1、一、题目 圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用 二、 涉及到的弹性力学相关概念介绍 1855 年 ，圣维南 在 梁理论研究中提出：若在物体一小部分区域上作用 一平衡力系，则 此力系对物体内距 该 力系 作 用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起 应力 和变形 。这就是著名的圣维南原理。 圣维南原理的一种较为实用的提法是：若作用 在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主距） 代替 ，则离此 区域较远的部分所受影响可以忽略不计 1。 三、 正文部分 1 圣维南原理的理解 1.1 圣维南原理的提出背景 求解弹性力学问题就是在给定边界条件下求解偏微分方程。
2、边界条件不同 ， 问题的解答也不一样。但是要求出严格满足边界条件的精确解 ， 有时是非常困难的 ， 另外，对于一些实际问题 ， 不能确切的给出面力的分布 ， 只是知道 它 在某边界上的合理与合力偶的大小。于是我们会提出一个问题 ， 能不能用一个可解的等效力系来代替 它； 满足合力 、合力偶条件的解是否 可以替换它。这个问题可由 圣维南发原理来回答。 1.2 凭借生活经验的理解 对于圣维南原理的第一种提法： 若在物体一小部分区域上作用一平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形 ，可以用一个实例先简单理解。 例如用钳子剪钢丝即使外力大
3、道把钢丝剪断的程度， 根据生活经验，钢丝的应力和变形仅局限于潜口附近。经验表明，这一平衡力系越小，对钢丝其它部分的影响越小 3。 对于 圣维南原理的 另一种 提法是：若作用 在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。 可以这样理解 :悬臂梁在端 部 不 沿受 集中力作用 ， 基础上 增加一对自相平衡的力系。再 减少一对相平衡的力系 ，根据圣维南原理，仅 在 小区域那有明显差异，而在该区域之外应力 几乎是相同的 1。 1.3 简单应用的理解 书上的例子是这样的： 如图 1.1 所示， 设有柱形构件，在两端截面的形心 受到大
4、小相等而方向相反的拉力 F，如图 1.1（ a），如果把一端或两端的拉力变化为静力 等效的力 ，图 1.1（ b）或图 1.1（ c），则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。如果再将两端的拉力变换为均匀分布的力，集度 等于 F/A，其中 A 为构建的横截面面积 ，如图 1.1（ d）， 仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。这就是说 ，在上述四种情况下， 离开两端 较远 的部分的应力并没有显著的差别 2。 图 1.1 2 误差影响区域的大小 以及应用时的注意事项 2.1 误差影响区域的大小 关于影响区域的大小 ，古地尔通过应变能量级的分析，指出当三维
5、实心体受局部自相 平衡力系的作用 时， 影响区域的尺寸和载荷作用的区域 尺寸 量级相同。这里的 “ 载荷作用区 ”对第一种提法是自相平衡力系的作用区， 对第二种提法是实际载荷与静力 等效载荷之差所确定的区域。 2.2 圣维南原理应用时的注意事项 （ 1） 虽然圣维南原理还没有严格的证明，但是弹性力学的分析、计算结果都表明圣维南原理的正确性。 （ 2）运用圣维南原理时要注意 误差影响区域的大小 。 即圣维南原理适用在 “次要边界”。 因为经过变换的 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 (3) 利用圣维南原理可以放宽边界条件。 利 用圣维南
6、原理，还可以把位移边界 转化为等效的 力边界 。例如图 2.1（ a） 中的悬臂梁 ， 为混合边界问题 ，其左边 固定端的应力分布并不知道 ， 但 由 总体平衡条件可以算出其合力与合力 距的 大小。用合力与合力距代替原 未知分布力系 以后 ， 该问题就变成了一个应力边界问题 如图 2.1（ b） 。梁变形 变形后 如虚线所示，其左端面有一个转角。 要恢复 图 2.1（ a） 中 铅锤平面状态，必须在端面加一力系。显然，为了保持物体的平衡，这一附加力 系是自平衡的。 即 图 （ a）（ b）在左端面上的差异只是自平衡力系。由 圣维南原理 ， 其影响区的尺寸与梁的横截面尺寸量级相同 1。 图 2.
