1、九阳真经 -搞仫仔第一章 光的电磁理论1.1 在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez= ，(102)1014()+2（各量均用国际单位） ，求电磁波的频率、波长、周期和初相位。解：由 Ex=0，Ey=0，Ez=，则频率 = =(102)1014()+2 2=0.51014Hz， 周期 T=1/=2 10-14s， 10142初相位 0=+ /2（ z=0， t=0） ， 振 幅A=100V/m，波 长 =cT=3108210-14=610-6m。1.2.一 个 平 面 电 磁 波 可 以 表 示 为 Ex=0， Ey=， Ez=0， 求 ： （ 1）221014()+2
2、该 电 磁 波 的 振 幅 ， 频 率 ， 波 长 和 原 点 的 初 相 位是 多 少 ？ （ 2） 波 的 传 播 和 电 矢 量 的 振 动 取 哪 个方 向 ？ （ 3） 与 电 场 相 联 系 的 磁 场 B 的 表 达 式如 何 写 ？解 ： （ 1） 振 幅 A=2V/m， 频 率 =Hz，波长 = =2=210142=1014 =31081014， 原 点 的 初 相 位 0=+ /2； （ 2） 传3106播 沿 z 轴 ， 振 动 方 向 沿 y 轴 ； （ 3） 由 B=， 可 得 By=Bz=0， Bx=1()221014()+21.3.一 个 线 偏 振 光 在 玻
3、璃 中 传 播 时 可 以 表 示 为Ey=0， Ez=0， Ex= ，1021015(0.65)试 求 ： （ 1） 光 的 频 率 ； （ 2） 波 长 ； （ 3） 玻璃 的 折 射 率 。解 ： （ 1） = = =51014Hz；210152（2）=2= 21015/0.65=20.6531081015 =3.9107=390；（3）相速度 v=0.65c，所以折射率 n=0.651.541.4 写出：（1）在 yoz 平面内沿与 y 轴成 角的方向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。解：（1）由 ，可得=（ ）；=(+)（2）同理：发散球面波，(， )=()
4、=1()汇聚球面波。(， )=()=1()1.5 一平面简谐电磁波在真空中沿正 x 方向传播。其频率为 Hz，电场振幅为 14.14V/m，如41014果该电磁波的振动面与 xy 平面呈 45，试写出E， B表达式。解： ，其中=+=10(2 2 )=10(22 )=10(2410143108 241014)，=10(83106)(3108)同理：。=10(83106)(3108)，其中=1(0)=+=103108(83106)(3108)。1.6 一个沿 k方向传播的平面波表示为 E=，试求 k100(2+3+4)16105方向的单位矢 。k0解： ，|= 22+32+42= 29又 ，=2
5、+3+4 = 。0129(2+3+4)1.9 证明当入射角 =45 时，光波在任何两种介1质分界面上的反射都有 。=2证明： =sin(12)sin(1+2)=sin45cos2cos45sin2sin45cos2+cos45sin2=cos2sin2cos2+sin2=1tan21+tan2=tan(12)tan(1+2)= = =(tan45tan2)/(1+tan45tan2)(tan45+tan2)/(1tan45tan2)(1tan21+tan2)221.10 证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。证明：由布儒斯特角定义，+i=90，设空
6、气和玻璃的折射率分别为 和 ，先由空气1 2入射到玻璃中则有 ，再由玻璃出1sin=2sin射到空气中，有 ，2sin=1sin又 ， ，= n1sin=1sin=即得证。1.11 平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃上，求：（1）能流反射率 和 ；(=1.5) （2）能流透射率 和 。 解：由题意，得 ，=21=1.5又 为布儒斯特角，则 = . +90. 1=2=由、得， ， 。=56.31=33.69（1） 0，=2(-)2(+)=，=2(-)2(+)=0.148=14.8%（2）由 ，可得 ，+=1 =1同理， =85.2 。 %1.12 证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时
