1、1常见抽象函数解析式的求法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，使其更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维。现将常见解法及意义总结如下。 一、换元法 即用中间变量表示原自变量 x 的代数式，从而求出 f（x） ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法能培养学生的灵活性及变形能力。 例 1 已知 f（ ）=2x+1，求 f（x） 。 解：设 =u，则 x= ，f（u）=2 +1= ，f（x）= 。 二、凑合法 在已知 f（g（x） ）=h（x）的条件下，把 h（x）并凑成以 g（u）表示的代数式，再利用代换
2、即可求 f（x） 。此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例 2 已知 f（x+ ）=x3+ ，求 f（x） 。 解：f（x+ ）=（ x+ ）=（x2-1+ ）=（x+ ） （x+ ）2-3） ，又|x+ |=|x|+ 1， f（x）=x（x2-3）=x3-3x， （|x|1） 。 三、待定系数法 先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中2的未知系数。 例 3 已知 f（x）二次实函数，且 f（x+1）+f（x-1）=x2+2x+4，求f（x） 。 解：设 f（x）=ax2+bx+c，则 f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）2+b（x+1）c+a（x-1）2+b（x-1）
3、+c=2ax2+2bx+2（a+c）=x2+2x+4，比较系数得 2（a+c）=42a=12b=2 a= ，b=1，c= ，f（x）= x2+x+ 。 四、利用函数性质法 主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式。 例 4 已知 y=f（x）为奇函数，当 x0 时，f（x）=lg（x+1） ，求f（x） 。 解：f（x）为奇函数，f（x）的定义域关于原点对称，故先求x0，f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x） ， f（x）为奇函数，lg（1-x）=f（-x）=-f（x） ，当 x0 时，f（x）=-lg（1-x） ，f（x）=lg（1+x） ，x0-lg（1-x） ，x0。 五、构建方程
4、组法 例 5 已知 f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且有 f（x）+g（x）= ，求 f（x） ，g（x） 。 解：f（x）为偶函数，g（x）为奇函数， f（-x）=f（x） ，g（-x）=-g（x） ， 不妨用-x 代换 f（x）+g（x）= 中的 x， f（-x）+g（-x）= ，即 f（x）+-g（x）= 3显见+即可消去 g（x） ，求出函数 f（x）= 再代入求出 g（x）= 。 例 6 设对满足 x0，x1 的所有实数 x，函数 f（x）满足 f（x）+f（ ）=1+x，求 f（x）的解析式。 解：在 f（x）+f（ ）=1+x中以 代换其中 x，得：f（ ）+f（- ）= 再
5、在中以- 代换 x，得 f（- ）+f（x）= -+化简得：f（x）= 。 评析：如果把 x 和 分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失” ，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 六、赋值法 给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 f（x）的表达式。 例 7 设 f（x）的定义域为自然数集，且满足条件 f（x+1）=f（x）+f（y）+xy，及 f（1）=1，求 f（x） 。 解：f（x）的定义域为 N，取 y=1，则有 f（x+1）= f（x）+x+1。 f（1）=1，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3f（n）= f（n-1）+n。 以上各式相加，有 f（n）=1+2+3+n= ，f（x）= x（x+1） ，xN。 4（作者单位：重庆市南川区道南中学）
