1、 复变函数与积分变换课程 自学辅导资料 二 八年四月 复变函数与积分变换课程自学进度表 教材： 复变函数与积分变换 教材编者： 徐大申等 出版社： 中国电力 出版社 出版时间： 2005 年 8 月 周次 学习内容 习题作业 测验作业 学时 自学重点、难点、基本要求 一 第一章 1 2 习题 1.1:： 2,4,5 习题 1.2： 1 自测练习一： 1，2， 6， 7 8 复变函数的重点是：解析函数的概念、 C R条件、单复闭路的柯西定理、柯西积分公 式、高阶导数公式、泰勒级数、洛朗级数、孤立基点及其留数计算、保角映射的概念 、 分 式 线 性 映 射 及nt zwew , 所构成的映射。难点
2、是：复闭路柯西定理、高阶导数公式、洛朗级数、保角映射。 复变函数是以复数代替实数与实微积分平行建立微积分。其定义、公式、结论与实微积分一致，但往往存在条件不一样。学习时要注意与实微积分联系、对比。 积分变换的重点是：付氏积分、付氏变换及其性质、卷积定理、积分变换的应用。 难点是：广义付氏变换的概念、拉氏变换、付氏变换性质的应用。 积分变换是一种数学工具、理 论推导可要求低一些，着重像与原像的对应关系、性质及运用。 二 第一章 3 5 习题 1.3： 1， 2 习题 1.4： 1， 2 习题 1.5： 1， 4 自测练习一： 8 总习题一： 1（ 3）， 6， 9 8 三 第二章 1 2 习题
3、2.1： 2， 3 习题 2.2： 1， 2（ 1）（ 2）（ 3） 总习题二： 1 自测练习二： 1，2， 3 8 四 第二章 3 习题 2.3： 1， 2， 4，5 总习题二： 3， 4 自测练习二： 4 8 五 第三章 1 2 习题 3.1： 1， 2， 3 习题 3.2： 1， 3 总习题三： 1 自测练习三： 1，2 8 六 第三章 3 4 习题 3.3： 1， 2 习题 3.4： 1， 2， 3 总习题三： 3， 5 自测练习三： 3，4， 5， 6 8 七 第四章 1 2 习题 4.1： 4， 5 习题 4.2： 3， 4 总习题四： 1， 3 自测练习四： 1 8 八 第四章
4、3 习题 4.3： 总习题四： 4， 5 自测练习四： 4，5 8 九 第五章 1 2 习题 5.1： 1 习题 5.2： 1， 2（ 1）（ 2）， 3（ 1）（ 2） 总习题五： 1， 3（ 1）（ 3）（ 5），4 自测练习四： 1，2， 3（ 1）（ 2） 8 十 第五章 3 习题 5.3： 1（ 1）（ 4），2（ 1） （ 3） 总习题五： 5（ 1）（ 2）， 6（ 1）（ 4） 自测练习五： 3（ 3）（ 4）（ 5） 8 十一 第六章 1 3 习题 6.1： 1， 3 习题 6.2： 1， 2 习题 6.3： 1， 4（ 1）（ 2）， 5 总习题六： 4， 5 自测练习六：
5、 1，2 10 十二 第六章 4 习题 6.4： 1（ 3） 总习题六： 7（ 1）（ 2） 10 十三 第七章 7.1 习题 7.1： 1， 2（ 1）（ 2）， 3（ 1） 总习题七： 1 7 十四 第七章 7.2 习题 7.3： 1， 2， 3，4， 5 自测练习七： 2 总习题七： 2 7 十五 第七 章 7.3 习题 7.3： 1， 2， 3，4， 5 自测练习七： 1 7 十六 第七章 7.4 习题 7.4： 2 总习题七： 3 自测练习七： 3 7 十七 第八章 8.1 习题 8.1： 1， 3 总习题八： 1 自测练习八： 1 7 十八 第八章 8.2 习题 8.2： 1， 2
6、， 3，4， 5 总习题八： 2， 3 自测练习八： 2，3 7 十九 第八章 8.3 8.4 习题 8.3： 1（ 1）（ 3）（ 5）（ 7）（ 9） 习题 8.4： 1（ 1）（ 3），2（ 1） 总习题八： 4， 5 自测练习八： 4 7 二十 第八章 8.5 习题 8.5： 1（ 1）（ 3），2 总习题八： 6 自测练习八： 5，6 8 注：期中（第 10 周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。总成绩中，作业占 15 分。 参考教材： 1 复变函数（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社， 1996 2 复变函数与
7、积分变换（第二版），华中科技大学数学系编，北京，高等教育出版社， 2003 复变函数与积分变换 课程自学指导书 第一章 复数及复变函数 一、 本章的核心、重点及前后联系 （一 ） 本章的核心 复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义 。 （二） 本章重点 复数及运算，区域，复变函数及映射 （三） 本章前后联系 本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。是后续各章的基础。 二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念 复数及运算，区域，复变函数及映射 （二） 本章难点及