7、， ，其中 。=1 =21证明： ，因为 为布儒斯特=2sin2cos1sin(1+2)cos(12) 1角，所以 ，2+1=90= 2sin2cos1sin90cos(1-2)= 2sin2cos1cos(90-2-2)= ，又根据折射定律2sin2cos1sin(22) =2sin2cos12sin2cos2=sin2sin1，得 ，1sin1=2sin2sin2sin1=12=1则 ，其中 ，得证。=1 =211.17 利用复数表示式求两个波和 的合1=cos(+) 2=cos(-)成。解：=1+2=cos(+)cos(-)=(+)()=()(-)=2sin()(cos-sin)= 。2
8、(+2)sin()1.18 两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为 和1=1(1-)。若 Hz，2=2cos(2-) =21015V/m， 8V/m， ， ，求该1=6 2= 1=0 2=2点的合振动表达式。解：=1+2=1(1-)+2cos(2-)=6cos(21015)+8(221015)=6(21015)+8(21015)=10(61021015)= 。10(5374821015)1.20 求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。解：由图可知， ，()=(02)+(2)0=20()= ，2(20 +2(+)=2=20()()= ）2（ 20()cos+2()cos= ，
9、 （m 为奇数） ， 2(2222)=822(2)2= 22(2)2，=20()=0所以 ()=422=1(cos2)= 。422(cos12+cos332 +cos552 +)1.21 试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数的表达式。解：由图可知， ，()=1(-)0=20()=2(0 +)=4=20()()=2(0cos+cos)， ，=2sin2 =20()=0所以 。()=2+=12sin2cos1.22 利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波做傅里叶分析。解：由图可知， ，()=1(02)1(2)，0=20()=20 +2(1)=0，=20()()=0，=20()=2(0s
10、in2sin)= ，1(22cos)所以()=1=11(2-2cos)sin=4(sin+13sin3+15sin5+)1.23 氪同位素 放电管发出的红光波长为86605.7nm，波列长度约为 700mm，试求该光波=的波长宽度和频率宽度。解：由题意，得，波列长度 ，2=700由公式 ，=22=605.72700106=5.2104又由公式 ，所以频率宽度2=/ =。2= 3108700103=4.31081.24 某种激光的频宽 Hz，问这种激=5.4104光的波列长度是多少？解：由相干长度 ，所以波列长度=2=。2=2=31085.4104=5.55103第二章 光的干涉及其应用2.1
11、在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度 ，若光波波长=0.01，折射率 =1.5为 500nm，试计算插入玻璃片前后光束光程和相位的变化。解：由时间相干性的附加光程差公式 =(-1)h，=(1.51)0.01=0.005。=2= 250010-60.005=202.2 在杨氏干涉实验中，若两小孔距离为 0.4mm，观察屏至小孔所在平面的距离为 100cm，在观察屏上测得的干涉条纹间距为 1.5cm，求所用光波的波。解：由公式 ，得光波的波长=1.510-30.410310010-2 =610-7=600。2.3 波长为 589.3nm 的钠光照射在双缝上，在距双缝 100cm 的观察
12、屏上测量 20 个干涉条纹的宽度为2.4cm，试计算双缝之间的距离。解：因为干涉条纹是等间距的，所以一个干涉条纹的宽度为 又由公式 ，得双缝间=2.420。 =距离 = 。=589.310-610010102.420 0.4912.4 设双缝间距为 1mm，双缝离观察屏为 1m，用钠光照明双缝。钠光包含波长为 nm 和1=589两种单色光，问两种光的第 10 级亮2=589.6条纹之间的距离是多少？解：因为两束光相互独立传播，所以 光束第 101级亮条纹位置 ， 光束第 10 级亮条纹位1=1 2置 ，所以间距2=2 =21=(21)=1010001 (589.6589)106=6103。2.
