1、 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案 第 1 页 共 5 页 2015 年 全国 高中数学联赛 江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共 10 小题，满分 70 分，每小题 7 分要求直接将答案写在横线上） 1已知点 P(4， 1)在函数 f(x) loga(x b) (b 0)的图象上，则 ab 的最大值是 解： 由题意知， loga(4 b) 1，即 a b 4，且 a 0， a 1， b 0，从而 ab (a b)24 4， 当 a b 2 时， ab 的最大值是 4 2函数 f(x) 3sin(2x 4)在 x 4324 处的 值是 解： 2x 4 4312 4
2、4012 103 2 43 ，所以 f(4324 ) 3sin43 32 3若不等式 |ax 1| 3 的 解集为 x | 2 x 1，则实数 a 的 值是 解：设 函数 f(x) |ax 1|， 则 f( 2) f(1) 3，故 a 2 4第一只口袋里有 3 个白球、 7 个红球、 15 个黄球，第二只口袋里有 10 个白球、 6 个红球、9 个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 解：有两类情况：同为白球的概率是 3 1025 25 30625，同为红球的概率是 7 625 25 42625，所求的概率是 72625 5在平面直角坐标系 xOy 中， 设 焦距为 2c 的
3、 椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)与 椭圆x2b2y2c2 1 有相同的离心率 e，则 e 的值是 解：若 c b，则 c2a2c2 b2c2 ，得 a b，矛盾，因此 c b，且有c2a2b2 c2b2 ，解得 e 1 52 6如图，在 长方体 ABCD A1B1C1D1 中 ，对角线 B1D 与 平面 A1BC1 交 于 E 点记四棱锥 EABCD 的 体积 为 V1， 长方体 ABCD A1B1C1D1 的 体积 为 V2，则 V1V2的值是 A B C D E （第 6 题图） A1 B1 C1 D1 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案 第 2 页 共 5 页 解：记
4、四棱锥 B1 ABCD 的 体积 为 V 如图， DE 23DB1， 从而 V1 23V又 V 13V2，所以 V1V2 29 7 若实数集合 A 31x， 65y与 B 5xy， 403仅有一个公共元素，则集合 A B 中所有元素之积 的值是 解：因为 31x 65y 5xy 403 2015xy 若 xy 0，则集合 A 和集合 B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以 xy 0，从而 A B 中所有元素之积的值为 0 8设向量 a (cos， sin)， b ( sin， cos)向量 x1， x2， x7 中有 3 个为 a，其余为 b；向量 y1， y2， y7 中有 2
5、 个为 a，其余为 b则 7i=1xiyi 的 可能取值 中 最小 的 为 解：因为 a a b b 1， a b 0，所以 7i=1xiyi 的最小值为 2 9在 3 3 的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等如图，三个方格中的数分别为 1， 2， 2015，则幻方中 其余 6 个数之和为 解：如图，设幻方正中间的数为 x，则由题意知 a 2012，从而对角线上三个数的和为 x 2011 因此 b x 2014， c 4026， d 2013， e x 2014 由 b e x x 2011，解得 x 20112 这 9 个数的和为 3 ( 20112 2011) 180
6、992 ， 所以幻方中其余 6 个数之和为 180992 2018 221352 10 在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是满足 x 0， y 0， x y x y 19 的点 (x， y)形成的区域 （ 其中 x是不超过 x 的最大整数 ） 则区域 D 中整点的个数为 解：区域 D 中整点的个数为 1 2 3 10 55 （ 第 9 题图） 1 2 2015 （ 第 9 题图） e c d a b 1 2 2015 x （第 6 题图） A B C D E O A1 B1 C1 D1 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案 第 3 页 共 5 页 二、解答题（本大题 共 4 小题，
7、每小题 20 分，共 80 分） 11在等比数列 an中， a2 2， q 是公比记 Sn 为 an的前 n 项和， Tn 为数列 a2n的前 n 项和若S2n 2Tn，求 q 的值 解：若 q 1，则 an a2 2， a2n 4，则 S2n 4n， Tn 4n， S2n 2Tn 若 q 1，则 an 2 ( 1)n， a2n 4，则 S2n 0， Tn 4n， S2n 2Tn 5 分 若 q 1，则 an 2qn 2， a2n 4q2n 4，从而 S2n2q (1 q2n)1 q ， Tn4q2 (1 q2n)1 q2 15 分 由 S2n 2Tn，则 4q(1 q) 1， q2 q 4
