1、 1 弹性力学重点 复习题 及其答案 一、填空 题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的 应力 、形变 和 位移 。 2、在弹性力学中规定，线应变以 伸长 时为正， 缩短 时为负 ，与 正应力 的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定， 切 应变以 直角变小 时为正， 变大 时为负 ，与 切 应力 的正负号规定相适应。 4、 物体受外力以后，其内部将发生 内力 ，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的 法线方向 和 切 线 方向 的分量，也就是 正应力和 切应力 。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。 5、弹性力学的 基本
2、假定为 连续性 、 完全弹性 、 均匀性 、 各向同性 。 6、平面问题分为 平面应力问题 和 平面应变问题 。 7、已知一点处的应力分量 100x MPa， 50y MPa， 5010xy MPa，则主应力1 150MPa， 2 0MPa， 1 6135 。 8、已知一 点处的应力分量， 200x MPa， 0y MPa， 400xy MPa，则主应力 1 512 MPa， 2 -312 MPa， 1 -37 57 。 9、已知一点处的应力分量， 2000x MPa， 1000y MPa， 400xy MPa，则主应力1 1052 MPa， 2 -2052 MPa， 1 -82 32 。 1
3、0、在弹性力学里分析问题，要考虑 静力学 、 几何学 和 物理学 三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为 平衡微分方程 。 12、边界条件表示边界上 位移 与 约束 ，或 应力与面力 之间的关系式。分为 位移边界条件 、应力边界条件 和 混合边界条 件 。 13、按应力求解平面问题时常采用 逆解法 和 半逆解法 。 14、有限单元法首先将连续体变换成为 离散化结构 ，然后再用 结构力学位移法 进行求解。其具体步骤分为 单元分析 和 整体分析 两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由 本单元的形变 引起的，另一部分是由于 其他单元发生了
4、形变 而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓 变量应变 ；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓 常量应变 。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答 ，位移模式必须能反映单元的 刚体位移 和 常量应变 ，还应当尽可能反映相邻单元的 位移连续性 。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为 坐标的单值连续函数 ，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在 公共结点处 具有相同的位移时，也能在 整个公共边界上 具有相同的位移。 2 19、在有限单元法中，单元的形函数 Ni在 i结点
5、Ni=1；在其他结点 Ni=0 及 Ni=1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是 将单元的尺寸减小 ，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是 采用包含更高次项的位移模式 ， 使位移和应力的精度提高 。 二、判断题 （请在正确命题后的括号内打“”，在错误命题后的括号内打“”） 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（ ） 2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（） 3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（） 4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（ ） 5、如果某
6、一问题中， 0 zyzxz ，只存在平面应力分量 x ， y ， xy ，且它们不沿 z方向变化，仅为 x， y 的函数，此问题是平面应力问题。（） 6、如果某一问题中， 0 zyzxz ，只存在平面应变分量 x ， y ， xy ，且它们不沿 z方向变化，仅为 x， y 的函数，此问题是平面应变问题。（） 7、表示应力分量与面力分量之间关 系的方程为 平衡微分方程。 （） 8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为 物理方程 。（） 9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（ ） 10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（） 11、按应力求解平面问题时常采用位移
7、 法 和应力法。（） 12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（） 13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。 （） 14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（） 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均 有突变。（ ） 三、简答题 1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。 在研究对象方面，材料力学基本上只研究 杆状构件 ，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对 杆状构件 作进一步的、较精确的分析外，还对 非杆状结构 ，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。 在研究方法方面，材料力学研究杆状构件
8、，除了 从静力学、几何学、物理学三方面进行分析 以外，大都 引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定 ，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学 研究杆状构件， 一 般都不必引用那些假定 ，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。 2、简述弹性力学的研究方法。 3 答 ： 在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程 。即根据微分体的平衡条件，建立 平衡微分方程 ；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立 几何方程 ；根据应力与形变之间的物理关系，建立 物理方程 。 此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件 。在
9、给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立 应力边界条件 ；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立 位移边界条件 。求解弹性 力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量 。 3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？ 答 ：弹性力学中正应力用 表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用 表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上 的应力以沿坐标轴负方向为正，沿
10、坐标轴正方向为负。 4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。 答 ： 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有 x ， y ，xy 。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移 分量只有 u 和 v 5、简述圣维南原理。 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 6、简述按应力求解
11、平面问题时的 逆解法 。 答 ：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。 7、以三节点三角形 单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。 （ 1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。 （ 2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。 （ 3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。 （ 4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。 （ 5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。
12、 （ 6）应用虚功方程， 将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。 （ 7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。 8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？ 4 答 ：为了保 证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（ 1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（ 2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（ 3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？ 每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而
