1、一简答题1.晶格常数为 a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。 （答案参考教材 P78）（1）体心立方基矢： ，体积： ，最近邻格点数：8123()()aijkaijk312a（2）面心立方基矢： ，体积： ，最近邻格点数：12123()()ijaki314a2.习题 1.5、证明倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶123Ghb123()h面系。证明：因为 ，3312,aaCABhh123Ghb利用 ，容易证明2ijijb1230hCAB所以，倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123b123()h3.习题 1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为
2、的晶面系，面间距,kl满足： ，其中 为立方边长；d222()ahkla解：简单立方晶格： ，123123,ijak由倒格子基矢的定义： ， ，1123ba1223b1233ab倒格子基矢： 1232,bijbka倒格子矢量： ，123Ghkl2Ghijlka晶面族 的面间距：()kld221()()kla22()adhkl4.习题 1.9、画出立方晶格（111）面、 （100）面、 （110）面，并指出（111）面与（100）面、 （111）面与（110）面的交线的晶向。解： (1)（1） 、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB 平移，A 与 O 点重合，B 点位矢：，BRajk(
3、111)面与(100)面的交线的晶向 ，晶向指数 。Bajk01（2） 、(111)面与(110)面的交线的 AB，将 AB 平移，A 与原点 O 重合，B 点位矢：，(111)面与(110)面的交线的晶向 ，晶向指数 。BRaij aij105.固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？（1）基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式（2）相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. （答案参考教材 P49）6.什么是声子？声子就
4、是指格波的量子，它的能量等于 。在晶体中存在不同频率振动q的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。 （答案参考教材 P92）7.对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系 WK 示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。 （答案参考教材 P9597）解：（1）一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系 WK 示意图如下上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。（2）当波矢 q 很小时，w 与 q 的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为 w 的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为
5、光学波。8.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带;绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材 P250254)9.请问德拜模型的基本假设是什么？基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是
6、弹性介质，徳拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。 （答案参考教材 P126129）10.晶体由 N 个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式态密度： ，频率表达式：2_3()VgC_21/36()mNCV答案参考教材 P12712911.简述 Bloch 定理, 该定理必须采取什么边界条件？（答案参考教材P154157）（1）当势场具有晶格周期性时，波动方程的解 具有如下性质：，其中 k 为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当()()nikRrer平移晶格矢量 时，波函数只增加了位相因子 。n nikRe（2）边界条件： 1()rN23()r其中 ， ， 为沿 ， ， 方向的原
7、胞数，总的原胞1N2312N= 。23二、证明 or 计算题1.已知某晶体中相距为 r 的相邻原子的相互作用势能可表示为：，其中 、 、mn 都是0 的常数，求：()mnUrra) 平衡时两原子间的距离；b) 平衡时结合能；思路参考教材 P5354解：（1）求平衡间距 r0由 ，有：)(0rdu mnnmnmr 1101.0 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用 w 表示）（2）求结合能 w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，
8、晶体的势能，即 minU即： （可代入 r0值，也可不代入）001()2mnWUrr2.已知 N 个质量为 m，间距为 a 的相同原子组成的一维原子链，(1)推导其色散关系(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。 (3)试求出它的格波态密度函数 g()，并作图表示。解：（1） 1 111()()(2)nnnnnnnm设方程的解 ,代回方程中得到：itaqAe，2 241cossin()m2sinaqm（2） ，截止频率范围以外的 q 值并不能提供其他不同的波，q 的取值范围称为布里渊区。（3） ，代入 即可得出。2_3()VgC答案参考教材 P8287习题 4-3. 电子在
9、周期场中的势能函数 bnaxbanaxbmxV1,02122当当其中 ， 为常数，a4(1)画出此势能曲线，并求其平均值；(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。解 ：(I)题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均值：由图可见， 是个以 为周期的周期函数，所以()Vxa11()()aabLbVxdd题设 ，故积分上限应为 ，但由于在 区间内 ，4ab3,3b()0Vx故只需在 区间内积分这时， ，于是 ,0n。222 321 1()() 6bb bbmmVxdxdxmaaa（3） ，势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数20 0 01()cos,()cos
10、()cos2 2bbmmxVxVxdxVxdb 1 1220,1()bg gmEEb第 一 个 禁 带 宽 度 以 代 入 上 式利用积分公式 得22 3cossincossinuuduu第二个禁带宽度 代入上式2316mbg 2,2gV以 代 入 上 式 ,再次利用积分公式有220()cosbg xEdb 2mb2gE4-3 用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与 s 态原子能级对应的能带的 函数。k解：（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：()0()()sikRss sRsEkJJe近 邻在面心立方中，有12个最近邻，若取 ，则这12个
11、最近邻的坐标是：0m (1,0)(,)(1,0)(,)22aa ,1 (1,0),)(1,0)(,)22aa由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此 有相同()SJR的值，简单表示为J 1= 。又由于s态波函数为偶宇称，即()SJR ssr在近邻重叠积分 中，波函数*()()(sissiRUVd的贡献为正J 10。于是，把近邻格矢 代入 表达式得到：SR()sSE01() sikRsSRsEkJe近 邻=()()()()222201xyxyxyxyaaaaikikikikSJeeee+()()()()2222yzyz yz yzaaaaikikikikeeee()()()()22
12、22xzxzxzxzaaaaikikikik =012cos()cos()cos()cos()222SxyxyyzyzaaaaJkkkk cos()cos()2zxzxakk()s()2cos= 014cosccos2 2s xyyzzxaaaJkkk （2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是： (1,)(,)(1,)(,1)22aa,01()8(coscos)22ss xyzaaEkJkk习题 5-1. 晶格常数为 的一维晶体电子能量 )cos8cs87()(2 kkmahk试求：(1)能带宽度；(2)波矢为 k 的电子速度；(3)能带底部和顶部的电子有效质量解：（1）271()(cos2)8Ekam= coska+ (2cos2ka1)28 (coska2) 21 24ma当 ka(2n+1)时,n=0,1,2 2max()Ek当 ka=2n时, 能带宽度min()0Ek2axmin（2） 11(sisin2)4dak(3) 2* 11(coscs2)Ekmkaka当 时,带底，0*m当 时,带顶，ka23习题 6.2，习题 6.3，习题 6.4
