1、小学奥数基础教程（六年级） - 1 - 黄浦新王牌小学数学奥数基础教程习题解析(六年级 ) 第 1 讲 比较分数的大小 第 2 讲 巧求分数 第 3 讲 分数运算的技巧 第 4 讲 循环小数与分数 第 5 讲 工程问题 (一 ) 第 6 讲 工程问题 (二 ) 第 7 讲 巧用单位 “1” 第 8 讲 比和比例 第 9 讲 百分数 第 10讲 商业中的数学 第 11讲 圆与扇形 第 12讲 圆柱与圆锥 第 13讲 立体 图形 (一 ) 第 14讲 立体图形 (二 ) 第 15讲 棋盘的覆盖 第 16讲 找规律 第 17讲 操作问题 第 18讲 取整计算 第 19讲 近似值与估算 第 20讲 数
2、值代入法 第 21讲 枚举法 第 22讲 列表法 第 23讲 图解法 第 24讲 时钟问题 第 25讲 时间问题 第 26讲 牛吃草问题 第 27讲 运筹学初步（一） 第 28讲 运筹学初步（二） 第 29讲 运筹学初步（三） 第 30讲 趣题巧解 第一讲 比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小 的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大
3、的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数
4、，可以先约分。 4.根据倒数比较大小。 5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等 ，则分母（子）小的分数较大。也就是说， 6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （ 1）对于分数 m 和 n，若 m k， k n，则 m n。 （ 2）对于分数 m和 n，若 m-k n-k，则 m n。 小学奥数基础教程（六年级） - 2 - 前一个差比较小，所以 m n。 （ 3）对于分数 m和 n，若 k-m k-n，则 m n。 注意，（ 2）与（ 3）的差别在于，（ 2）中借助的数 k 小于原来的两个分数 m 和 n；（ 3）中借助的数 k
5、大于原来的两个分数 m 和 n。 （ 4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其 中一个分数大，比另一个分数小。 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。 比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。 练习 1 1.比较下列各组分数的大小： 答案与提示 练习 1 第二讲 巧求分数 我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同
6、时加、减某数，或分子、分母分别 加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。数。 分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1就变成分子加、减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。 个分数。 分析与解： 因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。 ，这个分数是多少？ 分析与解： 如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为： 这个分数是多少？ 小学奥数基础教程（六年级） - 3 - 于是与例 3类似，可以求出 在例 1例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分
7、母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？ 数 a。 分析与解： 分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不变，等于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。 求这个自然数。 同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分后变 例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19后得到一个新分数，分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以 42 6=7 得到 分析与解： 分子加 10，等于分子增加了 10 5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加 8 2=1
8、6。 在例 8中，分母应加的数是 在例 9中，分子应加的数是 由此，我们得到解答例 8、例 9这类分数问题的公式： 分子应加（减）的数 =分母所加（减）的数原分数； 分母应加（减）的数 =分子所加（减）的数原分数。 分析与解： 这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。 （ 2x+2） 3=（ x+5） 4， 6x+6=4x+20， 2x=14， x=7。 练习 2 是多少？ 小学奥数基础教程（六年级） - 4 - 答案与提示 练习 2 5.5。解： (53+79) (4+7)=12， a=53-4 12=5。 6.13。解：（ 67-22）
9、（ 16-7） =5， 7 5-22=13。 解：设分子为 x，根据分母可列方程 第三讲 分数运算的技巧 对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。 1.凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分 的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。 2.约分法 3.裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相 互抵消，则能大大简化运算。 小学奥数基础教程（六年级） - 5 - 例 7 在自然数 1 100中找出 10个不同的数，使
10、这 10个数的倒数的和等于 1。 分析与解： 这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为1，而分母不同的就非常简单了。 括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成： 所求的 10 个数是 2， 6， 12， 20， 30， 42， 56， 72， 90，10。 的 10 和 30，仍是符合题意的解。 4.代数法 5.分组法 分析与解： 利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为 n 的分数之和为 原式中分母为 2 20 的分 数之和依次为 练习 3 8.在自然数 1 60 中找出 8 个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于 1。 答案与提示 练习 3 1.3。 小学奥数
11、基础教程（六年级） - 6 - 8.2， 6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。 9.5680。 解：从前向后，分子与分母之和等于 2的有 1个，等于3的有 2 个，等于 4的有 3个人一般地，分子与分母之和等于 n 的有 (n-1)个。分子与分母之和小于 9+99=108 的有1+2+3+ +106=5671（个） 5671+9=5680（个）。 第四讲 循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 （ 1
12、）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数 2 和 5，化 因为 40=23 5，含有 3个 2， 1个 5，所以化成的小数有三位。 （ 2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数 2和 5。 （ 3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数 2或 5，又含有 2和 5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （ 1）如果分母只含有质因数 2和 5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数 2 与 5 中个数较多的那个数的个数
13、； （ 2）如果分母中只含有 2与 5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （ 3）如果分母中既含有质因数 2或 5，又含有 2 与 5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数 2与 5中个 数较多的那个数的个数。 例 1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 分析与解： 上述分数都是最简分数，并且 32=25， 21=3 7， 250=2 53， 78=2 3 13， 117=33 13， 850=2 52 17， 根据上 面的结论，得到：