8、学习方法指导 1. 复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的 基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。学习时要注意下边几点： （ 1） 正确理解辅角的多值性，见（ 1-5）式； （ 2） 熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（ 2-3）和（ 2-4）式； （ 3） 由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的几何问题，见例 1.3 及相关习题； （ 4） 了解无穷远点和扩充复平面的概念，它们是为了用球面上的点来表示复数而引入。无穷远点和无穷大 这个复数相对应。这里的无穷大 是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数； 2. 复变函
9、数及其极限、连续等概念是高等数学中相应概念的推广，它们有相似之处，又有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。 （ 1） 平面曲线（特别是简单闭曲线、光滑或按段光滑曲线）和平面区域（包括 单连通域与多连通域）是复变函数理论的几何基础，要求熟悉这些概念，会用复数表达式表示一些常见平面曲线与区域，或者根据给定的表达式画出它所表示的平面曲线或区域； （ 2） 认真体会复变函数的定义与一元实变函数的定义的异同； 复变函数极限的定义与一元实变函数极限定 义形式上相似，但实质却有很大差异，注意进行比较；复变函数有极限的等价条件是其实部和虚部同时极限存在；复变函数连续等价于其实部和虚部同时连续。从而将研究复
10、变函数的极限、连续等问题转化为研究两个二元实变函数的相应问题。 三、典型例题分析 例 1 求复数 iz 1 的三角表示式与指数表示式。 解：由于 ,411,211022 a r c tgz因此 .2)4s in4( c o s2 4 ieiz 下边的例子表明，可以由给定的复数形式的方程（或不等式）确定它所表示的平面图形。 例 2 试 证： z 平面上以原点为心， R 为半径的圆周的方程为 Rz 。 证：解析几何中此圆的方程为： .222 Ryx 令 iyxz ，将 i zzyzzx 2,2 代入，由公式（ 1-1-2）化简得 Rz 例 3 化简 .)s in)(c o s1( )s in)(c
11、 o s31( ii ii 解 由公式（ 1-2-4），可用三角形式或指数形式化简。 我们采用指数形式。 由于 ,21,231 )4(),3( ii eiei 所以 )122()4()3(222)s i n) ( c o s1()s i n) ( c o s31( iiiii eeeeeiiii 例 4 计算 为正整数）nii nn ()2 31()2 31( 1313 解 由于 34s in34c o s23132s in32c o s231iiii从而 1231231)231)(4s i n4( c o s)231)(2s i n2( c o s)231()231()231()231()2
12、31()231(331313 iiininininiiiiiinnnn例 5 计算 .83 解 因为 )s in(c o s88 i ，故 )2,1,0()32s in32( c o s88 33kkik 即 ii 31)3s in3( c o s8)8( 303 ； 同理可得 2)s in( c o s8)8( 313 i； .31)35s in35( c o s8)8( 323 ii 四、思考题、习题及习题解答 （一） 思考题、习题 1。 求下列复数 z 的实部、虚部、共轭复数、模与辅角。 （ 1） ;231i （ 2） ;131 iii （ 3） ;2 )52)(43( i ii （ 4
13、） .4 218 iii 2 一个复数乘以 i ，它的模和辅角一样何变化？ 3如果多项式 nn zazazaazP 2210)( 的系数是实数，证明： .)()( zPzP 4。 试求下列各式的 x 与 y （ yx, 都是实数）。 （ 1） ;31)53()21( iyixi （ 2） ;1)(56)( 2 iyxyxiiyx （ 3） ibaiyx 。 （二） 习题解答（ 只解答难题 ） 1 （ 1） ).32(a r g;131;132133;132Im;133Re a r c tgzzizzz （ 2） ).35(a r g;234;2523;25Im;23Re a r c tgzzi
14、zzz （ 3） .)726(a r g;2925;1327;13Im;27Re a r c tgzzizzz （ 4） .3a r g;10;31;3Im;1Re a r c tgzzizzz 2 模不变，辅角减少2。 4 （ 1） ;115,114 yx (2) ;21,32,1,22211 yxyx（ 3） ;2,2 2222 abayabax 其中：若 0b ，取同号；若 0b ，取异号。 第二章 解析函数 一、 本章的核心、重点及前后联系 （一） 本章的核心 理解复变函数的导数及解析的概念；掌握并会用函数解析的充要条件；熟悉初等函数的定义、主要性质及求导公式。 （二） 本章重点 复变
