1、1探究高考中的三角函数摘要：三角函数是高中数学重要的基本初等函数之一，在高考中所占分数比重较大，是高中教学的重点、难点，同时也是高考的热点。三角函数部分主要包括三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式、三角函数的图像与性质，以及解三角形及其在生活中的应用。 关键词：三角函数；高考；解题方法中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）12-0289-02 根据 2013 年福建省数学高考考试说明指出，在学习三角函数时，已经学习了函数的单调性、周期性和奇偶性，从而进一步刻画了函数的概念与性质的掌握和认知。因此，高考中不仅要考查以三角函数定义、
2、同角三角函数基本关系及诱导公式为工具的化简求值问题，也要突出考察三角函数的图像与性质，更重要的是以三角公式为素材，重点考察数学的思想方法。 三角函数是高中数学基本初等函数之一，对研究三角形和建模周期现象、物理学和许多其他问题来讲，都是至关重要的基础知识。前面在函数的学习中，已经为三角函数奠定了牢固的基础。而三角函数的有关性质及应用，也使得函数的内容和意义得到了升华和延伸。而高中生往往面对三角函数内容只会单纯的背诵公式，遇到问题时又手忙脚乱，不知如何下手，既找不到问题的解决办法，也茫然不知在众多的公式中该选择哪个。而在高考中，三角函数部分的设计往往是基础题一到两个，2解答题一题，总分在 20 分
3、左右，占据庞大比例，因此有必要有针对性地分析探究几种三角函数问题类型及解决方案。 1.考查三角函数的基本概念与基本公式问题 常考查利用三角函数的定义、三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和（差）公式及倍角公式进行化简、求值。 例 1： 已知 sin(6)13，则 cos(232)等于 () A.-79B.13C.13D.79 答案 A 解析(3)(6)2， sin(6)sin2(3)cos(3)13. 则 cos(232)2cos2(3)179. 点评：利用同角三角函数及诱导公式、二倍角来解决问题，在解题过程中一定注意对三角函数的符号的选择，不同的象限，取值不同。引导学生独立完成计
4、算，取值等易错点。对于复杂的化简过程，引导学生不能盲目的套用公式，要依据已知条件，努力构造所需要的结果的形式，化简或整理过程要由负到正，由异到同，由高到低，由繁化简，尽量由题目的本身条件出发，寻找解答结论的突破口。这类题目源于基础，又高于基础，有一定的考查难度和解题思路的要求。 2.考查三角函数的图像问题 学习中学数学的核心内容是基础理论,而函数的图像是构成基础理论的一个重要部分.而 “数形结合思想“在高中数学中有着极其重要的地位，所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过属性互相转化3来解决有关问题，可以以形解数，也可以以数定形，把直观图形与抽象的数学文字语言相结合。这一解题方法贯穿
5、整个高中数学学习过程，并应用在生活实际中。 因此能够掌握并充分利用好函数图像是学习理论知识的一个重要环节.首先，要能够正确画出并合理应用函数图像,这样能在很大程度上能帮助我们理解、巩固所学的理论知识.其次，要借助于图像,能使所研究的问题简单化、清晰化、直观化.所以在教学中,一定要加强学生作图、识图、用图的本领。使学生从根本上明确函数图像的重要地位,并在实践中加以应用. 例 3、(2012高考四川卷) 函数 f(x)6cos2x23sinx3(0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C 为图象与 x 轴的交点，且ABC 为正三角形 ()求 的值及函数 f(x)的值域； ()若 f
6、(x0)835，且 x0(103，23)，求 f(x01)的值 解：()由已知可得，f(x)3cosx3sinx23sin(x3) 又正三角形 ABC 的高为 23，从而 BC4. 所以函数 f(x)的周期 T428，即 28，4. 函数 f(x)的值域为23，23 ()因为 f(x0)835，由()有 f(x0)23sin(x043)835， 4即 sin(x043)45. 由 x0(103，23)，知 x043(2，2)， 所以 cos(x043)1(45)235. 故 f(x01)23sin(x0443)23sin(x043)4 23sin(x043)cos4cos(x043)sin4
7、23(45223522)765. 点评：本题完整的结合了三角函数诱导公式、三角函数图像、三角函数性质的有关内容，首先观察图形特征，各种长度取值对问题的影响，从而通过三角形的边长解决三角函数的周期，求出函数的解析式。 方法总结：针对 yAsin(x)k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： k 的确定：根据图象的最低点和最高点，即 k最高点最低点2； A 的确定：根据图象的最低点和最高点，即 A最高点最低点 2 的确定：根据图象，先求出周期 T，然后由 T2(0)来确定 ； 的确定：由函数 yAsin(x)k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令 x0，x)确定 .
