1、第四章 复习题 1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。 3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。 4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。 5对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之 6什么是非稳态导热问 题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？ 7用高斯塞德尔迭代
2、法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？ 8有人对一阶导数 2 21, 2 53 x tttxtinininin 你能否判断这一表达式是否正确，为什么？ 一般性数值计算 4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。试用数值方法对Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根 :)6,2,1( nn 3,2,1,ta n nBinn 并用计算机查明，当 2.02 aFo 时用式（ 3-19）表示的级数的第一 项代替整个级数（计算中用前六项之和
3、来替代）可能引起 的误差。 解： Binn tan ，不同 Bi 下前六个根如下表所示： Bi 1 2 3 4 5 6 0.1 0.3111 3.1731 6.2991 9.4354 12.5743 15.7143 1.0 0.8603 3.4256 6.4373 9.5293 12.6453 15.7713 10 1.4289 4.3058 7.2281 10.2003 13.2142 16.2594 Fo=0.2 及 0.24 时计算结果的对比列于下表： Fo=0.2 x Bi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.94879 0.62945 0.11866 前六和的值 0.951
4、42 0.64339 0.12248 比值 0.99724 0.97833 0.96881 Fo=0.2 0x Bi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.99662 0.96514 0.83889 前六项和的值 0.994 0.95064 0.82925 比值 1.002 1.01525 1.01163 Fo=0.24 x Bi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.94513 0.61108 0.10935 前六项的值 0.94688 0.6198 0.11117 比值 0.99814 0.98694 0.98364 Fo=0.24 0x Bi=0.1 Bi=1 Bi=10
5、 第一项的值 0.99277 0.93698 0.77311 前六项和的值 0.99101 0.92791 0.76851 比值 1.00177 1.00978 1.00598 4-2、试用数值计算证实，对方程组 5223122321321321xxxxxxxxx用高斯 -赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。 解：将上式写成下列迭代形式 2131323213212/1252/1xxxxxxxxx假设 3,2xx 初值为 0，迭代结果如下： 迭代次数 0 1 2 3 4 1x 0 2.5 2.625 2.09375 2.6328125 2x 0 -0.75 0.4375 - 1.17
6、1875 1.26171825 3x 0 1.25 -0.0625 2.078125 -0.89453125 显然，方程迭代过程发散 因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。 4-3、试对附图所示的常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高斯 -赛德尔迭代法计算4321 , tttt 之值。 解：温度关系式为： 5104/115304/130204/130404/1324413412321tttttttttttt开始时假设取 200201 tt ； 150403 tt 得迭代值汇总于表 迭代次数 0 20 20 15 15 1 26.25 22.812
7、5 21.5625 14.84375 2 28.59375 23.359375 22.109375 15.1171875 3 28.8671875 23.49609375 22.24607565 15.18554258 4 28.93554258 23.53027129 22.28027129 15.20263565 5 28.95263565 23.53881782 22.28881782 15.20690891 6 28.9569089 23.54095446 22.290955445 15.20797723 其中第五次与第六次相对偏差已小于 410 迭代终止。 4-4、试对附图所示的等截
8、面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节点 2 ， 3 的 温 度 。 图 中)./(30,25,85 2000 KmWhCtCt f .肋高 H=4cm,纵剖面面积 ,4 2cmAL 导热系数 )./(20 KmW 。 解：对于 2 点可以列出： 节点 2： ;0)(2 214321 ttxhxttxtt 节点 3：0)(22)(2 3132 ttxhtthx tt ff。 由此得： 0)(2 2122321 ttxhtttt ， 0)(2)( 32332 tthxtthtt ff ， 22222312 xHhtxHhttt f 212 2223 xhhtxhthtt ff 06.001.020
