1、应力强度因子的求解方法的综述摘要：应力强度因子是结构断裂分析中的重要物理量，计算应力强度因子的方法主要有数学分析法、有限元法、边界配置法以及光弹性法。本文分别介绍了上述几种方法求解的原理和过程，并概述了近几年来求解应力强度因子的新方法，广义参数有限元法，利用 G*积分理论求解，单元初始应力法，区间分析方法，扩展有限元法，蒙特卡罗方法，样条虚边界元法，无网格直接位移法，半解析有限元法等。 关键词：断裂力学；应力强度因子；断裂损伤； Solution Methods for Stress Intensity Factor of Fracture Mechanics Shuanglin LU (HU
2、ANGSHI Power Survey stress intensity factors 中图分类号：TU318 文献标识码：A 0 引言 断裂力学的基础理论最初起源于 1920 年 Griffith 的研究工作1。Griffith 在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂现象时，认为裂纹的存在及传播是造成断裂的原因。裂纹的扩展过程,从能量的观点来看,存在着两种完全对抗的因素：一种是阻止裂纹扩展的因素，另一种是推动裂纹扩展的因素。Griffith 由此建立了材料的脆性断裂判据1： (1) 在(1)式中： 断裂应力；E材料的弹性模量； 材料的表面能；a裂纹长度的一半。 Griffith 判据并不能完全成
3、功地应用于金属断裂问题。1949 年, Orowan 考虑到裂纹释放的应变能不仅转化成表面能，也同时转化成使裂纹顶附近材料发生塑性变形所需要的功。因此，Orowan 对 Griffith 判据进行修正并得到了具有塑性变形的金属材料的断裂判据1： (2) 在(2)式中： 断裂应力；E材料的弹性模量； 为塑性功；a裂纹长度的一半。 1975 年，Irwin 认为裂纹是脆性断裂破坏的要害，而裂纹顶端区域的应力场又是其中的核心。从(1)、(2)可以看出： 是一个常数，也就是说与载荷条件、式样尺寸、裂纹大小毫不相干，是只由材料的固有性质决定的不变值。当 大于这个值时裂纹就快速扩展，因而，这个常数才真正代
4、表了材料对断裂的抵抗能力。于是，Irwin 对应提出了一个崭新的物理量应力强度因子。 由裂纹尖端的应力应变的表达式2可以看出：裂纹尖端附近各点的应力、应变和位移均由应力强度因子 K 唯一确定，因此，如何计算 K 值是断裂力学中的一个重要内容。目前，对于无限体中的简单裂纹和有限边界的贯穿裂纹，确定 K 值的主要方法有：数学分析、数值计算、试验标定以及光弹性法等。 1 数学分析法 1.1 复变函数法 对于平面弹性问题，利用复变函数能够很方便的求得裂纹尖端应力应变场。在文献2中详细给出了针对 型裂纹，利用威斯特葛尔德(Westergaard)应力函数求解应力分量的过程，最后得到各应力分量的表达式为：
5、 (3) 根据(3)式可以由胡克定律得到应变分量，然后再根据应变与位移之间的关系式可以得到位移分量的表达式。由上所述可以看出，只要知道了 ZI 函数的表达式，应力分量、应变分量和位移分量都可以求出来了。 因此，用复变函数法求解应力强度因子的思想就是，针对不用的裂纹情况构造出满足相应边界条件的复变解析函数，并由此复变函数求得裂纹尖端的应力应变场，最后由应力强度因子的表达式求得 K 值。复变函数法在弹性平面问题的应用中比较方便，但对于弹塑性或三维空间问题，该方法就不再实用，其主要原因是构造满足边界条件的复变函数很困难。文献3和文献4中给出了利用复变函数法求解正交各向异性含内部裂纹板、带单裂纹无限平