13、5 在杨氏双缝干涉的双缝后面分别放置和 ，厚度同为 t 的玻璃片后，原1=1.42=1.7来中央极大所在点被第 5 级亮纹所占据。设nm，求玻璃片厚度 t 以及条纹迁移的方向。=480解：由题意，得 ，(21)=5所以 ，=52-1=548010-91.7-1.4=810-6=8条纹迁移方向向下。2.6 在杨氏双缝干涉实验装置中，以一个长 30mm的充以空气的气室代替薄片置于小孔 前，在观察1屏上观察到一组干涉条纹。继后抽去气室中空气，注入某种气体，发现屏上条纹比抽气前移动了 25个。已知照明光波波长为 656.28nm，空气折射率，试求注入气室内的气体的折射率。=1.000276解：设注入气
14、室内的气体的折射率为 ，则，所以()=25 =25+=25656.2810930103 +1.000276。=5.469104+1.000276=1.0008232.7 杨氏干涉实验中，若波长 =600nm，在观察屏上形成暗条纹的角宽度为 ， （1）试求杨氏干0.02涉中二缝间的距离？（2）若其中一个狭缝通过的能量是另一个的 4 倍，试求干涉条纹的对比度？解：角宽度为 ，=0.02180所以条纹间距 。= 6000.02180=1.72由题意，得 ，所以干涉对比度1=42=2121+12=2 4221+422=45=0.82.8 若双狭缝间距为 0.3mm，以单色光平行照射狭缝时，在距双缝 1
15、.2m 远的屏上，第 5 级暗条纹中心离中央极大中间的间隔为 11.39mm，问所用的光源波长为多少？是何种器件的光源？解：由公式 ，所以=(+12) = (+12)= 。11.391030.310312(4+0.5) =632.8此光源为氦氖激光器。2.12 在杨氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个直径为 2mm 的圆形光源。光源发光的波长为500nm，它到小孔的距离为 1.5m。问两小孔可以发生干涉的最大距离是多少？解：因为是圆形光源，由公式 ，=1.22则 。=1.22 =1.2250010-61.51032 =0.462.13 月球到地球表面的距离约为 km，月3.8105球的直径为
16、3477km，若把月球看作光源，光波长取 500nm，试计算地球表面上的相干面积。解：相干面积 =(0.61 )2=(0.615001063.810113.477109 )2。=3.4910322.14 若光波的波长宽度为 ，频率宽度为 ，试 证明： 。式中， 和 分别为光波的频率|=| 和波长。对于波长为 632.8nm 的氦氖激光，波长宽度为 ，试计算它的频率宽度=210-8和相干长度。解：证明：由 ，则有=2 =2 =（频率增大时波长减小） ，取绝对值得证。=相干长度，=2=632.822108=2.01013=20频率宽度 =310820103Hz。=1.51042.15 在图 2.2
17、2（a）所示的平行平板干涉装置中，若平板的厚度和折射率分别为 和 ，=3=1.5望远镜的视场角为 ，光的波长 ，问通6 =450过望远镜能够看见几个亮纹？解：设能看见 个亮纹。从中心往外数第 个亮纹 对透镜中心的倾角 ，成为第N个条纹的角半径。设 为中心条纹级数， 为中心干涉极小数，令0 ( , )，从中心往外数，0=+ 01第N个条纹的级数为 ，(1)=0(1)则，中 =2h+2=0=(+)=2+2=(1)两式相减，可得 ，2(1cos)=(-1+)利用折射定律和小角度近似，得，( 为平行平板周围介质的=1 1+ 折射率)对于中心点，上下表面两支反射光线的光程差为=2h+2=(21.5310
18、6+4502)=(2104+12)450。因此，视场中心是暗点。由上式，得，因此，有 12 条暗=2=3106(3180)21.5450=12.1环，11 条亮环。2.16 一束平行白光垂直投射到置于空气中的厚度均匀的折射率为 的薄膜上，发现反射光谱=1.5中出现波长为 400nm 和 600nm 的两条暗线，求此薄膜的厚度？解：光程差 ，=(1)=21所以 =211=(600-400)10-31.5-1 =0.42.17 用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时，在长5cm 的范围内共有 15 个亮条纹，玻璃折射率，所用单色光波长 ，问此光楔=1.52 =600的楔角为多少？解：由公式 ，所以楔角 ，
