1、合肥翰林教育 （ 2011 年高考必备）湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解一 1 设函数 ， ，其中 ，记函数 的最大值与最小值的差为 。 （ I）求函数 的解析式； （ II）画出函数 的图象并指出 的最小值。 2 已知函数 ,数列 满足 , ; 数列 满足 , .求证 : （） （） （）若 则当 n 2时 , . 3 已知定义在 R 上的函数 f(x) 同时满足： （ 1） （ R， a 为常数）； （ 2） ； 合肥翰林教育 （ 3）当 时， 2 求：（ ）函数 的解析式；（ ）常数 a 的取值范围 4 设 上的两点， 满足 ，椭圆的 离心率 短轴长为 2， 0为坐标原点 . （ 1
2、）求椭圆的方程； （ 2）若直线 AB过椭圆的焦点 F（ 0， c），（ c为半焦距），求直线 AB 的斜率 k 的值； （ 3）试问： AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 . 5 已知数列 中各项为： （ 1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积 . （ 2）求这个数列前 n 项之和 Sn . 6、设 、 分别是椭圆 的左、右焦点 . （）若 P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值； （）是否存在过点 A（ 5， 0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、 D，使得 |F2C|=|F2D|？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 7、
3、已知动圆过定点 P（ 1， 0），且与定直线 L:x=-1 相切，点 C 在 l上 . (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程； 合肥翰林教育 （ i）问： ABC 能否为正三角形？若能，求点 C的坐标；若不能，说明理由 （ ii）当 ABC 为钝角三角形时，求这种点 C的纵坐标的取值范围 . 8、定义在 R 上的函数 y=f(x)， f(0) 0，当 x0 时， f(x)1，且对任意的 a、 b R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （ 1） 求证： f(0)=1；（ 2）求证 ：对任意的 x R，恒有 f(x)0； （ 3）证明： f(x)是 R上的增函数；（ 4）若 f(x) f(2x-x
4、2)1，求 x的取值范围。 9、已知二次函数 满足 ，且关于 的方程的两实数根分别在区间（ -3， -2），（ 0， 1）内。 （ 1）求实数 的取值范围； （ 2）若函数 ， 1- ）上具有单调性，求实数 C的取值范围 10、已知函数 且任意的 、 都有（ 1）若数列 （ 2）求 的值 . 黄冈中学 2011 年高考数学压轴题汇总 详细解答 合肥翰林教育 1解：（ I） （ 1）当 时， 函数 是 增函数，此时， ，所以 ； 2 分 （ 2）当 时，函数 是 减函数，此时， ，所以 ； 4分 （ 3）当 时，若 ，则 ，有 ； 若 ，则 ，有 ； 因此， ， 6 分 而 ， 故当 时， ，有
5、 ； 当 时， ，有 ； 8 分 合肥翰林教育 综上所述： 。 10 分 （ II）画出 的图象，如右图。 12 分 数形结合，可得 。 14分 2解 : ( )先用数学归纳法证明 , . （ 1）当 n=1 时 ,由已知得结论成立 ; （ 2）假设当 n=k 时 ,结论成立 ,即 对于一切正整数都成立 . 4 分 又由 , 得 ,从而 . 综上可知 6 分 ( )构造函数 g(x)= -f(x)= , 0g(0)=0. 因为 ,所以 ,即 0,从而 10 分 ( ) 因为 ,所以 , , 所以 , 12 分 由 ( ) 知 : , 所以 = , 因为 , n2, 所以 2 即 （ 2） 2
6、，当 a1 时， 2 1 即1a 故满足条件 的取值范围 ， 4（ 1） 椭圆的方程为 （ 2 分） （ 2）设 AB 的方程为 由 合肥翰林教育 （ 4分）由已知2 （ 7 分） （ 3）当 A 为顶点时， B必为顶点 .S AOB=1 （ 8 分） 当 A， B不为顶 点时，设 AB的方程为 y=kx+b （ 11 分） 所以三角形的面积为定值 .（ 12 分） 合肥翰林教育 合肥翰林教育 7、解： (1)依题意，曲线 M是以点 P 为焦点，直线 l为准线的抛物线，所以曲线 M的方程为 y2=4x. 假设存在点 C（ 1， y），使 ABC 为正三角形，则 |BC|=|AB|且 |AC|=|AB|，即 因此，直线 l 上不存在点 C，使得 ABC 是正三角形 . （ ii）解法一：设 C（ 1， y）使 ABC 成钝角三角形， ， ，
