1、基于广播星历的 GPS 卫星轨道拟合方法的比较摘要：本文根据 GPS 广播星历提供的卫星星历参数，分析离散正交多项式和切比雪夫多项式在 GPS 卫星轨道拟合差异，以及不同阶数对多项式的影响。通过不同拟合模型和多项式次数的选择比较与分析，切比雪夫多项式在 GPS 卫星轨道拟合中能够更加稳健的估计 GPS 观测历元的卫星坐标，更加适合于 GPS 卫星坐标的计算。 关键词： GPS 轨道拟合切比雪夫多项式 离散正交多项式广播星历 中图分类号：U45 文献标识码： A 1 . 引言 GPS 卫星轨道拟合和卫星坐标计算是 GPS 数据预处理中很重要的处理过程。在 GPS 控制测量及其他相关应用中，通常利
2、用 GPS 广播星历提供的轨道参数等信息按照不同的插值和拟合方法计算每一个观测历元的卫星位置。当要多次重复计算卫星位置时,依照固定的卫星位置计算公式会导致消耗大量的计算机内存，增加计算时间。若把卫星轨道拟合成以时间为自变量的函数,无疑将大大提高计算效率。GPS 卫星轨道拟合的精度受到拟合方法、多项式次数和拟合时段长短等因素影响。本文根据 GPS广播星历提供的星历参数，以离散正交多项式、切比雪夫多项式拟合方法拟合卫星轨道并计算卫星位置，分析这些参数的影响以及参数间的关系，有利于更好地使用广播星历。 2 . GPS 卫星轨道拟合的基本原理 GPS 广播星历提供了 16 个星历参数，其中包括 1 个
3、参考时刻、6 个相应参考时刻的开普勒轨道参数和 9 个轨道摄动修正参数。GPS 卫星轨道拟合是以广播星历为基础，通过选取不同的拟合方法，将卫星轨道拟合成时间为自变量的函数，并利用拟合的轨道函数计算任意历元的卫星轨道位置。常用的拟合函数主要包括离散正交多项式、切比雪夫多项式。 2.1 离散正交多项式拟合 设给定点集，是 k 次多项式，如果多项式系满足： （1） 则称为关于点集的正交多项式系，称为 k 次正交多项式。离散正交多项式是线性无关函数系。首项系数为 1 的离散正交多项式系有下列递推关系： （2） 其中 （3） 根据式（2） 、 （3） ，建立 GPS 卫星轨道坐标以时间为自变量的拟合函数
4、，利用广播星历提供的轨道参数拟合卫星轨道函数。 2.2 切比雪夫多项式拟合 切比雪夫多项式是在区间-1,1上权函数为的正交多项式，切比雪夫多项式可以由三角恒等式表示： （4） 式（4）用显式表达在-1,1区间： （5） 式（5）称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。切比雪夫多项式具有正交性，即 （6） 切比雪夫多项式的递推式可以表示为： （7） 由递推可得: （8） 基于广播星历的 GPS 卫星坐标的切比雪夫多项式拟合模型可以表示为： （9） 式中：为卫星坐标；为转化到区间-1,1上的时刻；为多项式系数，表示切比雪夫多项式。 2.3 最小二乘拟合原理 假设给定数据点(i=0,1,m)，为所
5、有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (10) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（10）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当 n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 (11) 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (12) 即 (13) 式(13)是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (14) 式(14)中方程组的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式(14)中解出 (k=0,1,，n)，即为最小二乘拟合的多项式系数。 3 .卫星轨道拟合算例 GPS 接收机接收到的广播星历一般每隔 2 小时为一组,为了保持卫星坐标的精度，一