19、=2 =2又 ，=515=13所以 。=600109131021.52=5.9210-52.18 利用牛顿环测透镜曲率半径时，测量出第 10个暗环的直径为 2cm，若所用单色光波长为500nm，透镜的曲率半径是多少？解：由曲率半径公式 =2。=(22102)210500109=202.19F-P 干涉仪两反射镜的反射率为 0.5，试求它的最大透射率和最小透射率。若干涉仪两反射镜以折射率 的玻璃平板代替，最大透射率和=1.6最小透射率又是多少？（不考虑系统吸收）解：当反射率 时，由光强公式=0.5()=， ()= (1-)24+(1-)2()可得最大透射率 ；=1最小透射率 。=(1)24+(1
20、)2=0.11当用玻璃平板代替时， ，则=1.6=(1+1)2=(1.6-11.6+1)2所以 ， 。=1 = (1)24+(1)20.812.20 已知一组 F-P 标准具的间距分别为 1mm 和120mm，对于 的入射光而言，求其相=550.0应的标准具常数。如果某激光器发出的激光波长为 632.8nm，波长宽度为 0.001nm，测量其波长宽度时应选用多大间距的标准具？解： ，(1).=221= 550221106=0.15，(2).=222= 55022120106=0.0013。3=22(3).=632.8220.001=2108=2002.21 有两个波长 和 ，在 600nm 附
21、近相差1 20.0001nm，要用 F-P 干涉仪把两谱线分辨开来，间隔至少要多大？在这种情况下，干涉仪的自由光谱范围是多少？设反射率 。=0.98解：由分辨极限公式 ，得()=221F-P 干涉仪间隔 =22()1= 600220.000110910.980.98=11.58自由光谱范围。().=221= 6002211.58106=0.01552.22 在照相物镜上通常镀上一层光学厚度为 （504）的介质膜。问：（ 1）介质膜的作用？0=550（2）求此时可见光区（390 780nm）反射最大的波长？解：（1）作用：因为上下表面光程差，所以该介质膜对 的反2=254=(2+12)0 0射达
22、到最小，为增透膜；（2）由 ，可知，=504对波长为 ， ，0 =5，反射最大的波长满=(0-)2cos22+(0-)2sin22(0+)2cos22+(0+)2sin22足 ，则 ，取 时则2=254= =502 =2,3 符合条件的可见光的波长分别为 687.5nm 和458.3nm。2.23 在玻璃基片上镀两层光学厚度为 的介质04薄膜，如果第一层的折射率为 1.35，为了达到在正入射下膜系对 全增透的目的，第二层薄膜的0折射率应为多少？（玻璃基片的折射率 ）=1.6解：由题意，得 ， ， ，1=1.35=1.60=1要使膜系对 全增透，由公式0。2=01= 1.611.35=1.71第
23、三章 光的衍射与现代光学3.1 波长 的单色光垂直入射到边长为=5003cm 的方孔，在光轴（它通过方孔中心并垂直方孔平面）附近离孔 z 处观察衍射，试求出夫琅禾费衍射区德大致范围。解：要求 ，又 ，(21+21)2 =2所以 。(21+21) =(3102)22500109=9003.5 在白光形成的单缝的夫琅禾费衍射图样中，某色光的第 3 级大与 600nm 的第 2 极大重合，问该色光的波长是多少？解：单缝衍射明纹公式：当 时，sin=(2+1)2() 1=600，因为 与 不变，当 时，1=2 2=3，所以(21+1)12=(22+1)22。2=(21+1)1(22+1)=(22+1)
24、600(23+1) =428.63.6 在不透明细丝的夫琅禾费衍射图样中，测得暗条纹的间距为 1.5mm，所用透镜的焦距为 300nm，光波波长为 632.8nm。问细丝直径是多少？解：由 ，所以直径即为缝宽= =632.81063001.5 =0.1273.8 迎面开来的汽车，其两车灯相距 ，汽=1车离人多远时，两车灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径 ，光在空气中的有效波=2长 ） 。=500解：此为夫琅禾费圆孔衍射，由公式 ，=1.22所以 。=1.22= 1210-31.2250010-9=3278.73.9 在通常的亮度下，人眼瞳孔直径约为 2mm，若视觉感受最灵敏的光波长为 55
