1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题 评阅要点 说明 本要点 仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 (1) 如图 1，设 P 的坐标为 (x, y) (x 0， y 0)，共用管道的费用为非共用管道的 k 倍，模型可归结为 2222 )()()(),(m i n ybxcyaxkyyxf 图 1 只需考虑 21 k 的情形。对上述二元费用函数 求 最小 值可得 （不妨假设 ba ） (a) 当 )(4 2 abk kc 时， ),0(* aP ， kacabf 22m in )( ； (b) 当 )(4)(4 22 abk kcabk k 时， )4
2、(21,2)(24 22* ckkbacbak kP， ckkbaf 2m i n 4)(21 ； (c) 当 )(4 2 abk kc 时， )0,(* baacP ， 22m in )( cbaf 。 对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令 k = 1。 本 小题的评阅应注意模型的正确性，结果推导的合理性及结果的完整性。 (2) 对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更： (a) 首先考虑城区 拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。 注意：公司一的权值应大于公司二和公司三的权值，公司二和公司三的权值应相等 。 (b) 假设管
3、线布置在城乡结合处的点为 Q， Q到铁路线的距离为 z（参见图 2）。 图 2 一般情况下，连接炼油厂 A 和点 Q到铁路线的输油管最优布置应取上述 (1)(b)的结果 ， 因此 管道总费用最省的数学模型成为 22 )()()3(21)(m in clzbtczazg 其中 t表示城乡建设费用的比值。 当 14* 2 t clbz时， )(zg 取得最小值 )(143(21*)( 2 cltcbazg 。 若在建立正确的模型后，用优化软件 进行 数值求解也是可取的。 两种极端情形：当权重取为 1:1:1 时， P 点坐标为 (5.4462,1.8556)， Q点坐标为 (15.0000, 7.
4、3715)，最小费用为 283.5373 万元 。 当权重取为 1:0:0 时， P 点坐标为 (5.4593,1.8481)， Q点坐标为 (15.0000, 7.3564)，最小费用为 280.1771 万元 。 最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于 280.1771 万元和 283.5373 万元之间。 (3) 考虑各部分管道费率不等的情况。 分别用 4321 , kkkk 记 AP、 PQ、 PH、 BQ 段管道的费率，并设 P和 Q点的坐标分别为 (x, y)、 (c,z) (如图 3 所示 )，则总费用的表达式为 2243222221 )()()()()(z)y,( x
5、 , zbclkykyzxckyaxkF 图 3 可以写出 F 的最优解的解析表达式，也可以用数值求解的方法得到比较精确的结果。 两种极端情形：当权重取为 1:1:1 时， P 点坐标为 (6.7310,0.1409)， Q点坐标为 (15.0000,7.2839)，最小费用为 252.8104 万元 。 当权重取为 1:0:0 时， P 点坐标为 (6.7424,0.1327)， Q点坐标为 (15.0000, 7.2659)，最小费用为 249.4422 万元 。 最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于 249.4422 万元和 252.8104 万元之间。 注：评阅时， (2)、 (3)两小题得到最优解的解析表达式比仅有数值结果为好。