15、函数导数、解析的概念，函数解析的充要条件，解析函数的性质，初等函数的定义及性质 （三） 本章前后联系 解析函数是本课 程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用本章先引入复变函数的导数概念，然后讨论解析函数，介绍解析函数的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的，接着介绍几个初等函数，这些初等函数是最常用的函数，因而特别重要 二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念 复变函数导数、解析的概念，函数解析的充要条件，解析函数的性质，初等函数的定义及性质 （二） 本章难点及学习方法指导 解析函数是复变函数的主要研究对象。
16、本章的 重点是正确理解复变函数的导数与解析函数等基本概念，掌握判断复变函数可导与解析的方法，熟悉复变量初等函数的定义和主要性质特别要注意在复数范围内，实变初等函数的哪些性质不再成立，以及显现出哪些在实数范围内所没有的性质 . 本章学习重点难点如下： 解析函数具有很好的性质。 CR 条件是判断函数可微和解析的主要条件，函数 ()fz在区域 D 内可微，等价于函数函数 ()fz在 D 内解析；但 ()fz在一点 0z 可微，却不等于 ()fz在 0z 解析 2要清楚地认识复变量初等函数其实是相应的实变量初等函数在复平面上的推广，其关键所在是推广后的函数所必须具备的解析性。如幂函数、指数函数、正余弦
17、函数在复平面上 解析；根式函数及对数函数在单值分支 arg z 内连续且解析等。 要注意每一个复变初等函数的基本特征，如周期性及一些运算法则对函数 nz 及 Lnz 的多值性，单值分支的取法，特别是主值如何作为普通单值函数来运用等问题，要有清楚的认识 三、典型例题分析 例 1 讨论下列函数的可导性与解析性 (1) zw Re (2) 2zw (3) )s in(c o s)( yiyezf x 解 (1) 因为 0, vxu ,且 0,0,0,1 yvxvyuxu, 可见 C-R 方程不满足 ,所以 zw Re 在复平面内处处不可导 ,从而也处处不解析 . (2) 222 yxzw ,所以 0
18、,22 vyxu 且 0,0,2,2 yvxvyyuxxu, 可见 C-R 方程只在点 (0,0)成立 .由定理 2.1 知该函数在 0z 处可导 ,且有 0)0( f ,对于其他 0z 的点 ,这个函数不可导 ,所以这个函数在 0z 处不解析 .从而在复平面上处处不解析 . (3)因为 yevyeu xx s in,c o s ,且 yeyvyexvyeyuyexu xxxx c o s,s i n,s i n,c o s , 从而 C-R 方程满足 ,并且由于上 面四个一阶偏导数均连续 ,所以 )(zf 在复平面内处处可导 ,故也处处解析 .从而有 )()s in( c o s)( zfy
19、iyeyvixuzf x 例 2 求 n(2 3)Li 解 因为 32 3 1 3 , a r g ( 2 3 ) a r c t a n2ii ， 所以 13( 2 3 ) l n 1 3 ( a r g t a n 2 ) ( 0 , 1 , 2 , )22L n i i k k 例 3 计算 ie 43 的值 . 解 根据指数函数定义算出 ie43 = 3 (cos sin )44ei = 3 22()ei = 33112222e e i 四、思考题、习题及习题解答 （一） 思考题、习题 1 下列函数何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？ 1） 2()f z zz 2） 22()f
20、 z x iy 3) 3 2 2 3( ) 3 ( 3 )f z x x y i x y y 2.出下列方程的全部解 1） 13zei 2） ln 2iz 3） sin cos 0zz 3.求下列各式的值 1） cosi 2） (3 4)Ln i 3） 1(1 ) ii 4） 2i （二） 习题解答（ 只解答难题 ） （） 0z 可导； 0z 不可导，复平面上处处不解析； （） yx 上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析； （）复平面上处处解析 （） )(ln kiz 232 ； （） iz （） 4kz 3（） 21 ee （） ik )a r c ta n(ln 3425 （） )s i n ( l n) c o s ( l n kike k 2422422 24 （） )lns inln( c o s)( 2212 ie k
