1、 1 解析几何专题复习材料 天津大学附属中学 解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高 。 坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的 选 修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准 。 (一 )突出重点 1突出重点内容 本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线 奎屯王新敞 新疆 因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力 量，而是把重点放在椭圆上 奎屯王新敞 新疆 通过求椭圆的标准方程
2、，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法 奎屯王新敞 新疆 这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成 奎屯王新敞 新疆 在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的范围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高 奎屯王新敞 新疆 在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要 性质 奎屯王新敞 新疆 以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质 奎屯王新敞 新疆 2突出坐
3、标方法 要重视数学思想方法的教学， 结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成 奎屯王新敞 新疆 根据圆锥曲线这部分内容的特点， 在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点 奎屯王新敞 新疆 例如教材在第 8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的 奎屯王新敞 新疆 (二 )注意内容的整体性和训练的阶段性 高中数学教材是一个 整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的
4、高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益 奎屯王新敞 新疆 (三 )注意调动学生学习的主动性 教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的 奎屯王新敞 新疆 学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的 奎屯王新敞 新疆 目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路 奎屯王新敞 新疆 例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说 明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学
5、习，学习就会变得主动 奎屯王新敞 新疆 又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲 奎屯王新敞 新疆 教材注意提高例题的质量，在一些例题中 给出 了分析或小结 (例题解后的注 )，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路 ,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率 奎屯王新敞 新疆 2 考向一、圆 锥曲线的定义 （ 11 全国新课标 理 14） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 12,FF在 x轴上，离心率为 22 过 1F 的直线交于 C 于 ,A
6、B两点，且 2ABF 的周长为 16，那么 C 的方程为 【答案】 22116 8xy （ 2004 天津 理 4 文 5） 设 P 是双曲线 19222 yax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023 yx ， 1F 、 2F 分别是双曲线的左、右焦点。若 3| 1 PF ，则 | 2PF （ ） A 1或 5 B 6 C 7 D 9 【答案】 C （ 11 辽宁 理 3 文 7） 已知 F 是抛物线 2yx 的焦点， ,AB是该抛物线上 的两点，=3AF BF ，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 （ ） A 34 B 1 C 54 D 74 【答案】 C 考向二、 圆锥 曲线方程与性
7、质 1、双曲线性质 （ 2012 天津文 11） 已知双曲线 )0,0(1:22221 babyaxC与双曲线 1164: 222 yxC有相同的渐近线，且 1C 的右焦点为 ( 5,0)F ,则 a b 【答案】 a 1;b 2 （ 2009 天津文 4） 设双曲线 )0,0(12222 babyax 的虚轴长为 2，焦距为 32 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. xy 2 B. xy 2 C. xy 22 D. xy 21 【答案】 C 2、双曲线与抛物线性质结合： 3 (2013 天津文 11) 已知抛物线 2 8y x 的准线过双曲线 22 1( 0 , 0)xy abab 的一个
8、焦点 , 且双曲线的离心率为 2， 则该双曲线的方程为 . 【答案】 22 13yx (2013 天津理 5)已知双曲线 22 1( 0 , 0)xy abab 的两条渐近线与抛物线 2 2 ( 0)px py 的准线分别交于 A、 B 两点 ， O 为坐标原点 . 若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为 3 ，则 p =（ ） A 1 B 32C 2 D 3 【答案】 C （ 2011 天津文 6） 已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab 的左顶点与抛物线 2 2y px ，( 0)p 的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2, 1 ，则双曲线
