立体几何存在性问题.doc

1、试卷第 1 页，总 3 页立体几何存在性问题未命名一、解答题1在多面体 中，底面 是梯形，四边形 是正方形， ， ，面ABCDEF ABCD ADEF AB/DCCDAD面 ， . .ABCD ADEFAB=AD=1CD=2（1）求证：平面 平面 ；EBC EBD（2）设 为线段 上一点， ，试问在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，M EC 3EM=EC BC T MT/BDE若存在，试指出点 的位置；若不存在，说明理由?T（3）在（2）的条件下，求点 到平面 的距离.A MBC2如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，PABCD ABCD AB/CDABAD，侧面 是等腰直角三角形，

2、 ，平面 平面 ，点AB=2CD=2AD=4 PAB PA=PB PAB ABCD分别是棱 上的点，平面 平面E,F AB,PB CEF/PAD（）确定点 的位置，并说明理由；E,F（）求三棱锥 的体积 .FDCE3如图，在长方体 中， ，点 在棱 上， ，ABCDA1B1C1D1 AB=AD=6,AA1=23 E BC CE=2点 为棱 的中点，过 的平面 与棱 交于 ，与棱 交于 ，且四边形F C1D1 E,F A1D1 G AB H为菱形.EFGH(1)证明：平面 平面 ；A1G1E BDD1B1(2)确定点 的具体位置（不需说明理由） ,并求四棱锥 的体积.G,H BEFGH试卷第 2

3、 页，总 3 页4如图 2，已知在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为矩形.PABCD PAD ABCD ABCD（1）求证：平面 平面 ；PAB PAD（2）若 ，试求点 到平面 的距离.PA=PD=AB=2,AD=2x(0x 2),VPABCD=433 C PBD5如图，三棱锥 的三条侧棱两两垂直， ， ， 分别是棱 ， 的中BACD BC=BD=2 E F CDAD点（1）证明：平面 平面 ；ABE ACD（2）若四面体 的体积为 ，求线段 的长ABEF12 AE6如图，在四棱锥 中， ， ， ， .PABCDAD/BCAB=AD=2BC=2 PB=PDPA= 3（1 ）求证： ；PABD

4、（2 ）若 ， ， 为 的中点 PAABBD=22 E PA（i）过点 作一直线 与 平行，在图中画出直线 并说明理由；C l BE l（ii）求平面 将三棱锥 分成的两部分体积的比BEC PACD7如图 1 所示，在梯形 中， / ，且 ， ，分别延长两腰交于BCDEDEBC DE=12BCC=90点 ，点 为线段 上的一点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图A F CD ADEDE A1DE A1FCD2 所示试卷第 3 页，总 3 页（1）求证： ；A1FBE（2）若 ， ，四棱锥 的体积为 ，求四棱锥 的表面积.BC=6 AC=8 A1BCDE 123 A1BCDE8如图，在四棱锥 中

5、，底面 为矩形，平面 平面 ， PABCD ABCD PBC ABCDPBPD（1）证明：平面 平面 ；PAB PCD（2）若 ， 为棱 的中点， ， ，求四面体 的体积PB=PCE CD PEA=90BC=2 APED9如图，在梯形 中， , ， ，四边形 是矩形，ABCDABCDAD=DC=CB=a ABC=60 ACFE且平面 平面 ，点 在线段 上.ACFE ABCDM EF（1）求证： 平面 ；BC ACFE（2）当 为何值时， 平面 ？证明你的结论.EM AM BDF10 10如图，已知菱形 的对角线 交于点 ，点 为的 中点.将三角形AECD AC, DE F E AB沿线段 折

6、起到 的位置，如图 2 所示.ADE DE PDE图 1 图 2（）求证： 平面 ；DE PCF（）证明： 平面 平面 ；PBC PCF（）在线段 上是否分别存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请指出PD,BC M,N CFM/PEN点 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.M,N本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 9 页参考答案1 （1）见解析.（2）见解析.（3） .66【解析】分析：（1）在梯形 中， 过点作 作 于 ，可得 ，所以 ，由ABCD B BHCDH DBC=90 BCBD面 面 ，可得出 ，利用线面垂直的判定定理得 平面 ,进而可得平面A

