1、解一阶级性常微分方程的积分因子法一阶级性常微分方程 +p（x）y=Q（x） 当已知函数 Q（X）0 时，称为非齐次方程，而当 Q（X）=0 时，称为齐次方程。这种方程，通常可用多种方法求解，如 Lagrange 常数变易法，积分因子法，积分变换法，或者幂级数解法等。由于后面两种方法所用工具比较高深，在教学中一般安排较晚，本文暂不讨论。一般在微积分或微分方程教程中所采用的，多是常数变易法。为了说明问题，我们先简单介绍一下这个解法。 （1）常数变易法 非齐次线性方程 +p（x）y=Q（x） （！） 求解的常数变易法，是从对应的齐次方程 +p（x）y=0 （2） 的通解 y=Ce-P（x）dx （3
2、） 出发。把这通解中的任意常数 C 易为待定函数 u（x） ，得到 y=u（x）e-P（x）dx （4） 则 y=u（x）e-P（x）dx+u（x）-p（x）e-P（x）dx 为了定出函数 u（x） ，把（4）代入方程（1）的左端， 从而得到 +p（x）y=u（x）e-P（x）dx+u（x）-p（x）e-P（x）dx+P（X）u（x）e-P（x）dx=u（x）e-P（x）dx 这说明，函数 u（X）必须满足微分方程：u（x）e-P（x）dx=Q（x） 两端乘以 eP（x）dx，然后积分得： u（x）=Q（x）eP（x）dx+k（k 为任意常数） 把这个 u（x）的表达式代入（4）中，得方程（1
3、）的通解 Y=e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx+k 这是把任意常数又写成 k 的结果。 这一解法相当简洁，并且在解二阶常微方程时，这种方法也要发挥作用。所以通常在教学中多介绍它。但是，如果单纯介绍方法，而不予先加以引导启发，学生往往会觉得这方法来的突兀，也会觉得方 法过于巧妙。学生会问：你怎么想到把任意常数 C 变易为待定函数 C（X）呢？为了避免有的学生在这里把思路卡住，我想介绍积分因子法可能是有益的。 （2）积分因子法 上述的常数变易法，是从给它的非齐次方程所对应的齐次方程的通解的构造出发的。如果我们改弦易辙，不从这里，而直接从非齐次方程（1）本身出发，就会是另一番景象。我们仔细考查
4、非齐次方程（1） ， +p（x）y=Q（x） 目的是求得这一方程的解，或者说是把这方程积分。如果 P（X）0，不能直接进行积分。不难发现，这个式子不能直接积分的困难在于方程的左端有两项 +p（x）y。一般来说，这样的和式不是一个完全微分式。但是，并非任何含有 Y 及 的一次二项式都不是完全微分式。大家熟知，乘积的倒数 u（x） u（x）?v（x）=u（x）?v（x）+u（x）?v（x） （5） 就是含有 u（x）及 u（x）的一次二项式。我们很容易发现，把（1）式两端乘以一个适当的函数因子 （x）时，使之成为 （x）y+（x）p（x）y=（x）Q（x） （6） （自然要求 （x）0）时再比较（
5、5）式的右端与（6）式的左端，可见，应该选择。使之适合微分方程 u（x）=（x）p（x） （7） 对于这样的 （x） ， （6）式可写成 （x）y）=（x）Q（x） （8） 它的左端是一个完全微分式，已经可以直接积分，于是 （x）y=（x）Q（x）dx+k （9） k 是任意常数。现在问题归结为求解齐次方程（7）了。这是大家熟知的事，把（7）的解： u（x）=eP（x）dx 代入（9）中，立刻得到所求的非齐次方程（1）的通解： Y=e-P（x）dxQ（x）eP（x）dxdx+k 我们称这里所乘的函数 （x）为积分因子。 这样的解法，目的明确，方法自然，并且是建立在学生熟悉的事物的基础上。从笔者在教学实践中的观察，学生容易接受。 积分因子法，象常数变易法一样地没有局限性。求解一阶线性偏微分方程，特别是解全微分方程的时候，积分因子也有用武之地。这些我们不去介绍了，有兴趣的读者可以参看专书，例如沈璇编译，中华书局出版的常微分方程 。