25、0nm，问：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的等号的两横线相距 2mm，坐在距黑板 10m 处的同学能否看清？解：（1） （夫琅禾费圆孔衍射）=1.22rad。=1.225501092103 =3.36104(2) ，所以不能看=210-310=210-4清。3.7 边长为 a 和 b 的矩孔的中心有一个边长为 和0的不透明屏，如图所示，试导出这种光阑的夫0琅禾费衍射强度公式。解：， ，1=sin11sin11 2=00sin22sin22（C 为常数） ，所以 =12=(sin11sin11 00sin22sin22)，=2(sin11sin1100sin22sin22)
26、2因为场中心强度(场中心对应于)为 ，所1=2=1=2=0 0=2(00)2 以 。= 0(-00)2(sin11sin1100sin22sin22)2其中 ， ，1=sin， 1=sin 2=0sin。2=0sin3.10 人造卫星上的宇航员声称，他恰好能分辨离他 100km 地面上的两个点光源。设光波波长为550nm，宇航员眼瞳直径为 4mm，这两个点光源的距离是多大？解:由夫琅禾费圆孔衍射， ，所以=1.22=1.22 =1.2255010-9100103410-3 。=16.7753.11 在一些大型的天文望远镜中，把通光圆孔做成环孔。若环孔外径和内径分别为 a 和 a/2，问环孔的分
27、辨本领比半径为 a 的圆孔的分辨本领提高了多少？解： 由 ，环孔衍射图样=Dsin 3.144第一个零点的角半径为 ，=3.1442=0.51按照瑞利判据, 天文望远镜的最小分辨角就是，与中心部分没有遮挡的圆孔情形(=0.51)相比较, 分辨本领提高了, 即=0.61。0.610.51(0.61+0.51)2=17.9%3.12 若望远镜能分辨角距离为 rad 的两3107颗星，它的物镜的最小直径是多少？为了充分利用望远镜的分辨本领，望远镜应有多大的放大率？解：光的波长 ，则由公式 ，=550 =1.22 最小直径 。=1.22=1.2255010-9310-7=2.24因为人眼的最小分辨角为
28、 ，2.9104所以放大率 。=2.910-4310-7=9703.13 若要使照相机感光胶片能分辨 2 的线距， 求：（1）感光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？（2）照相机镜头的相对孔径 至少有多大？（设光波波长为 550nm。 ）解：直线数 。=1= 1210-3-1=500-1（ 为线距，即为能分辨的最靠近的两直线在感光 胶片上得距离） 。由 ，所以相对孔径=11.22=1.22=5001.22550106=0.34。3.16 计算光栅常数是缝宽 5 倍的光栅的第 0、1 级亮纹的相对强度。解：由题意，得 ，第零=5级强度 ，第 0、1 级亮纹相对强度分别0()=20为 ， 。020=
29、(sin)2=1 120=(sin55)2=0.8753.14 一块光学玻璃对谱线 435.8nm 和 546.1nm 的折射率分别为 1.6525 和 1.6245。试计算用这种玻璃制造的棱镜刚好能分辨钠 D 双线时底边的长度。钠 D 双线的波长分别为 589.0nm 和 589.6nm。解：由公式 ，(式中 为棱镜分辨本领，= 为棱镜底边长度， 为相对于波长 的棱镜的折 射率， 为相对于波长 的棱镜的折射+ + 率, 为色散率) 又同一种物质色散率不变，则，11= 1.65251.6245(546.1435.8)109=2.54105，=589.6+589.02 =589.3因为 ，所以用
30、这种玻2= 589.3589.6-589.0=982.1 璃制造的棱镜刚好能分辨钠 D 双线时底边的长度2= 2= 982.12.54105=3.8710-3=3.87。3.15 在双缝夫琅禾费衍射试验中，所用光波波长=632.8nm，透镜焦距 =50cm，观察到两相邻亮条 纹之间的距离 =1.5mm，并且第 4 级亮纹缺级。试求：（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第 1、2、3级亮纹的相对强度。解：多缝衍射的亮线条件是 ，sin=， 对上式两边取微分，得到 ，cos= 当 时， 就是相邻亮线之间的角距离。并=1 且一般 很小， ，故 。两相邻亮 cos1 = 线距离为 。所以= 缝距 = mm=