14、不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。 小学奥数基础教程（六年级） - 7 - 将上两式相减，得将上两式相减，得从例 2、例 3 可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。 纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是 9， 9的个数与循环节的位数相同。 2.将混循环小数化成分数。 将上两式相减，得将上两式相减，得 从例 4、例 5 可以总结出将
15、混循环小数化成分数的方法。 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组 成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是 9，末几位数字都是 0，其中 9的个数与循环节的位数相同， 0的个数与不循环部分的位数相同。 掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。 例 6 计算下列各式： 练习 4 1.下列各式中哪些不正确？为什么？ 2.划去小数 0.27483619 后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，例如 0.274836。请找出这样的小数中最大的与最小的。 3.将下列纯循环小数化成最简分
16、数：4.将 下列混循环小数化成最简分数： 5.计算下列各式：答案与提示 练习 4 1.（ 1）（ 3）（ 4）不正确。小学奥数基础教程（六年级） - 8 - 第五讲 工程问题（一） 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量 =工作效率工作时间， 工作时间 =工作量工作效率， 工作效率 =工作量工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1表示，也可 工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目
17、需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 /天”，或“工作量 /时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？ 分析与解： 以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析： 将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18天，
18、后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。 答：甲队干了 12天。 例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解： 乙、丙两队自始至终工作了 6天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了 例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多 做 60个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解： 这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例
19、 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5时可将空池灌满，单开排水管 7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 小学奥数基础教程（六年级） - 9 - 分析： 这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度， 所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发 15
20、 分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40 分钟，乙先干 15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。 练习 5 1.某工程甲单独 干 10天完成，乙单独干 15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？ 2.某工程甲队单独做需 48天，乙队单独做需 36天。甲队先干了 6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。 3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了 24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少
21、天？ 则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？ 5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？ 6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18时注满，单开乙管需 24时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？ 7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8时，比快车从40千米。求甲、乙两地的距离。 答案与提示 练习 5 2.14 天。 3.120 天。4.350 棵。5.6000 米。6.8 时。 提示：甲管 12 时都开着，乙管开7.280 千米。第六讲
22、 工程问题（二） 上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。 例 1 一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20天可完成；如果甲先做 20 天，那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？ 分析与解： 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图： 从上图可直观地看出：甲 15天的工作量和乙 12天的工作量相等，即甲 5天的工作量等于乙 4天的工作量。于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5天”这一条件，通过此替换可知乙单
23、独做这一工程需用 20+4=24（天） 甲、乙合做这一工程， 需用的时间为 例 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6天完成，现在乙队先做 7 天，然后 么还要几天才能完成？ 分析与解： 题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作 小学奥数基础教程（六年级） - 10 - 们把“乙先做 7天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合做 4 天，乙再单独例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3天才能完成。如果甲、乙二人合做 2 天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？ 分析与解： 乙单独做要超过 3 天，甲、
24、乙合做 2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做 2天等于乙做 3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的 ，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要 例 4 放满一个水池的水，若同时打开 1， 2， 3号阀门，则 20 分钟可以完成；若同时打开 2， 3， 4号阀门，则 21分钟可以完成；若同时打开 1， 3， 4号阀门，则 28分钟可以完成；若同时打开 1， 2， 4 号阀门，则 30 分钟可以完成。问：如果同时打开 1， 2， 3， 4号阀门，那么多少分钟可以完成？ 分析与解： 同时打开 1， 2， 3 号阀门 1 分钟，再同时打开 2， 3， 4号阀门 1分钟，再同时打开 1， 3，
25、4 号阀门 1分钟，再同时打开 1， 2， 4号阀门 1分钟，这时， 1， 2， 3，4号阀门各打开了 3分钟，放水量等于一 例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 天完成；由二、三、四小队合干，需要 10 天完成；由一、四小队合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？ 分析与解： 与例 4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流 件工作，要用多少 天才能完成？ 分析与解： 把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。 由最后一轮完成的工作量相同，得到 练习 6 1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成有多少个？ 需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？ 3.加工一批零件，王师傅先做 6时李师傅再做 12 时可完成，王师傅先做 8 时李师傅再做 9时也可完成。现在王师傅先做 2 时，剩下的两人合做，还需要多少小时？