9、的焦距为（ ） A 23 B 25 C 43 D 45 【答案】 B （ 2010 天津文 13） 已知双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的一条渐近线方程是 3yx ，它的一个焦点与抛物线 2 16yx 的焦点相同。则双曲线的方程为 。 【答案】 2214 12xy (2010 天津理 5)已知双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物线 2 24yx 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A 22136 108xy B 2219 27xy C 221108 36xy D 22127 9xy 【答案】 B （ 2
10、007 天津理 4 文 7） 设双曲线 2222 1( 0 0 )xy abab ，的离心率为 3 ，且它的一条准线与抛物线 2 4yx 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） 4 22112 24xy 22148 96xy 222 133xy 22136xy 【答案】 D 3、 椭圆 与抛物线性质结合： （ 2008 天津文 7） 设椭圆 22 1 ( 0 0 )xy mnmn ，的右焦点与抛物线 2 8yx 的焦点相同，离心率为 12 ，则此椭圆的方程为（ ） A 22112 16xy B 22116 12xy C 22148 64xy D 22164 48xy【答案】 B 考向三、焦半径与
11、焦点弦 （ 2012 天津理 12） 己知抛物线的参数方程为 2=2 ,=2 ,x pty pt（ t 为参 数） ，其中 0p ，焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 M 作 的垂线，垂足为 E ， 若 | |=| |EF MF ，点 M 的横 坐标 是 3，则 =p . 【答案】 2 （ 2009 天津理 9） 设抛物线 2 2yx 的焦点为 F ，过点 3,0M 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，与抛物线的准线相交于 C ， BF =2，则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCFACFSS=（ ） A 45 B 23 C 47 D 12 w. w. w.k.s.5.u.c.o.m
12、 【答案】 A （ 2010 天津会考） 如图，点 F 为椭圆 22:125 9xyE 的左焦点，过点 F 的直线 l 与椭圆 E 交642-2-4-6-1 0 -5 5 10x= -0 .5F : ( 0 .5 1 , 0 .0 0 )h x = -2 x + 3g y = -12f y = y 22ABFC5 于 ,AB两点，且其斜率大于 0.若 AOB 的面积为 152 ，则直线 l 的斜率是 . 【答案】 377 （ 2011 天津文 18） 设椭圆 22 1( 0 )xy abab 的左、右焦点分别为 F1， F2。点 ( , )Pab满足 2 1 2| | | | .PF F F
13、（）求椭圆的离心率 e ； （）设直线 PF2 与椭圆相交于 A， B 两点，若直线 PF2 与圆 22( 1) ( 3 ) 1 6xy 相交于 M， N 两点，且 5| | | |8MN AB ，求椭圆的方程。 【答案】 （）解：设 12( , 0 ), ( , 0 )( 0 )F c F c c，因为 2 1 2| | | |PF F F ， 所以 22( ) 2a c b c ，整理得 22 1 0 , 1c c ca a a 得（舍） 或 11,.22c ea 所 以 （）解：由（）知 2 , 3a c b c，可得 椭圆方程为 2 2 23 4 12x y c，直线 FF2 的方程为
14、 3( ).y x c A， B 两点的坐标满足方程组 2 2 23 4 12 ,3 ( ).x y cy x c 消去 y 并整理，得 25 8 0x cx。解得1280, 5x x c，得方程组的解21128 ,0, 53 , 3 3 .5xcxyc yc 不妨设 8 3 3,55A c c， (0, 3 )Bc ， 所以 228 3 3 1 6| | 3 .5 5 5A B c c c c 于是 5| | | | 2 .8M N A B c 圆心 1, 3 到直线 PF2 的距离 | 3 3 3 | 3 | 2 | .22ccd 6 因为 222| 42MNd ，所以 223 (2 )
15、16.4 cc 整理得 27 12 52 0cc ，得 267c （舍），或 2.c 所以椭圆方程为 221.16 12xy 考向 四 、弦长公式 与韦达定理 （ 2010 天津 理 21 文 21） 已知椭圆 22 1( 0xy abab ）的离心率 32e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4。 （） 求椭圆的方程； （理） 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 ,AB，已知点 A 的坐标为（ ,0a ），点 0(0, )Qy在线段 AB 的垂直平分线上，且 4QA QB，求 0y 的值 （文 ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、 B，已知点 A 的坐标为 ,0a （ i）若 4
16、2AB 5| |= ，求直线 l 的倾斜角； （ ii）若点 00,Qy在线段 AB 的垂直平分线上，且 4QA QB.求 0y 的值 . 【答案】 （ ）解：由 3e 2ca ，得 2234ac ，再由 2 2 2c a b，得 2ab 由题意可知， 1 2 2 4 , 22 a b a b 即 解方程组 22abab 得 2, 1ab所以椭圆的方程为 2 2 14x y ( )解：由（ ）可知 2,0A 。设 A 点的坐标为 11,xy ,直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 2y k x, 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 22( 2)14y k xx y 7 由方程组消去
17、y 并整理，得 2 2 2 2(1 4 ) 1 6 (1 6 4 ) 0k x k x k 由 21 216 42,14kx k得 211222 8 4,1 4 1 4kkxy从 而设线段 AB 是中点为 M ，则 M 的坐标为 22282( , )1 4 1 4kk 以下分两种情况： （ 1）当 0k 时，点 B 的坐标为（ 2,0）。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 0 0 0( 2 , y ) , ( 2 , = 2Q A Q B y Q A Q B y ） 由 4 ， 得 =2 （ 2）当 0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2222 1 8()1 4 1 4kkyxk