31、500632.810-61.5。0.21因为第 4 级亮纹缺级，所以缝宽为。=4=0.214=0.05第 1、2、3 级亮线分别相应于 = 、sin、 。由于 = ，所以当 = 、23 4 sin、 时，分别有 = 、 、23 sin4 24。因此，由多缝衍射各级亮线的强度公式34，=20(sin)2第 1、2、3 级亮线的相对强度为，120=(sin)2=sinsinsin =(sin44)2=0.811， 。220=(sin22)2=0.405320=(sin3434)2=0.0903.17 一块宽度为 5cm 的光栅，在 2 级光谱中可分辨 500nm 附近的波长差 0.01nm 的两条
32、谱线，试求这一光栅的栅距和 500nm 的 2 级谱线处的角色散。解：由 （L 为光栅宽度） ，所以=，=25105000.01=210-3角色散 （一般 角很小，= cos= cosarcsin(2) ） rad/mmcos1= 20.002cossin(25002000)=866.03 3.18 为在一块每毫米 1200 条刻线的光栅的 1 级光谱中分辨波长为 632.8nm 的一束氦氖激光的膜结构（两个模之间的频率差为 450MHz） ，光栅需要有多宽？解： ，又光栅的色分辨本领=2=2，所以光栅的宽度=1200=878m=1200= 31011632.810-611200450109m
33、。3.19 用复色光垂直照射在平面透射光栅上，在的衍射方向上能观察到 600nm 的第二级主极大，30并能在该处分辨 的两条谱线，但却=0.005观察不到 600nm 的第三级主极大。求：（1）光栅常数 ，每一缝宽 ；（2）光栅的总宽 至少不得 低于多少？解： ，所以sin=sin=260010-6sin30 ， mm= m=2.4103=2.410-33 810-4m。 ，又 ，所以= =sinmm=288mm。2sin=6000.0052.410-32123.20 一束波长 的平行光，垂直射到一=600平面透射光栅上，在与光栅法线成 的方向观察45 到该光的第二级光谱，求此光栅的光栅常数。
34、解：由 ，得光栅常数sin=sin=260010-6sin45 =1.71033.21 一块每毫米 500 条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱。钠黄光包含两条谱线，其波长分别为 589.6nm 和 589.0nm。求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度。解：光栅公式 ，sin=mm= mm，=15002103所以 =1=arcsin1=2589.61062103，同理 ，所以第二级光谱36.1286 2=36.0861 中这两条谱线互相分离的角度 =1-2= 。0.04252333.22 一光栅宽 50mm，缝宽为 0.001mm，不透光部分宽为 0.002mm，用波长为 550nm
35、的光垂直照明，试求：（1）光栅常数 d；（2）能看到几级条纹？有没有缺级？解: ，=+=0.001+0.002=0.003 ，所以第 级亮纹为缺=0.0030.001=3 3级，又由 ，解得 ，所以sin90= =5.45，又缺 级，所以能看到 9=5.452=11 3级条纹。3.23 按以下要求设计一块光栅：使波长 600nm的第二级谱线的衍射角小于 ，并能分辨其30 0.02nm 的波长差；色散尽可能大；第三级谱线缺级。则该光栅的缝数、光栅常数、缝宽和总宽度分别是多少？用这块光栅总共能看到 600nm的几条谱线？解：为使波长 的二级谱线的衍射角 , 600 30必须满足 = = mm， sin2600106sin302.4103根据要求， 尽可能小，则 = mm， 2.4103根据要求，光栅缝宽 mm，=3=0.8103再由条件，光栅缝数 至少有= 6
