1、重庆大学 光电学院 电磁场与微波技术答案 李媛 李久生 第三章 3-3 电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，体密度为 ，两圆柱半径分别为 a 和 b，轴线相距 c， a c b，如图题 2 4 所示。求空间各区域的电场强度。 解 设 1D 和 2D 分别为半径 a 的均匀带电圆柱和半径 b 的均匀带电圆柱对 P 点产生的电通量密度，则总电通量密度 12D D D 。设 P 点距两圆柱轴心分别为 r 和 r 。 rb 时，由高斯定理 2220 1 1 2002 22bbE r b E rr 1 rE22 2 0 1 1 2002 22aaE r a E rr 1 rE 222 20022ba
2、rr 11E E E,r b r a时，由高斯定理 20 2 2002 22rE r r E 2 rE 22 2 0 2 2 2002 22aaE r a E rr 2 rE 220022 a r 22 rrE E E ,ra 时，由高斯定理 20 3 3002 22rE r r E 3 rE 2 0 3 3002 22rE r r E 3 rE abPrrbaC33 0 0 02 2 2 r rE E E C3-4 题 3-5 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 和 ，圆柱表面分别带有密度为 和 的 面电荷。（ 1）计算各处的电位移 ；（ 2）欲使 区域内 ，则 和应具有什么关系？ 解 （ 1）
3、由高斯定理 ，当 时，有 当 时，有 ，则 当 时，有 ，则 （ 2）令 ，则得到 3-13 平行板电容器的长、宽分别为 和 ，极板间距离为 。电容器的一半厚度 ( )ra rb ()ba1 2 0D rb 0 0D 120 dS qDS ra 01 0Da r b 02 122rD a 102 r arDebr 0 3 1 22 2 2r D a b 1203 r abrDe1203 0r abrDe 12ba a b d 20 d用介电常数为 的电介质填充， 如题 4.3 图所示 。 (1) (1) 板上外加电压 ，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷； (2) (2) 若已知板上的自由电荷总
4、量为 ，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。 解 （ 1） 设介质中的电场为 ，空气中的电场为 。由 ，有 又由于 由以上两式解得 ， 故下极板的自由电荷面密度为 上极板的自由电荷面密度为 电介质中的极化强度 故下表面上的束缚电荷面密度为 上表面上的束缚电荷面密度为 （ 2）由 得到 故 0UQzEEe 0E 0zEe D 0D00EE00 22 UdEdE 0002()UE d 0002()UE d 0002()UE d 下000002()UE d 上0 0 0002 ( )() ()z Ud P E e0 0 002 ( )()pz Ud eP下0 0 002
5、( )()pz Ud eP上002()UQab d 00()2 dQU ab0()p Qab 下0()p Qab 上题 4.3 图 四章习题解答 4.1 真空中直线长电流 的磁场中有一等边三角形回路，如题 5.1 图所示，求三角形回路内的磁通。 解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流 产生的磁场 穿过三角形回路面积的磁通为 由题 5.1 图可知， ，故得到 4.2 通过电流密度为 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题 5.2图所示。计算各部分的磁感应强度 ，并证明腔内的磁场是均匀的。 解 将空腔中视为同时存在 和 的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：
6、一个电流密度为 、均匀分布在半径为 的圆柱内，另一个电流密度为 、均匀分布在半径为 的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。 由安培环路定律 ，可得到电流密度为 、均匀分布在半径为 的圆柱内的电流产生的磁场为 电流密度为 、均匀分布在半径为 的圆柱内的电流产生的磁场为 II02 Ir BedS BS 3 2 3 20002 d d d2 d b d bzddII zz x xxx ( ) ta n 6 3xdz x d 320 d3dbdI xd xx 0 3 ln (1 ) 223I b d bd JBJ JJ bJ a0dC IBl J
7、 b020222bbbbbbrbb rbrJrB Jr J a题 5.1 图 题 5.2 图 这里 和 分别是点 和 到场点 的位置矢量。 将 和 叠加，可得到空间各区域的磁场为 圆柱外： 圆柱内的空腔外： 空腔内： 式中 是点和 到点 的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。 4.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量 。 (1) （圆柱坐标） (2) (3) (4) （球坐标系） 解 根据恒定磁场的基本性质，满足 的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由 求出源分布。 （ 1）在圆柱坐标中 该矢量不是磁场的场矢量。 （ 2） 该矢
8、量是磁场的矢量，其源分布为 （ 3） 该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 （ 4） 在球坐标系中 该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 020222aaaaaaraa rarJrB Jr ar br ao bo PaB bB2202 babarrB J r r ()brb2022 baaarB J r r ( , )bar b r a 0022baB J r r J d ()arad bo aoJ0,r arH e B H0( ) ,xya y a xH e e B H 0,xya x a yH e e B H 0,arH e B H 0B JH211( ) ( ) 2 0rr B a r ar r
9、 r rB ( ) ( ) 0a y a xxyB 20x y zz ax y za y a xe e eJ H e ( ) ( ) 0a x a yxyB 00x y zx y za x a ye e eJH 11 ( ) 0s i n s i nB arrrB 4.45 5 如题 5.12 图所示，一环形螺线管的平均半径 cm，其圆形截面的半径cm，鉄芯的相对磁导率 ，环上绕 匝线圈，通过电流 。 （ 1）计算螺旋管的电感； （ 2）在鉄芯上开一个 的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的 不变） （ 3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。 22s in1 c ta g 2s in0 0
10、s inrrrraarrare e eJ H e e 150r 2a1400r 1000N AI 7.0cm1.00 l r解 （ 1）由于 ，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。 由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为 与螺线管铰链的磁链为 故螺线管的电感为 （ 2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有 ，但空气隙中的磁场强度 与铁芯中的磁场强度 不同。根据安培环路定律，有 又由于 、 及 ，于是可得 所以螺线管得磁链为 故螺线管得电感为 （ 3）空气隙中的磁场能量为 鉄芯中的磁场能量为 故
11、0ra02NIH r2202a N INS H r2202aNL Ir 7 2 21 4 0 0 4 1 0 0 . 0 2 1 0 0 0 2 . 3 4 6 H2 0 . 1 5 0B B B 0HH0 0 0 0( 2 )H l H r l N I 0 0 0BH 0 rBH BBB 0 00 0 0( 2 )rrNIB l r l 2200 0 0( 2 )rra N INS B l r l 2200 0 0( 2 )rraNL I l r l 2 7 2 24 1 0 1 4 0 0 0 . 0 2 1 0 0 0 0 . 9 4 4 H1 4 0 0 0 . 0 0 1 2 0 . 1 5 0 . 0 0 1 20 0 0 012mW H Sl20 0 01 ( 2 )2mrW H S r l 00001 4 0 0 0 . 0 0 1 1 . 4 8 72 2 0 . 1 5 0 . 0 0 1mrmWlW r l 题 5.12 图