7、BCD ADEF EDBC BC EBD平面 ；（2）在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，先证明 与 相似，EBC EBD BC T 3BT=BE MT CMTCEB于是得 ，由线面平行的判定定理可得结果； （3）点 到平面 的距离就是点 到平面MT/EB A MBC A的距离，设 到平面 的距离为 ，利用体积相等可得， ，解得EBC A EBC h1312h=1312 2 3.h=66详解：（1）因为面 面 ，面 面 ， ，所以 面 ，ABCD ADEFABCD ADEF=ADEDAD ED ABCD.EDBC故四边形 是正方形，所以 .ABHD ADB=45在 中， ， . ，BCHBH=C

8、H=1 BCH=45BC= 2 ， .BDC=45DBC=90BCBD因为 ， 平面 ， 平面 .BDED=DBD EBDED EBD 平面 ,BC EBD平面 ，平面 平面 .BC EBC EBC EBD（2）在线段 上存在点 ，使得 平面BC T MT/BDE在线段 上取点 ，使得 ，连接 .BC T 3BT=BE MT在 中， 因为 ，所以 与 相似，所以EBCBTBC=EMEC=13 CMTCEB MT/EB又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .MT BDEEB BDE MT/BDE（3）点 到平面 的距离就是点 到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，利用同角A MBC A EBC A

9、 EBC h相等可得， ，可得 .1312h=1312 2 3 h=66本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 9 页点睛：证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.2 （ ）见解析（） VFDCE=23【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到 ， ，根据平行关系和长度CE/ADEF/PA关系得到点 是 的中点，点 是 的

10、中点；（2） ，因为 ，所以E AB F PB VF-DCE=12VP-DEC PA=PB,AE=EB，进而求得体积 .PEAB详解：（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，CEF/PAD CEF ABCD=CE平面 平面 ，所以 ，又因为 ，PAD ABCD=AD CE/AD AB/DC所以四边形 是平行四边形，所以 ，AECD DC=AE=12AB即点 是 的中点E AB因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，CEF/PAD CEF PAB=EF PAD PAB=PA所以 ，又因为点 是 的中点，所以点 是 的中点，EF/PA E AB F PB综上： 分别是 的中点；E,F AB,P

11、B（）因为 ，所以 ，又因为平面 平面 ，PA=PB,AE=EB PEAB PAB ABCD所以 平面 ；又因为 ，PE ABCD AB/CD,ABAD所以 VF-DCE=12VP-DEC=16SDECPE=1612222=23点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.3 （ 1）见解析（2） 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，G A1D1 A1 H AB 83

12、【解析】分析：(1)要证平面 平面 ，即证 平面 ，即证A1C1E BDD1B1 A1C1 BDD1B1， ； (2) 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，利用等体积法A1C1B1D1A1C1BB1 G A1D1 A1 H AB即可求得结果.VB-EFGH=2VB-EFH=2VF-BEH本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 9 页详解：(1)在矩形 中, ,A1B1C1D1 AB=AD,A1B1=A1D1.A1C1B1D1又 平面 ， .BB1 A1B1C1D1 BB1A1C1, 平面 .BB1B1D1=B1A1C1 BDD1B1又 平面 , 平面 平面

13、.A1C1 A1C1E A1C1E BDD1B1(2) 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，G A1D1 A1 H AB，所以 的面积 .HB=3,BE=4 HBE SHBE=12HBBE=1243=6于是四棱锥 的体积B-EFGH.VB-EFGH=2VB-EFH=2VF-BEH=213sHBEBB1=213623=83点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何

14、图形(或几何体) 的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥) 的高，而通过直接计算得到高的数值4 （ 1）见解析；（2）2217【解析】分析：（1）由平面 平面 ，根据面面垂直的性质可得 平面 ，由面面PAD ABCD AB PAD垂直的判定定理可得结论；（2）取 AD 的中点 O，则 平面 ，由PO ABCD， PO= 4-x2，从而利用棱锥的体积公式可得结果.VP-ABCD=13SABCD PO=13 4x 4-x2=433x=1详解：（1）证明： 平面 PAD平

15、面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCD=AD， ABAD AB平面 PADAB平面 PAB平面 PAB平面 PAD（2）解：取 AD 的中点 O，则 ，PO平面 ABCD，且 PO= 4-x2，则 VP-ABCD=13SABCD PO=13 4x 4-x2=433x=1或 3（舍去） AD=2又易知 ，PB=BD=22， 且 PD=2SPBD= 7所以 ，解出 VC-PBD=13SPBD h=137 h=VP-BCD=12VP-ABCD=233 h=2217点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案