6、般采用限制星历外推时间间隔的方法。为此本文选择外推的时间间隔最大不超过 1 小时。卫星的坐标是按照观测时刻最接近的一组广播星历数据来计算的,每次计算时都要进行时间比较,利用不同时刻的广播星历参数,最后根据上面的轨道坐标计算公式求出各个时刻卫星的位置。 3.1 拟合轨道的坐标分量比较 本文以 2010 年 11 月 22 日 PRN2 号卫星的广播星历，根据卫星星历计算不同时刻卫星位置，计算了 PRN2 号卫星 8 点10 点每隔 15 min 的坐标，并采用 9 阶离散正交多项式和 9 阶切比雪夫多项式拟合该卫星在该时段的卫星轨道位置。为了比较两种拟合模型的差异，根据拟合的卫星轨道计算 9 点
7、 45 分的卫星坐标进行比较，并把该结果和 IGS 提供的精密星历对应时刻的卫星精密坐标进行了比较，其坐标的 X、Y、Z 各分量值见表 1。 表 1 不同轨道拟合方法坐标比较 从表 1 中可以看到，切比雪夫多项式和离散正交多项式的次数相同时，拟合的 GPS 卫星轨道坐标的误差与精密星历提供的卫星坐标偏差比较均匀，X 分量和 Y 分量的偏差较大，而 Z 分量的偏差较小。为了分析拟合卫星轨道估计的坐标各分量的与精密星历的差异，根据历元观测时间，在切比雪夫多项式拟合的卫星轨道参数下，采用拉格朗日插值方法估计了 8 个观测时刻的轨道位置，并和精密星历数据比较各个坐标分量大小，表 2 为插值后的各个坐标
8、分量统计。从表 1、表 2 可以看出，根据广播星历拟合的卫星轨道位置及其卫星坐标插值结果在坐标分量上存在差异，其中 Z 方向的拟合精度最好。 表 2 坐标分量偏差统计 3.2 拟合轨道与多项式次数 为了分析轨道拟合与选择的多项式次数的关系，本文对不同卫星不同时段也进行了类似的拟合计算，从拟合轨道参数及其坐标插值的统计结果可以看到：两种拟合方法的多项式次数达到 10 阶时，各个坐标分量的偏差不大，而拟合阶数增加时偏差变化较小，精度改善作用有限。对表 3 的结果进行比较发现，当多项式的次数较低时，两种方法的拟合效果非常接近，这是由于两种拟合方法的本质是一样的。当多项式的次数较高时，离散正交多项式拟
9、合的误差反而增大了，当阶数为 19 时，其三个方向上的标准差比较大；而采用切比雪夫多项式拟合，其拟合效果仍然较好，三个方向上的标准差都比较小。这是由于离散正交多项式拟合时，范德蒙德矩阵病态造成的，而切比雪夫拟合回避了该缺点。 表 3 拟合多项式次数的比较 4 .结论 GPS 卫星轨道拟合对 GPS 定位计算有很重要的意义，本文根据广播星历提供的卫星星历参数，采用离散正交多项式和切比雪夫多项式拟合在最小二乘原理下拟合卫星轨道，并将拟合后的卫星轨道位置与精密星历提供的卫星轨道位置比较，分析不同拟合方法对卫星轨道位置计算的影响。通过统计分析发现，拟合后的卫星轨道位置在 X 分量和 Y 分量上的误差比
10、较大，而在 Z 方向上的误差较小。卫星轨道拟合与选择的多项式次数相关，在多项式的阶数较小时，两种方法的差别不是很明显，在多项式次数增加时，切比雪夫多项式能够更加稳健的估计卫星轨道，适合卫星轨道位置拟合与计算。 参考文献 1徐绍铨,张华海,杨志强,王泽民.GPS 测量原理及其应用.武汉:武汉大学出 版社,2008. 2李征航,黄劲松. GPS 测量与数据处理M. 武汉:武汉大学出版社, 2005. 3蔡艳辉,程鹏飞,李稀银.卫星坐标的内插和拟合.Gnss World of China, 2003(3). 4余 鹏,孙学金,赵世军.GPS 定位中卫星坐标计算的切比雪夫多项式拟合法J.气象科技,2004,32(3):198201.