6、板中作用有集中力和力矩以及带单裂纹无限弹性体作用有纵向集中力等情况下应力强度因子的计算方法。 1.2 积分变换法 弹性理论已经证明，常体力下弹性平面问题存在应力函数，称为Airy 应力函数，为双调和函数5。对于平面问题，可用 Laplace Transform 和 Fourier Transform 来解答应力场强度因子。鉴于求解方程为 4=0（ 为 Airy 应力函数）很困难，故可考虑 Fourier Transform来解断裂力学问题。首先对 取 Fourier 变换，记为 ，即： (4) 于是， 应满足方程： (5) 用降阶法可以求出方程(5)的通解为： (6) 由(6)式结果来求解应力
7、分量如下： (7) 其相应的位移场为： (8) 经过反演分析即可得出 以及 ， 等全部场量。 如用 Fourier 变换仍求解椭圆形裂缝问题得 KI，则由： (9) 一旦两个材料参数 m、s 确定，则 K、K的数值可以根据下列公式十分容易地求得： (10) 在式(10)中： 为材料的抗压强度；l 为裂纹长度。 2 边界配置法 由弹性力学可知，二维弹性力学问题的应力函数 为双调和函数，即满足微分方程式： 。当裂纹表面满足边界条件 ， ， 时，有 Williams无穷级数的应力函数6,7： (11) 其中： (12) 在(12)式中： 为偶函数部分，相当于型裂纹里对称加载； 为奇函数部分，相当于型
8、裂纹里反对称加载。 应用复应力强度因子公式： (13) 注意到(12)式中的 Cj=-Cj/2=-Cn 以及 Dj=-Dj/2=-Dn，因此有，Cj/2 -C1 和 Dj/2 -D1 故有： (14) 即： (15) 因此，要计算应力强度因子 K、K，则先要求解(12)式。为此，需要由边界条件建立含有 Ci、Di 的线性方程组，求解此方程组以确定系数 C1、D1。 由弹性力学可知，弹性力学问题的解必须满足平衡条件和边界条件。这里，在边界上取 2m 个配置点，对于每一个配置点 i 可以提出两个边界条件： (16) 在(16)式中： ， 分别为含裂纹体的应力函数及其法向偏导数； ， 分别为非裂纹体
9、的应力函数及其法向偏导数。 因此，对于 2m 个配置点便可以建立 4m 个类似的边界条件，由 4m个方程式组成线性方程组。解此线性方程组即可求得 4m 个未知量 的值。采用边界配置法就是将(11)式或(12)式截断，然后由边界上的 2m 个配置点处 4m 个边界条件去确定其中的 4m 个待定常数 Cj、Dj，把问题归结于求解 4m 个线性方程组，用计算机及程序计算很方便。 3 有限元法 随着有限元法的发展，有限元在断裂力学中的应用越来越普及。近些年，计算机技术得到迅猛发展，很多大型通用软件，如 ANSYS、ADINA以及 MSC/Nastran 等都具有计算各算各种断裂参数的功能，因此利用有限
10、元计算断裂力学中的应力强度因子也得到广泛的应用。 构件中的裂纹可以抽象为二维或三维模型，如图 1 所示。求解断裂力学问题的步骤包括先进行弹性或弹塑性静力分析，然后用特殊的后处理命令或宏命令计算所需的断裂参数。在有限元中主要采用 1/4 法计算应力强度因子。根据县弹性断裂理论，裂纹尖端的位移场可以表示为7：(17) 在(17)式中：u、v 和 w 为对应于裂纹尖端局部坐标的位移；r 和 是计算点在局部柱坐标的坐标值；G 是剪切模量,v 是泊松比；对于平面应力 ，而对于平面应变 。 、 和 分别为型、型和型裂纹的应力强度因子；0(r)是高阶无穷小量。根据公式(17),如果裂纹表面(=180)某一点