8、0，解得 q 1 172 综上， q 的值为 1 172 和 1 172 20 分 12 如图， ABC 中， AB AC，点 D、 E 分别在 边 AB、 AC 上，且 BD CE BAC 的外角平分线与 ADE 的 外接圆交于 A、 P 两点 求证： A、 P、 B、 C 四点共圆 证明： 如图，连结 PD， PE， PC 因为 四边形 APDE 是圆内接四边形 , 所以 PA D PED， PA F PDE 又因为 AP 是 BAC 的外角平分线 ， 所以 PA D PA F， 从而 PED PDE， 故 PD PE 10 分 又 ADP AEP， 所以 BDP CEP 又因为 BD C
9、E，所以 BDP CEP，从而 PBD PCE，即 PBA PCA， A B C D P (第 12 题图 ) E A B C D P (第 12 题图 ) E F 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案 第 4 页 共 5 页 所以 A、 P、 B、 C 四点共圆 10 分 13如图，在平面 直角坐标系 xOy 中 ， 圆 O1、圆 O2 都 与 直线 l： y kx 及 x 轴正半轴 相切 若两圆 的 半径之积为 2，两圆的一个交点 为 P(2， 2)，求 直线 l 的 方程 解 ： 由题意 ， 圆心 O1， O2 都 在 x 轴 与直线 l 的 角平分线上 若 直线 l 的 斜率
10、k tan， 设 t tan2， 则 k 2t1 t2 圆心 O1， O2 在 直线 y tx 上 ， 可设 O1(m， mt)， O2(n， nt) 交点 P(2， 2)在 第一象限， m， n， t 0 4 分 所以 O1： (x m)2+(y mt)2=(mt)2， O1： (x n)2+(y nt)2=(nt)2， 所以 (2 m)2 (2 mt)2 (mt)2，(2 n)2 (2 nt)2 (nt)2， 即 m2 (4 4t)m 8 0，n2 (4 4t)n 8 0， 8 分 所以 m， n 是 方程 X2 (4+4t)X 8=0 的 两根 ， mn 8 由 半径的积 (mt)(nt
11、) 2， 得 t2 14，故 t 12 16 分 所以 k 2t1 t2 11 14 43， 直线 l： y 43x 20 分 14将 正 十 一 边形的 k 个 顶点 染 红色，其余顶点染蓝色 （ 1） 当 k 2 时， 求 顶点 均为 蓝色 的等腰三角形 的个数； （ 2） k 取 何值 时 ，三个顶点同色 (同红色 或 同 蓝色 )的 等腰三角形 个数 最少 ？ 并说明理由 解： （ 1） 设 正十 一 边形的顶点 A1， A2， A3， ， A11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形 以 这些点为顶点的等腰三角形个数可以 如此 计算：以 Ai(i 1， 2， 3， ， 11
12、)为 顶角顶点的等腰三角形有 11 12 5 个 ，这些 三角形均不是等边三角形，即当 j i 时 ， 以 Aj 为 顶角顶点的等腰三角形 都 不是上述等腰三角形 故 所有 的等腰三角形共有 5 11 55 个 5 分 当 k 2 时， 设 其中 Am， An 染成红色 ， 其余染成蓝色 以 Am 为顶角 顶点的 等腰 三角形有 5 个 ， 以 Am 为底角 顶点的 等腰 三角形有 10 个；同时 以 Am， An 为 顶点的 等腰 三角形有 3 个 ， 这些等腰 三角形的 顶点 不同色，且共有 (5 10)x O y O1 l (第 13题图 ) O2 P 2015 年全国高中数学联赛江苏赛
13、区初赛答案 第 5 页 共 5 页 2 3 27 个 注意 到仅有这些等腰三角形的 三个顶点不同 蓝色 ，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有 55 27 28 个 10 分 （ 2） 若 11 个 顶点中 k 个 染红色， 其余 11 k 个 染蓝色 则 这些 顶点间连线段 (边 或对角线 )中 ，两端点染红色的有 k(k 1)2 条 ，两端点染蓝色的有 (11 k)(10 k)2 条 ， 两端点 染一红一蓝的有 k(11 k)条 并且 每条 连线段必属于且仅属于 3 个 等腰三角形 把 等腰三角形分 4 类 ：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有 x1 个 ，三个顶点 均为 蓝 色的等腰三
14、角形有 x2 个，两个 顶点为红色 一个顶点为 蓝色的等腰三角形有 x3 个 ， 两个 顶点为 蓝 色 一个顶点为红 色的等腰三角形有 x4 个 ， 则按 顶点颜色 计算连线段 ， 3x1 x3 3 k(k 1)2 ， 3x2 x4 3 (11 k)(10 k)2 ， 2x3 2x4 3 k(11 k)， 由 得 3(x1 x2) x3 x4 32k(k 1) (11 k)(10 k)， 用 代入 得 x1 x2 12 k(k 1) (11 k)(10 k) k(11 k) 12(3k2 33k 110) 当 k 5 或 6 时 ， (x1 x2)min 12(5 4 6 5 5 6) 10 即顶点 同色 的 等腰三角形最少有 10 个 ，此时 k 5 或 6 20 分