9、 02.030 22 xh ，于是有： 12.02 12.0212 ftttt ， 53.2 53.153.2 03.05.103.020/301 03.020/30 2f223 ffff ttttttttt ，代入得： ff ttttt 12.053.2 53.112.2 212 ， f212 3 0 3 6.053.153.23 6 3 6.5 ttttt f ， fttt 8 3 3 6.153.23 6 3 6.4 12 ， 3 6 3 6.48 3 3 6.153.22 ff ttt ， Ct 8.5979.593 6 3 6.4 84.4505.2 1 53 6 3 6.4 258
10、 3 3 6.18553.22 ， Ct 8.3875.3853.2 2553.18.593 。 离散方程的建立 4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指出其稳定性条件（ )yx 。 解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为 2222 y tx tat 扩散项取中心差分， 非稳态项取向前差分： 2 112 111 22y tttx tttattinininininininin 所以有 inininin tyxattyxat 2211221 112111 稳定性条件 2/1 yx FoFo 4-6、极坐标中常物性无内热源的非稳态导热微分方程为 2222
11、2 11 trrtrr tat 试利用本题附图中的符号，列出节点（ i,j）的差分方程式。 解：将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替，可得： 1 1 1 1 1 1 1 12 2 22211 2kk i k k k k k k k kj t j t j t j j t j j i j i j i jjjt t t t t t t t t ra r r r r ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 也可采用热平衡法。对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得： 1 11k k k k k ki j i j i j i j i j i jj jjt t t t t tr r c r rrr
12、 ， ， ， ， ， ， 1 1 ,22k k k ki j i j i j i jjjt t t trrrrrr ， ， ， 对等式两边同除以 jrr 并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。 4-7、一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却，底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温度的变化，取中心角为 1rad 的区域来研究（如本题附图所示）。已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度，金属的热扩散率，试列出图中节点（ 1， 1），（ M,1）(M,n)及（ M,N）的离散方程式。在 r 及 z 方向上网格是各自均分的。 解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方
13、程。 节点（ 1， 1）： 2 121 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 112 2 2 2 8 2k k k k k kt t t t t tr r z r zczr ， ， ， ， ， ， 节点（ m， 1）： 1 1 , 1 1 1 1 2 1 1 1 ;2 2 2 2 2kk kk k k k kmm m m m m m mm m m mtt t t t t t tz z z z zr r r r c r rr r z ， ， ， ， ， ， ， 节点（ m， n）： 1 ,4411 1 1 1003 3 32 2 4 2 2 4 2 4 2 2 kkk k k k m n m
14、nm n m n m n m n m m m m m mm m m m n m n ttt t t t r r r r r rr z r z r r zr r h t t T T cr z r ， ， ， ， ， ， 。 4-8、一个二维物体的竖直表面收液体自然对流冷却，为考虑局部表面传热系数的影响，表面传热系数采用25.11)( ttch 来表示。试列出附图所示的稳态无内热源物体边界节点（ M,n）的温度方程，并对如何求解这一 方程提出你的看法。设网格均分。 解：利用热平衡法： 0 .2 5M n f M n fh c t t t t ， ， 将 h 写为 0 .2 5M n f M n f
15、h c t t t t ， ，其中 Mnt， 为上一次迭代值，则方程即可线性化。 4-9、在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点 4），其余两个界面与温度为 ft 的流体对流换热， h 均匀，内热源强度为 。试列出节点 1， 2， 5， 6， 9， 10 的离散方程式。 解 ： 节 点 1 ： 51 21 111 02 2 4 2 ftt ttxy x y y h t tyx ； 节点 2： 3 2 6 212 1 02 2 2t t t ttt yy x x yx x y ； 节点 5： 1 5 9 5 6 5 51 02 2 2 ft t t t t t
16、yx y x y y h t ty y x ； 节点 6： 2 6 7 6 1 0 5 5 6 0t t t t t t t tx y x y x yy x y x ； 节点 9： 5 9 1 0 9 91 02 2 4 2 2 ft t t tx y x yx y h t tyx ； 节点 10： 9 1 0 1 1 1 0 6 1 0 101 02 2 2 ft t t t t tyy x x y x h h txxy 。 当 xy 以上诸式可简化为： 节点 1： 25 2 1 12 2 02fh y h yt t t t y ； 节点 2： 26 1 3 22 4 0t t t t y