11、垂直于裂纹平面的位移已知，可以导出对称裂纹的应力强度因子计算公式： 图 1 裂纹的二维和三维模型 (18) 对于非对称裂纹体,其应力强度因子的计算公式为： (19) 在(19)式中：u、v 和 w 分别为两个裂纹面之间的相对位移。 由于裂纹尖端的应力和应变是奇异的,因此在进行有限单元建模或单元网格划分时,必须先在裂纹尖端位置定义应变奇异点,而且围绕裂纹定点的有限单元是二项式的奇异单元,它是把单元边上的中间点放到 1/4 边处。图 2 所示为 ANSYS 的 2-D 和 3-D 模型中所采用的奇异单元。 图 2 裂纹尖端的奇异单元 应用有限元方法计算裂纹体的应力强度因子,关键是要建立一个能够反映
12、裂纹体特征的共线(共面)的裂纹几何模型,并确定裂纹尖端的局部坐标。在划分裂纹尖端附近的几何体时,必须选用具有奇异特征的单元。在完成静力学计算后,才能计算裂纹尖端的应力强度因子。文献8和文献9中的计算结果表明，应用有限元分析软件计算出的应力强度因子与断裂力学求得的应力强度因子非常相近，因此，利用有限元计算材料的断裂强度因子是可行的。 4 光弹性法 由于光弹性法可以确定光弹性模型在裂纹尖端附近的应力变化规律，因此提供了用实验方法确定裂纹尖端应力强度因子 K 的基础11。利用透光材料制成含裂纹的试件，用激光光源照射，由于实时全息干涉原理，在照片上可以看到一组以裂纹尖端为中心的明暗交替的条纹。可以证明
13、：条纹中光的强度和试件的主应力 、 间的关系如下： (20) 在(20)式中： 是材料的应力光学常数； 是光的波长； 是光波振幅； 是光的强度。 因为出现暗条纹的条件是 ，即： 也就是： (21) 引进常量 m，它与条纹序数 N 的关系为： ，因此： (22) 对于张开型裂纹，在裂纹延长线上( )，由裂纹尖端应力分量的表达式可看出 xy=0，因为在裂纹上的剪应力为 0，所以 x 和 y 就是主应力 1 和 2。因此，由裂纹尖端应力分量的表达式可得： (23) 由于(23)式是在双向应力 作用下导出来的，为了得到单项拉伸下的应力场公式，可在 x 方向叠加一套应力 ， ， ，但这并不改变裂纹尖端的
14、奇异性和 K值，这套应力在裂纹内产生一个均匀的应力场，故 x 方向的合力为： 则单向拉伸时 x 轴上的应力为： (24) (25) 将(25)式代入到(22)之中得： (26) 在远离裂纹处，只有在 y 方向的均匀拉应力 ，这时 1+2=y=,该处的 m 用 表示，代入到(22)式得： (27) 联立(26)式和(27)式得： (28) 由于一般 K的表达式为： (29) 将(29)式代入(28)式得： (30) 由 可得： (31) 联立(28)式和(31)式，得： (32) 其中，N 为裂纹线上距裂纹顶端为 r 的干涉条纹序数，N*为远离裂纹其应力等于均匀拉应力 处的条纹序数。按(32)
15、式可以 为纵坐标， 为横坐标的直角坐标系中将实验结果画出，它是一条直线，其斜率就是 Y。将Y 值代入到式即可得到 K值。 实时全息条纹法只能得到二维问题的裂纹尖端数值解，对于三维裂纹问题则不可行。 5 近几年求解应力强度因子的新进展 近几年来求解应力强度因子的新方法主要有广义参数有限元法12、利用 G*积分理论求解13、单元初始应力法14，区间分析方法15、扩展有限元法16、蒙特卡罗方法17、样条虚边界元法18、无网格直接位移法19、半解析有限元法20等。 广义参数有限元法建立了裂尖处应力强度因子计算的 W 单元。利用修正的 Williams 级数建立裂尖附近奇异域的整体位移场，使得计算模型中含有与应力强度因子直接相关的参数，便于直接计算应力强度因子，从而避免了奇异单元需要外推计算且人为选择直线和计算点带来的计算误差和种种不便，不仅便于应用，而且计算精度较高。 直接计算应力强度因子的扩展有限元法以常规有限元法为基础,利用单位分解法思想,通过在近似位移表达式中增加能够反映裂纹面的不连续函数及反映裂尖局部特性的裂尖渐进位移场函数,间接体现裂纹面的存在,从而无需使裂纹面与有限元网格一致,无需在裂尖布置高密度网格,也不需