8、 引导学生解决图像问题要多观察，多动脑，结合三角函数的图形特征及其性质，解决三角函数中数形结合的问题。 3.考查三角函数的性质问题 5例 4、 (2012高考湖北卷)已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx，23cosx)，设函数 f(x)ab(xR)的图象关于直线 x 对称，其中， 为常数，且 (12，1). () 求函数 f(x)的最小正周期； () 若 yf(x)的图象经过点(4，0)，求函数 f(x)在区间0，35上的取值范围 解：()因为 f(x)sin2xcos2x23sinxcosx cos2x3sin2x2sin(2x6). 由直线 x 是 yf(x)图象
9、的一条对称轴， 可得 sin(26)1，所以 26k2(kZ)，即 k213(kZ) 又 (12，1)，kZ，所以 k1，故 56.所以 f(x)的最小正周期是 65. ()由 yf(x)的图象过点(4，0)， 得 f(4)0， 即 2sin(5626)2sin42，即 2. 故 f(x)2sin(53x6)2， 由 0x35，有653x656， 所以12sin(53x6)1，得122sin(53x6)222， 故函数 f(x)在(0，35)上的取值范围为12，22 6点评：(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 (2)求解三角函数的值域(最值
10、)常见到以下几种类型的题目： 形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； 形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求最值(值域)； 形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) 4.三角函数的综合应用 例 5、如图为一个缆车示意(图 2)，该缆车半径为 4.8 米，圆上最低点与地面的距离为 0.8 米，且每 60 秒转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 角到 OB，
11、设 B 点与地面间的距离为 h. 图 2 图 3 (1)求 h 与 间的函数关系式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t 秒到达 OB，求 h 与 t 之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间 解(1)过点 O 作地面的平行线 ON，过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于点M(如图 3)， 当 2 时，BOM(2)， hOABM0.85.64.8sin(2) 7当 02 时，上式也成立 h 与 间的函数关系式为 h5.64.8sin(2). (2)点 A 在圆上转动的角速度是 30 弧度/秒，t 秒转过的弧度数为 30t， h5.64.8sin(30t2)，t0，) 首
12、次到达最高点时，h10.4 米， 即 sin(30t2)1，30t22， 即 t30 秒时，该缆车首次到达最高点 点评：本题属于对三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为三角函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了数学的化归的思想方法；通常研究的三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是通过建立精确的或通过数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立的拟合模型的函数来解决实际问题，另一种用已知的模型去分析解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模“的本质。 除了单纯地考查三角函数知识以外，往往还会三角与函数导数相结合、与平面向量相结合，与数列、推理证明、立体几何的结合，三角函数在高中数学中也起到了基础的工具性作用，因此在解决三角函数问题时，绝不能仅仅把知识单一化，专项化。还要更多的转化到综合性的问题上去。参考文献： 12013 年福建省高考数学考试说明 2王洁高考三角函数题型探究 甘肃联合大学学报（自然科学版）2012-11-30 83赖彩玲论高中数学中的三角变换 教育教学理论 2012-04-25 4吕慧试探三角函数诱导公式的教学设计现在教育 2011-03-20
