 XXX (8). 已知方程组 26203 825 yx yx，其雅可比法的迭代矩阵是 _，高斯 -塞德尔法
8、的迭代格式是 _； 解 10132035852,0203520)1()1()()1(kkkkxyyx(9). 21010aA ，要使 0lim kk A， a 应满足 1a ； (10). 设 若 1031A ,则矩阵 A 的 1-范数 1A 4 ， cond1(A)= 16 。 (11). 如果线性方程组 Ax b 用 Jacobi 迭代法，其迭代矩阵 B 满足 1 1B 。如果用Gauss-Seidel 迭代法解此线性方程 组 Ax b ，则方法 一定 (一定 ,不一定 )收敛 (12). 设 1111111111111111Q ，则2Q 2 (13). 方程组 Ax b= 用超松驰法求解
9、时， 迭代矩阵为 UD)1()LD(B 1 ,要使迭代法收敛，条件 0k 时，差商 f x, x1, ,xn0，当 nk 时，该差商是 k-n 次多项式。 证明：因 1 ! )(, )( nfxxxf nn 注意到 nk 时， f(n)(x)=0， n=k 时， f(n)(x)=k!ak， ak 为 f(x)的 k 次项系数。 (7f) nk-1 由差分定义递推 ,查 n=k-1,k-2, (3f) ok! (6). (c10 分 )设 g(x)和 h(x)分别是 f(x)关于互异 节点 x1, , xn-1 以及互异节点 x2, , xn的插值多项式，试用 g(x)和 h(x)表示 f(x)
10、关于互异 节点 x1, , xn的 插值多项式 . 解：令 q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1) 为待定 n 次多项式， A,B 为待定系数，注意到 g(xk)=f(xk), k=1, ,n-1 h(xk)=f(xk), k=2, ,n -(7f) 带入得 A=1/x1-xn,B=1/xn-x1, 带入 ok! (7). (a10f)设 lk(x)是 关于 互异节点 x0, x1, , xn, 的 Lagrange 插值基函数， 证明 (1) mnk kmk xxlx 0 )(m=0,1, ,n (2) nk kmk xlxx0 )()(0 m=1,2, ,n 证明：由插值
11、唯一性定理知 (1)。展开知（ 2） (8). (a10f)证明对于不超过 k 次的多项式 p(x)有 ),()()( xpxlxpnk kk 0 kn lk(x)是 关于 互异节点 x0, x1, , xn, 的 Lagrange 插值基函数 证明：由插值唯一性定理知。 (9). (a10f)设 p(x)是任意首次项系数为 1 的 n+1 次多项式， lk(x)是 关于 互异节点 x0, x1, , xn, 的 Lagrange 插值基函数 证明 nk nkk xwxlxpxp 0 1 )()()()(其中 nj jn xxxw 01 )()(证明：插值余项直接计算 ok! (10). (a
12、10f)已知函数 y=f(x)在点 x0 的某邻域内有 n 阶连续导数，记 xk=x0+kh (k=1,2, ,n), 证明 0100 ! )(,lim )( n xfxxxf nnh 证明：因 ! )(, )( nfxxxf nn 10(x0,x0+nh)注意到 n 阶导数连续性，两边取极限 ok! (11). (c10f)用等节距分段二次插值函数在区间 0,1上近似函数 ex, 如何估算节点数目使插值误差 21 10-6 . 解：考虑子区间 xi-1,xi二次插值余项 63121121321)()(m a x)()(!)()()(/)(iiixxxiiixxxxxxexxxxxxfxPxfii令 x=xi+1/2+s(h/2) 上式化简为 9324881163311ehhssses)()(m a x令 63 10219 3248 eh 得 h0.028413