17、； 节点 5： 26 1 9 52 2 2 2 0fh y h yt t t t t y 节点 6： 27 1 0 5 7 640t t t t t y ； 节点 9： 25 1 0 9 12 2 1 02fh y h yt t t t y ； 节点 10： 26 9 1 1 1 02 2 2 2 0fh y h yt t t t t y 。 一维稳态导热计算 4-10、一等截面直肋，高 H,厚 ，肋根温度为 0t ，流体温度为 ft ，表面传热系数为 h,肋片导热系数为 。将它均分成 4 个节点（见附图），并对肋端为绝热及为对流边界条件（ h 同侧 面 ） 的 两 种 情 况 列 出 节 点
18、 2 ， 3 ， 4 的 离 散 方 程 式 。 设H=45cm, )./(50,10 2 KmWhmm , =50W/(m.K), 1000 t ， 20ft ，计算节点2， 3， 4 的温度（对于肋端的两种边界条件）。 解：采用热平衡法可列出节点 2、 3、 4 的离散方程为： 节点 2： 1 2 3 2 220 ft t t t h x t txx ； 节点 3： 2 3 4 3 320 ft t t t h x t txx ； 节点 4：肋端绝热 34 4 0ftt h x t tx ， 肋端对流 34 44 0fftt h x t t h t tx 。 其中 3Hx 。将已知条件代入
19、可得下列两方程组 ： 肋端绝热 322 .0 4 5 1 0 0 .9 0tt 2 3 42 .0 4 5 0 .9 0t t t 341 .0 2 2 5 0 .4 5 0tt 肋端对流 322 .0 4 5 1 0 0 .9 0tt 2 3 42 .0 4 5 0 .9 0t t t 341 .0 3 7 5 0 .8 0tt 由此解得：肋端绝热 02 92.2tC ， 03 87.7tC ， 04 86.2tC ； 肋端对流 02 91.5tC ， 03 86.2tC ， 04 83.8tC 。 肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。 4-11、复合材料在航空航天及化工等工业中日
20、益得到广泛的应用。附图所示为双层圆筒壁，假设层间接触紧密，无接触热阻存在。已知40,18,16,5.12 1321 mmrmmrmmr W/(m.K)， 1 5 0),./(1 2 0 12 ftKmW ，60),./(1 0 0 0 221 ftKmWh ， )./(380 22 KmWh 。试用数值方法确定稳态时双层圆筒壁截面上的温度分布。 解：采用计算机求解 ，答案从略。 采用热平衡法对两层管子的各离散区域写出能量方程，进行求解 ;如果采用 Taylor 展开法列出方程，则需对两层管子单独进行，并引入界面上温度连续及热流密度连续的条件，数值计算也需分两区进行，界面耦合。截面的温度分布定性
21、地示于上图中。 4-12、有一水平放置的等截面直杆，根部温度 1000 t ，其表面上有自然对流散热， 4/1/ dttch f ，其中， );./(20.1 75.1 CmWc o d 为杆直径， m 。杆高 H=10cm，直径d=1cm, 50W/(m.K)， 25t 。不计辐射换热。试用数值方法确定长杆的散热量（需得出与网格无关的解。杆的两端可认为是绝热的。 解 ：数值求解过程略， Q=2.234W。 4-13 在上题中考虑长杆与周围环境的辐射换热，其表面发射率为 0.8，环境可作为温度为 t的大空间，试重新计算其导热量。 解：数值求解过程略， Q=3.320W。 4-14、有如附图所示
22、的一抛物线肋片，表面形线方程为： 2/12 2Hxebexy 肋根温度 0t 及内热源 恒定，流体表面传热系数 h,流体温度 ft 为常数。定义： Hxttttff /,0 。试：（ 1）建立无量纲温度 的控制方程；（ 2）在无量纲参数 01.0,1.0,05.0,01.002 hHHbHett H f 下对上述控制方程进行数量计算。确定无量纲温度 的分布。 解：无量纲温度方程为： 222/ 0 . 0 1 2 / 5 5 1 0dd 。数值计算结果示于下图中，无量纲温度从 肋根的 1 变化到肋端的 0.852。 一维非稳态导热计算 4-15、一直径为 1cm,长 4cm 的钢制圆柱形肋片，初
23、始温度为 25，其后，肋基温度突然升高到 200，同时温度为 25的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为100 )./( 2 KmW 。试将该肋片等分成两段（见附图），并用有限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻 4 个时刻上的温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据）。已知 43W/(m.K)， sma /10333.1 25 。（提示：节点 4 的离散方程可按端面的对流散热与从节点 3到节点 4的导热相平衡这一条件列出）。 解：三个 节点的离散方程为： 节点 2： 12 2 2321 2 2 22/ 2 4 4 4kkk k k kkfttt t t td d dd x
24、 h t t c xxx 节点 3： 12 2 24 3 2 3 3 33/ 2 4 4 4k k k k k kkft t t t t td d dd x h t t c xxx 节点 4： 2234 4/ 2 4 4kk k ftt dd h t tx 。 以上三式可化简为： 1 2 1 3 22 2 24 3 421kk fa a h a ht t t t tx x c d x c d 1 3 2 4 32 2 24 3 421 fa a h a ht t t t tx x c d x c d 4322kk fx h t t x h t 稳定性要求 23410ahx cd ，即 2341
25、/ ahx cd 。 5543 3 2 . 2 5 8 1 01 . 3 3 3 1 0c a ，代入得： 5253 1.33 3 10 4 100 11 / 8.89 8770.02 0.01 32.2 58 10 0.09 997 5 0.01 24 s ， 如取此值为计算步长，则： 5221 . 3 3 3 1 0 8 . 8 9 8 7 7 0 . 2 9 6 60 . 0 2a x ， 54 4 1 0 0 8 . 8 9 8 7 7 0 . 1 1 0 33 2 . 2 5 8 1 0 0 . 0 1hcd 。 于是以上三式化成为： 11 3 22 0 . 2 9 6 6 0 .
