1、1一道回味无穷的数学高考试题1 试题展示 2008 全国 2（20） （本大题满分 12 分） 设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a，an+1=Sn+3n，nN*. （）设 bn=Sn-3n，求数列bn的通项公式； （） 若 an+1an，nN*，求 a 的取值范围. 2 思路简析 （） 思路 1 依题意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即 Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）.因此，所求通项公式为 bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，nN*. 思路 2 由 an+1=Sn+3n 和 an+2=Sn+1+3n+1 消去 Sn 和 Sn+1 得
2、an+2-2?3n+1=2（an+1-2?3n） ，nN*从而数列an+1-2?3n是等比数列可求出an 再求出 Sn 和 bn 思路 3 由 bn=Sn-3n=an+1-2?3n 得 bn+1=an+2-2?3n+1 从而得bn+1/bn=（an+2-2?3n+1）/（an+1-2?3n）=2 进一步可求出 bn （） 思路：由于是，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=23n-1+（a-3）2n-2，an+1-an=43n-1+（a-3）2n-2=2n-212（32）n-2+a-3， 当 n2 时， 2an+1an12（32）n-2+a-30 a3-12（32）n-2 恒成立 a3-12（3
3、2）n-2maxa-9.又 a2=a1+3a1. 综上，所求的的取值范围是-3，+）. 3 五点闪光 本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式、不等式成立的条件、函数单调性与最值等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及化归思想的应用. 3.1 题意简明，人人能懂：本题的第一个闪光点就是题目简单易懂，人人平等，不管语文基础如何都能读懂，与过去一些高考题中有的题根本读不懂题意大不相同，如1999 全国23.（本小题满分 14 分）就不一样了.请看： 已知函数 y=f（x）的图像是自原点出发的一条折线，当nyn+1（n=0，1，2，）时，该图像是斜率为 bn 的线段（
4、其中正常数b1） ，设数列|xn|由 f（xn）=n（n=1，2，）定义.求 x1、x2 和xn 的表达式；.求 f（x）的表达式，并写出其定义域； .证明：y=f（x）的图像与 y=x 的图像没有横坐标大于 1 的交点. 3.2 依纲据本，突出重点：数列的重点内容之一是等比数列，高考很多题最终都要化为等比数列来解答，本题立足课本，体现了教材和大纲的指导作用. 公式 sn=a1-anq1-q=a11-q-q1-qan 与 sn+1-sn=an 在解题过程中发挥重要作用，在全日制普通高级中学教科书数学第一册（上）第 142 页第 5 题有类似的题：在数列an中，a1=1，an+1=3Sn， （n
5、1） ，求证：a2，a3，an 是等比数列. 3所以说，本题能依纲据本，又突出重点. 3.3 方法多样， 化归当先：本题方法多样，学生在解题中有很多选择的余地，遵循高考命题的一贯宗旨，突出了数学的第一思想化归思想，把不会变为会做的，把新题变为旧题，这种做法在高考的很多资料上都有所体现，使学有似曾相识之感，只要努力学习的学生都能有所收获。 3.4 立意新颖，不落俗套：本题虽然有似曾相识之感，但是，又不是最常见的 an+1，an 型或型 Sn+1，Sn，立意较为新颖，用的是an+1，Sn 型，要解题就要化为同类型的量的关系式。第二问也不是最常见的求 n，因此，本题确有立意新颖，不落俗套之感，与下题
6、相比就略胜一筹。 2007 天津文 20在数列an中，a1=2，an+1=4an-3n+1，nN*. （）证明数列an-n是等比数列； （）求数列an的前 n 项和 Sn； （）证明不等式 Sn+14Sn，对任意 nN*皆成立. 3.5 不偏不怪，推陈出新：本题的第二问虽然有点难度，但也不是很偏很怪的题，在过去的高考题中早就出现， 早在 1990 年的全国高考题和广东省高考题中就出现此法，并且在很多参考书中也常出现分离变量法，只不过把此法用在数列中是一种创新，就体现出推陈出新之妙. 1990 全国 1 （26）f（x）=lg1+2x+（n-1）x+nxan，其中 a 是实数，n 是任意自然数且 n2. 4（）如果 f（x）当 x（-，1时有意义，求 a 的取值范围； （）解：f（x）当 x（-，1时有意义的条件是 1+2x+（n-1）x+nxa0 x（-，1， n2， 即 a-（1n）x+（2n）x+（n-1n）xx（-，1） 因为-（kn）x（k=1，2，n-1）在（-，1， 上都是增函数， 所以 -（1n）x+（2n）x+（n-1n）x 在（-，1上也是增函数，从而它在 x=1 时取得最大值 -（1n+2n+n-1n）=12n（n-1）n=-12（n-1）. 因此，式等介于 a-12（n-1）. 也就是 a 的取值范围为 （a|a-12（n-1）.