18、k k 令 0x ，解得0 2614ky k 由 0 1 1 0( 2 , y ) , ( ,Q A Q B x y y ） 21 0 1 0 2 2 2 22 ( 2 8 ) 6 4 62 ( ( )1 4 1 4 1 4 1 4k k k kQ A Q B x y y y k k k k ） =42224 (1 6 1 5 1) 4(1 4 )kkk =整理得 201 4 2 1 47 2 , =75k k y 故 所 以综上00 2 1 4= 2 2 = 5yy或( )(i)解：由（）可知点 A 的坐标是 2,0 .设点 B 的坐标为 11( , )xy ，直线 l 的斜率为k .则直线
19、 l 的方程为 2y k x. 于是 ,AB两点的坐标满足方程组 22( 2),1.4y k xx y 消去 y 并整理，得 2 2 2 2(1 4 ) 1 6 (1 6 4 ) 0k x k x k . 8 由 21 216 42 14kx k，得 21 22814kx k .从而1 2414ky k . 所以 2 2222 2 22 8 4 4 1| | 2 1 4 1 4 1 4k k kAB k k k . 由 42|5AB ，得 224 1 4 21 4 5kk . 整理得 4232 9 23 0kk ，即 22( 1)(3 2 2 3 ) 0kk ，解得 k= 1 . 所以直线 l
20、 的倾斜角为4或 34 . （ 2009 天津理 21 文 22） 以知椭圆 22 1( 0 )xy abab 的两个焦点分别为 1( ,0)Fc 和2( ,0)Fc ( 0)c ， 过点 2( ,0)aEc 的直线与椭圆相交与 ,AB 两点，且 12/FA FB ，122F A F B . （ ） 求椭圆的离心率； w. w. w. k. s. 5. u. c.o.m （ ） 求直线 AB 的斜率； w. w. w. k. s. 5.u.c.o.m （ ） 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 2FB上有 一点 ( , )( 0)H m n m 在 1AFC 的外接圆上，求 nm 的值
21、 【答案】 （ ） 解：由 1FA/ 2FB且 12FA 2 F B ，得 2211EF F B 1EF F A 2，从而22a1a 2cccc整理，得 223ac ，故离心率 33ce a w. w. w.k.s.5.u.c.o.m （ ） 解：由（ I）得 2 2 2 22b a c c ，所以椭圆的方程可写为 2 2 22 3 6x y c 设直线 AB 的方程为 2ay k xc，即 ( 3 )y k x c. w. w. w. k. s.5.u.c. o. m 由已知设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则它们的坐标满足方程组2 2 2( 3 )2 3 6
22、y k x cx y c 消去 y 整理，得 2 2 2 2 2 2( 2 3 ) 1 8 2 7 6 0k x k c x k c c . 9 依题意， 22 334 8 ( 1 3 ) 0c k k ， 得 而 212 21823kcxx k 2212 227 623ck c cxx k w. w. w. k. s. 5. u. c.o.m 由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以 1232x c x 联立解得 21 29223k c cx k ， 22 29223k c cx k 将 12,xx代入中，解得 23k . （ ） 由（ ）可知1230, 2cxxw. w. w. k.s
23、.5.u.c.o.m 当 23k 时，得 (0, 2 )Ac，由已知得 (0, 2 )Cc . 线段 1AF 的垂直平分线 l的方程为 222 2 2cy c x 直线 l与 x轴 的交点 ,02c是1AFC 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 222x 22ccyc . 直线 2FB的方程为 2( )y x c，于是点 ( , )( 0)H m n m 的坐标满足方程组 2 22 9242 ( )ccmnn m c ， 由 0,m 解得53223mcnc 故 225nm 当 23k 时，同理可得 225nm . w. w. w. k. s.5.u.c.o.m （ 2008 天津理 21 文 2
24、2） 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 0,31 F ，一条渐近线的方程是 025 yx . （）求双曲线 C 的方程； 10 （）若以 0kk 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M， N，线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 281 ，求 k 的取值范围 . 【答案】 （ ）解：设双曲线 C 的方程为 221xyab（ 0, 0ab） 由题设得 22952abba ，解得 2245ab ，所以双曲线方程为 22145xy （） 解：设直线 l 的方程为 y kx m（ 0k ）点 11( , )M x y ， 22( , )N x y 的坐标满足方
25、程组 22145y kx mxy 将 式代入式，得 22()145x kx m，整理得 2 2 2( 5 4 ) 8 4 2 0 0k x k m x m 此方程有两个一等实根，于是 25 04k ，且 2 2 2( 8 ) 4 (5 4 )(4 2 0 ) 0km k m 整理得 225 4 0mk 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 00( , )xy 满 足 120 242 5 4xx kmx k， 00 2554my k x m k 从而线段 MN 的垂直平分线方程为225 1 4()5 4 5 4m k myxk k k 此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为29( ,0)54kmk，29(0, )54mk由题设 可得221 9 9 8 1| | | |2 5 4 5 4 2k m mkk整理得 222 (5 4 )|km k， 0k 将上式代入 式得 22 2(5 4 ) 5 4 0|k kk ，整理得 22( 4 5 ) ( 4 | | 5 ) 0k k k ， 0k 解得 50 | | 2k 或 5|4k 所以 k 的取值范围是 5 5 5 5, ) ( , 0 ) ( 0 , ) ( , )4 2 2 4(