16、第 4 页，总 9 页之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的(a|b,ab) (a,|a)性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.5 (1)证明见解析；(2) .11【解析】分析：（1）推导出 BECD，ABCD，从而 CD平面 ABE，由此能证明平面 ABE平面 ACD；（2）取 BD 的中点 G，连接 EG，则 EGBC推导出 BC平面 ABD，从而 EG平面 ABD，由此能求出线段 AE 的长详解：

17、（1）证明：因为 ， 是棱 的中点，所以 BC=BDE CD BECD又三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ，B-ACD BCBD=B所以 平面 ，则 AB BCD ABCD因为 ，所以 平面 ，ABBE=B CD ABE又 平面 ，所以平面 平面 CD ACD ABE ACD（2）解：取 的中点 ，连接 ，BD G EG则 EG/BC易证 平面 ，BC ABD从而 平面 ，EG ABD所以四面体 的体积为 ，ABEF1312AB12BDEG=AB6=12则 ，AB=3在 中， ， RtABEBE= 2 AE= 32+2= 11点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面

18、、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.6 （ 1）见解析；（2）见解析，13【解析】分析: (1) 取 中点 ,连接 , ,先证明 面 ,再证明 .(2) (i)取 中点BD O AOPO BD PAO PABD PD,连接 , ,则 ， 即为所作直线 ,证明四边形 为平行四边形即得证. （ii）先分别F CFEF CF/BECF l BCFE本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 9 页计算出两部分的体积，再求它们的比.详解：（1）证明：(1)取 中点 ,连接 , BD O AOP

19、O, 为 中点， AB=ADO BD AOBD又 , 为 中点，PB=PDO BD POBD又 ， 面 AOPO=O BD PAO又 面 ，PA PAOPABD(2)(i)取 中点 ,连接 , ,则 ， 即为所作直线 ,PD F CFEF CF/BECF l理由如下: 在 中 、 分别为 、 中点 PADE F PAPD,且 EF/ADEF=12AD=1又 , AD/BCBC=12AD=1且 ， 四边形 为平行四边形. EF/BCEF=BC BCFECF/BE(ii) , , ， 面 PAABPABDABBD=B PA ABD又在 中, , ,ABDAB=AD=2BD=22AB2+AD2=BD

20、2ABAD又 ,PAABPAAD=A面AB PADVP-ACD=131222 3=233VC-AEFD=1312(1+2)322=32， .VP-ECF=233- 32=36 VP-ECFVC-AEFD=3632=13：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在点睛考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法.7 （ 1）见解析；（2） 36+43+239【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的

21、判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求解本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 9 页详解：（1）因为 C90，即 AC BC，且 DE BC，所以 DEAC，则 DEDC，DEDA 1，又因为 DC DA1 D，所以 DE平面 A1DC.因为 A1F平面 A1DC，所以 DEA1F. 又因为 A1F CD， CD DE D，所以 A1F平面 BCDE， 又因为 BE 平面 BCDE，所以 A1FBE （2）由已知 DE BC，且 DE BC，得 D， E 分别为 AC， AB 的中点，在 Rt ABC 中，

22、，则 A1E EB5， A1D DC4，AB= 62+82=10则梯形 BCDE 的面积 S1 (63)4 18 ， 四棱锥 A1BCDE 的体积为 V 18A1F12 ，即 A1F2 ， 在 Rt A1DF 中， ，即 F 是 CD 的中点，DF= 42-(23)2=2所以 A1CA 1D4， 因为 DE BC， DE平面 A1DC，所以 BC平面 A1DC，所以 BCA1C，所以 ，A1B= 62+42=213在等腰A 1BE 中，底边 A1B 上的高为 ， 52-( 13)2=23所以四棱锥 A1BCDE 的表面积为 SS 1 SA1DESA1DCSA1BCSA1BE18 34 42 64 2 2 36 4 2 点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，意在考查学生的空间想象能力和数学转化能力8 （ 1）见解析；（2）23【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到 平面 ，即 ，进而得到平面CD PBCCDPB平面 ,(2)由等体积法求解， 。PAB PCD VA-PED=VP-AED详解：（1）证明：四边形 是矩形，CDBC .ABCD平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCD=BC，CD 平面 ABCD，