26、2 9 6 6 0 . 1 1 0 3kkft t t t 12 4 30 . 2 9 6 6 0 . 2 9 6 6 2 0 . 1 1 0 3k k kft t t t 340 .9 7 7 3 0 .0 2 2 7kkft t t 8.89877 s 时间 点 1 2 3 4 0 200 25 25 25 200 128.81 25 25 2 200 128.81 55.80 55.09 3 200 137.95 73.64 72.54 4 200 143.04 86.70 85.30 在上述计算中，由于 之值正好使 23410ahx cd ， 因而对节点 2 出现了在 及 2 时刻温度
27、相等这一情况。如取 为上值之半，则2 0.1483ax ，4 0.0551hcd ， 2341 0 .5ahx cd ，于是有： 11 3 2 22 0 . 1 4 8 3 0 . 1 4 8 3 0 . 5 0 . 0 5 5 1k k kft t t t t 12 4 3 30 . 1 4 8 3 0 . 1 4 8 3 2 0 . 5 0 . 0 5 5 1k k k kft t t t t 340. 97 73 0. 02 27kkft t t 对于相邻四个时层的计算结果如下表所示： 4.4485 s 时间 点 1 2 3 4 0 200 25 25 25 200 76.91 25 2
28、5 2 200 102.86 32.70 32.53 3 200 116.98 42.63 42.23 4 200 125.51 52.57 51.94 4-16、一厚为 2.54cm 的钢板，初始温度为 650，后置于水中淬火，其表面温度突然下降为 93.5并保持不变。试用数值方法计算中心温度下降到 450所需的时间。已知sma /1016.1 25 。建议将平板 8 等分，取 9 个节点，并把数值计算的结果与按海斯勒计算的结果作比较。 解：数值求解结果示于下图中。随着时间步长的缩小，计算结果逐渐趋向于一个恒定值，当 =0.00001s 时，得所需时间为 3.92s。 如图所示，横轴表示时间
29、步长从 1 秒， 0.1 秒， 0.01 秒， 0.001 秒， 0.0001 秒， 0.00001秒的变化；纵轴表示 所需的冷却时间（用对数坐标表示）。 4-17、一火箭燃烧器，壳体内径为 400mm,厚 10mm,壳体内壁上涂了一层厚为 2mm 的包裹层。火箭发动时，推进剂燃烧生成的温度为 3000的烟气，经燃烧器端部的喷管喷住大气。大气温度为 30。设包裹层内壁与燃气间的表面传热系数为 2500 W/(m.K)，外壳表面与大气间的表面传热系数为 350 )./( 2 KmW ，外壳材料的最高允许温度为 1500。试用数值法确定：为使外壳免受损坏，燃烧过程应在多长时间内完成。包裹材料的 0
30、.3 W/(m.K)，a= sm /102 27 。 解：采用数值方法解得 420s 。 4-18、锅炉汽包从冷态开始启动时，汽包壁温随时间变化。为控制热应力，需要计算汽包内壁的温度场。试用数值方法计算：当汽包内的饱和水温度上升的速率为 1 /min,3 /min 时，启动后 10min,20min,及 30min 时汽包内壁截面中的温度分布及截面中的最大温差。启动前，汽包处于 100的均匀温度。汽包可视为一无限长的圆柱体，外表面绝热，内表面与水之间的对流换热十分强烈。汽包的内径 ,9.01 mR 外半径 ,01.12 mR 热扩散率sma /1098.9 26 。 解：数值方法解得部分结果如下表所示。 汽包壁中的最大温差， K 启动后时间， min 温升速率， K/min 1 3 10 7.136 21.41 20 9.463 28.39 30 10.19 30.57
