1、1谈=F1+F22 运用的条件(镇江新区大港中学江苏 镇江 212132) 力的平均值是所有瞬时值的算术平均值，其分为两种，一种是力对位移的平均值，其与位移的乘积代表力所做的功.一种是力对时间的平均值，其与时间的乘积代表力的冲量.当力与位移或时间存在一次函数关系时有=F1+F22.证明如下：设 F(x)=kx+b, Fx=x2x1(kx+b)dxx2-x1 =(12kx22+bx2)-(12kx21+bx1)x2-x1 =kx2+kx1+2b2=F(x2)+F(x1)2, Ft 证明方法也完全相同，略.有一点需要说明的是，当力与位移或时间不存在一次函数关系时仍然可能有=F1+F22，举一例说明
2、，如下：设F(t)=sint, Ft=t2t1sintdtt2-t1=-(cost2-cost1)t2-t1, 取 t1=0，t2=2 时间段，得 Ft=0，又因为 F1=F2=0，代入=F1+F22=0，答案正确.需要强调的是非线性变力不是任意位移或时间段内都可以用=F1+F22 这一推论！如取 t1=0，t2= 时间段，得 Ft=2，而 F1=F2=0 代入=F1+F22=0，答案则是错误的.所以当力与位移或时间存在一次函数关系时，是任意位移或时间段内都存在着=F1+F22 这一推论的.那2下面这题能运用这一推论吗？ 如图 1 所示，一光滑的水平面上一质量为 m 的小球以初速 v0 向右运
3、动，其所受的空气阻力与速度成正比，其比值为 k，求小球停止时前进的距离 x 是多少？ 解一取向右为正方向， 由=v0+02=v02, 得=-k2v0, 由动量定理可得 =-kv02t=0-mv0, x=v02t=mv0k. 从中学角度也不难得出小球是速度逐渐减小到零，阻力也逐渐减小到零的运动，所有小球运动的时间为无穷大，故整个过程中阻力对时间的平均值是零！证明如下： 解取向右为正方向，根据 a=dvdt 和 a=Fm， 结合条件 f=-kv， 得 a=dvdt=-kvm, 移项做定积分vv0dvv=-kmt0dt, 得 v=v0e-kmt, 代入 f=-kv 得 ft=1+f0(-kv0e-k
4、mt)dt=0. 解一答案正确原因是阻力平均值虽然弄错了，可阻力对时间的累积值“冲量”却是正确的，因为阻力与速度成正比，所以速度对时间的累3积值“位移”也就“正确”了.那下面的解法还是“巧合”吗？ 解二当小球静止时空气阻力等于零， 所以=-kv0+02=-k2v0, 由动能定理得-?x=0-12mv20, 解得 x=mv0k. 很显然，此解法正确的前提就是力随位移是均匀变化的，证明如下：解取向右为正方向，根据 a=dvdt 和 a=Fm， 结合条件 f=-kv， 得 a=dvdt=-kvm=-km?dxdt, 约去 dt 做定积分得vv0dv=-kmx0dx, 移项得 v=-kmx+v0, 代
5、入 f=-kv 得 fx=k2mx-kv0. 因为空气阻力与位移存在一次函数关系，所以力对位移的平均值必定存在着=F1+F22 这一关系式.所以上式的解法完全正确.需要指出的是，上述方法虽然正确却不值得提倡，因为在中学阶段如果用微量法证明速度随位移存在着一次函数关系，可以直接得到答案，无需再用动能定理.所以此问题正解如下： 解三由 f=-kv 可得=-kv，由动量定理得 ?t=-kt=0-mv0, 得 x=t=mv0k. 4综上所述：对变力问题，动量定理中的力是力对时间的平均值，而动能定理中的力是力对位移的平均值.只有当力随时间(或位移)呈线性变化时才有=F1+F22.理解力的平均值是理解物理学中其他平均值的重要基础.
