1、函数的零点 二次函数型 已知 函数 2ln 020xxfxx x x ， ， ，则函数 22 3 1y f x f x 有 个零点 解： y f x 的图像如右图 由 22 3 1 0f x f x ，得 12fx ，或 1fx 12fx 有 4 个不同的实根； 1fx 有 3 个不同的实根； 22 3 1y f x f x 有 7 个零点 已知 函数 125 1 04 4 0x xfx x x x ， ， ，若 04m，则关于 x 的方程 2 2 4 4 0f x m f x m m 有 个不同的实数解 解： fx的图像如右图 由 2 2 4 4 0f x m f x m m ，得 f x
2、m ，或 4f x m， 04m， 44m ， 方程有 6 个不同的实数解 已知 函数 1202 1 0xexfx x x x ， ， ，若关于 x 的方程 2 30f x f x a 有8 个不同的实根，则 a 的取值范围是（ D） A 104，B 133，C 12， D 4 924，xy1Oxy4O解：函数 fx的图像如图所示 方程 2 30f x f x a 有 8 个不同的实根，等价于方程 2 30g t t t a 在 12， 有两个相异实根，所以 01020gg 解得 92 4a 所以选 D 设 函数 2ln 05 4 0xxfxx x x ， 若关于 x 的方程 2 10f x
3、b f x 有 8 个不同的根，则实数 b 的取值 范围是 1724 ，。 解： fx的图像如图，设 t f x ，原方程有 8 个不同的根，等价于 2 10g t t b t 在 04， 上有两个不等实根， 04f ， 2 400240.bbg ，解得 172 4b ， b 的取值范围是 1724 ，。 已知 函数 lg 1 101xxfxx ， ， ，则关于 x 的方程 2 0f x b f x c ，有 7个不同实根的充要条件是（ C） A. 0b 且 0c B. 0b 且 0c C. 0b 且 0c D. 0b 且 0c 解： y f x 的图像如图 xy 1 2 1123Oxy41
4、O方程 2 0f x b f x c ，有 7 个不同实根的充要条件是方程 2 0x bx c ，有两个实根1 0x ， 2 0x 即 0b 且 0c ， 故选 C 已知 函数 0l n( ) 0xexfxxx ， ， ，则实数 t 2 是关于 x 的 方 程 2 0f x f x t 有三个不同实根的 条件 解：函数 fx的图像如图所示 由 2 0f x f x t ，得 1 1 42 tfx （ t 14 ） 1 1 42 tfx （ t 14 ） 若 t 2 ， 1 1 4 02 t （ *）， 有一个实根； 1 1 42 t 1（ *） ，有一个实根原方程共有三个实根 若原方程共有三个
5、实根，则 （ *）式和（ *）式均成立，即 t 2 所以， 实数 t 2 是关于 x 的方程 2 0f x f x t 有三个不同实根 的充要条件 关于 x 的方程 2221 1 0x x k ，给出下列 4 个命题 存在实数 k 使得方程恰好有 2 个不同的实根 存在实数 k 使得方程恰好有 4 个不同的实根 存在实数 k 使得方程恰好有 5 个不同的实根 存在实数 k 使得方程恰好有 8 个不同的实根 xy11Oxy 1 2 1 2 112O其中假命题的个数是（ A） A. 0 B.1 C.2 D.3 - 解： 2221 1 0x x k ，即 22211k x x 2f x x x 和
6、2 1g x x的图像如下图 xyg（ x） = |x2- 1|1Oxy112f（ x） = - x2+ x14O（ 1）当 14k 时， k f x 有 1 个实根1 12x， 12gx 有 4 个实根， 2221 1 0x x k 有 4 个实根 （ 2）当 10 4k 时， k f x 有 2 个实根 2x ， 3x ，且 2 01x ， ， 3 01x ， ig x x （ 2i ， 3 ）均有 4 个实根， 2221 1 0x x k 有 8 个实根 （ 3）当 0k 时， k f x 有 2 个实根 4 0x ， 5 1x ， 0gx 有 2 个实根， 1gx 有 3 个实根， 2
7、221 1 0x x k 有 5 个实根 （ 4）当 0k 时， k f x 有 2 个实根 6x ， 7x ，不妨设 6x 7x ，则 6 0x ， 7 1x ， 6g x x 无实根， 7g x x 有 2 个实根， 2221 1 0x x k 有 2 个实根 若函数 32f x x a x b x c 有极值点 1x ， 2x ，且 11f x x ，则关于 x 的方程 23 2 0f x af x b 的不同的实根的个数是（ A） A. 3 B. 4 C.5 D.6 - 解： 232f x x ax b ， y f x 有极值点 1x ， 2x ， 1x ， 2x 是 23 2 0x
8、ax b 的实根， 23 2 0f x af x b ， fx是 23 2 0x ax b 的实根， 1f x x ，或 2f x x 又 11f x x ， （ 1）当 12xx 时 ， y f x 的图像如下图 y= xxyO x 1x 2y= xy= x2y= x1xyO x1x2 1f x x 有 2 个零点； 2f x x 有 1 个零点； 方程 23 2 0f x af x b 有 3 不同的实根 （ 2）当 21xx 时， y f x 的图像如下图 y= xx 2 x1Oyxy= xx2 x1Oyxy= x1y= x2 1f x x 有 2 个零点； 2f x x 有 1 个零点； 方程 23 2 0f x af x b 有 3 不同的实根 综上，选 A