7、1 （ 4）对于薄壁构件， 使用圣维南原理时要谨慎 。 如图 2.2 所示为工字梁截面梁 ， 在端面的两个 翼缘 上作用着一对大小相等 、方向相反的力偶，结构力学中称为双力偶，从杆件的整个横截面范围来看，它是一个自相平衡力系， 但由于腹板较薄 ，每个翼缘所受的弯曲应力可以传递到相当远的部分。极端地，当， 弯曲应力可以 达梁的根部 。同时注意到 ，左边的翼缘在力偶作用下向上弯曲，而右边的翼缘向下弯曲， 显然，还将引起工字型截面的扭转 。 这个例子表明 ，当荷载作用区域大于物体受力处截面组成部分的最小尺寸时， 圣维南原理无效 。如果双力偶同时作用在腹板上，且双力偶 的 臂小于腹板厚度，圣维南原理仍
8、然是有效的 4。 图 2.2 （ 5）应用圣维南原理，要注意“静力等效”这个条件。例如 图 1.1 中合力 F 要作用在截面的形心，如果有偏移，不管它的分布如何，作用于截面形心的力 F 就不是静力等效的 2。 3 圣维南原理在 复杂问题中的一些应用 3.1 圣维南原理 在 “ 简支梁受均布载荷 ”中的应用 设有矩形截面的简支梁，深度为 h，长度为 2l，体力可以不计，在上面受有均布载荷 q，由两端的反力 ql 维持平衡，取单位宽度的梁来考虑。如图 3.1 所示。 通常 ，梁 的跨度大于 梁 的宽度。 梁 的上下两个边界，占全部边界的绝大部分 ，因而是 主要的 边界。 在主要的边界上 ，边 条件
9、必须满足精度 。在次要的边界上如果边界 条件不能精度满足。就可以引用圣维南原理。我们是边界条件得以近似地满足。 图 3.1 次要边界用积分粗略表示。 在梁的右边，没有水平面力，用多项式求解，只能要求在这部分边界上合成为平衡力系 2。 2 2 = 0 2 2 = 0 3.2 圣维南原理 在 “ 圆环或圆桶受均布压力 ”中的应用 如图 3.2 所示。 由公式 = 22 = 22 图 3.2 距圆筒或圆形孔道较远之处，应力是很小的。 这个实例也证明了圣维南原理 2。 3.3 圣维南原理 在 “ 曲梁的纯弯曲 ”中的应用 如图 3.3 所示， 如果弯矩 M 是由其它分布方式的面力合成，则靠近梁端处的应
10、力分布将和所求公式有显著的差别，但是，在离梁端较远的地方，根据圣维南原理，这个差别无关重要 2。 图 3.3 3.4 圣维南原理 在 “ 锲形体在楔顶受力或楔面受力”中的应用 楔形体在楔形体的顶部不会受到集中在一点力或力偶， 只要 面力的集度超 过新型体的材料的比例极限 ， 弹性力学的基本方程就不再适用。 如图 3.4 所示 。 楔形体的楔顶受有一定的面 力，侧面力的最大集度 不超过比例极限 。 如图 3.5 所示 。 当然压力分布的方式不同。 应力分布会不同，但是 在离开 楔 顶梢远之处 ， 应力分布都相同 5。为了计算方便，便使用了圣维南原理，并且保证了一定的精 度 。 图 3.4 图 3
11、.5 四 、结论 圣维南原理可以 简化受力 模型， 便于计算 ， 所以在工 程 中得到大量的应用。 但是应用圣维南原理 时要注意一些限制条件 ，例如要注意 误差影响区域的大小 ，要注意“静力等效”这个条件， 不能盲目使用 。 合理的使用 圣维南原理 可以事半功倍。 五 、主要参考文献 1 王光钦 ，丁桂保，杨杰 . 弹性力学 . 北京 : 清华大学 出版社 ， 2004. 2 徐芝纶 . 弹性力学 . 北京 : 高等教育出版社 ， 1998. 3 刘建飞 . 基于哈密顿原理的钢箱梁剪力滞效应研究 D.重庆交通大学 ,2011. 4 汪先俊 . 薄壁梁约束扭转研究 D.中国农业大学 ,2000. 5 刘章军 ,叶永 ,周宜红 ,李建林 . 用楔形体解答求解矩形变截面梁及其适用范围 J. 力学与实践 ,2012,34(02):71-74.