13、连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此 ，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。 10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？ 答 ：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模
14、式必须能反映该单元的常量应变。 11、在平面三结点三角 形单元中，能否选取如下的位移模式并 说明理由： （ 1） yxyxu 3221),( ， 2654),( yxyxv （ 2） 23221),( yxyxyxu ， 26524),( yxyxyxv 答 ：（ 1）不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标 x， y不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。 （ 2）不能采用。因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满足。 四、分析计算题 1、试写出无体力情况 下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可
15、能在弹性体中存在。 （ 1） ByAxx ， DyCxy ， FyExxy ； （ 2） )( 22 yxAx ， )( 22 yxBy ， Cxyxy ； 其中， A， B， C， D， E， F 为常数。 解 ：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（ 1）在区域内的平衡微分方程00xyyxxyyyxx；（ 2）在区域内的相容方程 02222 yxyx ；（ 3）在边界上的应力5 边界条件 sflmsfmlysxyyxsyxx ；（ 4）对于多连体的位移单值条件。 （ 1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F， D=-E。此外还应满足应力边界条件。 （ 2）为
16、了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量 312 xCQxyx ， 2223 xyCy ， yxCyCxy 2332 ，体力不计， Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数 C1， C2， C3。 解 ：将所给应力分量代入平衡微分方程 00xyyxxyyyxx得 023 033322322212xyCxyC xCyCxCQy即 023 0333222231xyCC yCQxCC由 x， y 的任意性，得 023030332231CCCQCC 由此解得， 61 QC， 32 Q
17、C ， 23 QC3、已知应力分量 qx ， qy ， 0xy ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。 解 ：将已知应力分量 qx ， qy ， 0xy ，代入平衡微分方程 00YxyXyxxyyyxx6 可知，已知应力分量 qx ， qy ， 0xy 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。 按应力求解平面应力问题的相容方程： yxxy xyxyyx 22222 )1(2)()( 将已知应力分量 qx ， qy ， 0xy 代入上式，可知满足相容方程。 按应力求解平 面应变问题的相容方程： yxxy xyxyyx 222221 2)1()1(将已知应力分量 qx ， qy
18、 ， 0xy 代入上式，可知满足相容方程。 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。 （ 1） Axyx ， 3Byy ， 2DyCxy ； （ 2） 2Ayx ， yBxy 2 ， Cxyxy ； （ 3） 0x ， 0y ， Cxyxy ； 其中， A， B， C， D 为常数。 解 ：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 yxxy xyyx 22222 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （ 1）相容。 （ 2） CByA 22 （ 1 分）；这组应力分量若存在，则须满足： B=0， 2A=C。 （ 3） 0=C； 这组应力
19、分量若存在，则须满足： C=0，则 0x ， 0y ， 0xy （ 1 分） 。 5、证明应力函数 2by 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， 0b ）。 l/2 l/2 h/2 h/2 y x O 7 解 ： 将应力函数 2by 代入相容方程 02 4422444 yyxx 可知，所给应力函数 2by 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 byx 222 ， 022 xy ， 02 yxxy 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为： 上边，2hy， 0l ， 1m ， 0)(2 hyxy
20、xf ， 0)(2 hyyyf ； 下边， 2hy ， 0l ， 1m ， 0)(2 hyxyxf ， 0)(2 hyyyf ； 左边， 2lx ， 1l ， 0m ， bflxxx 2)( 2 ， 0)(2 lxxyyf ； 右边， 2lx ， 1l ， 0m ， bflxxx 2)( 2 ， 0)(2 lxxyyf 。 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此，应力函数 2by 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（ b0）和均布压力（ b0）的问题。 6、证明应力函数 axy 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， 0
21、a ）。 解 ：将应力函数 axy 代入相容方程 02 4422444 yyxx l/2 l/2 h/2 h/2 y x O 8 O x y b q g 可知，所给应力函数 axy 能满足 相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 022 yx ， 022 xy ， ayxxy 2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为： 上边，2hy， 0l ， 1m ， afhyxyx 2)(， 0)(2 hyyyf ； 下边， 2hy ， 0l ， 1m ， afhyxyx 2)(， 0)(2 hyyyf ； 左边， 2lx ， 1l ， 0m ，
22、0)(2 lxxxf ， aflxxyy 2)(； 右边，2lx， 1l ， 0m ， 0)(2 lxxxf ， aflxxyy 2)(。 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力 a。因此，应力函数 axy 能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。 解 ： 根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设 0x 。由此可知 022 yx 将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式 )()(, 21 xfyxfyx 将上式代入应力函数所应满足的 相容 方程则可得
23、 0)()( 424414 dx xfddx xfdy 这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的 y 值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即 0)(414 dx xfd ， 0)(424 dx xfd 9 这两 个方程 要求 ICxBxAxxf 231 )( ， KJxExDxxf 232 )( 代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得 2323 )( ExDxCxBxAxy 对应应力分量为 022 yx gyEDxBAxyxy 26)26(22 CBxAxyxxy 23 22 以上常数可以根据边界条件确定。 左边， 0x ， 1l
24、 ， 0m ，沿 y 方向无面力，所以有 0)( 0 Cxxy 右边， bx ， 1l ， 0m ，沿 y 方向的面力为 q，所以有 qBbAbbxxy 23)( 2 上边， 0y ， 0l ， 1m ， 没有水平面力，这就要求 xy 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 0)( 00 dxyb xy 将 xy 的表达式代入，并考虑到 C=0，则有 0)23( 230230 2 BbAbBxAxdxBxAx bb 而 00)(00 dxyb xy自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 y 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 0)( 00 dxyb y ， 0)( 0
25、0 xdxyb y 将 y 的表达式代入 ，则有 02323)26( 2020 EbDbExDxdxEDx bb 022)26( 230230 EbDbExDxx d xEDx bb 由此可得 2bqA， bqB ， 0C ， 0D ， 0E 10 应力分量为 0x , gybxbyqy 312 , 23bxbxqxy 虽然上述结果并不严格满足上端面处（ y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离 y=0 处这一结果应是适用的。 8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为xVfx ， yVfy ，其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，Vyx 22
26、 ， Vxy 22 ， yxxy 2 ，试导出相应的相容方程。 证明 ：在体 力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 x ， y ， xy应当满足平衡微分方程 00yVxyxVyxxyyyxx（ 1 分） 还应满足相容方程 yfxfyx yxyx 12222 （对于平面应力问题） yfxfyx yxyx 1 12222 （对于平面应变问题） 并在边界上满足应力边界条件（ 1 分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。 首先考 察平衡微分方程。将其改写为 00xVyyVxxyyyxx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为 yxx yVx 根据微分方程理论，一定存在某一函数 A（ x， y），使得 yAVx ， xAyx 同样，将第二个方程改写为
