1、 微积分学同步辅导 A 类题解答 第 24 页习题 4 解答（编写：金建华）1、填空题：（1） = 。xx30sin2lm解 （用到 ，据台劳公式） ；3468)2(1limili 33 x361sinxx（2）函数 在 是单调减少。23xy解 ，填0，2 或（0，2） ；0)(6 x（3）曲线 的拐点坐标是 。xey3解 ，xxxeey333)1()31()31(33 xexeyxx ，显然 在 两侧变号，故所求点20 y0 )32,(e（4）曲线 在区间 是凹的（即向上凹） 。6xeyx解 ， ， 为所求2 2xey),(xy（5）函数 的极大值是 。438)(xf解 在 两侧变号，左正右
2、负， 为极大)(122xx 22x值点，极大值为 。0)(f（6）函数 的 n 阶麦克劳林多项式是 。ax，解 在 的 Taylor 多项式由 的展式来写：eln xeanaxx l!1l!21（7）曲线 的斜渐近方程为 。)/ln(ey解 ，1l(imixxk exxeeybx 1/)ln(im/1l)ln(im)(lni)(li 故所求为 。e1微积分学同步辅导 A 类题解答 第 25 页（8）抛物线 在其顶点处的曲率为 。24xy解 ，顶点处 ， ， ， 。, 2x0)(y2)(yk（9） = 。201limxx解 .xxxxl 2lim4111lim42i （注，用 更好：11x )(
3、822o此时，分子= .）22 41)(18xxxx （10）若 （n 为正整数） ，则当 n 为奇数时， 在 = 处 )(lim00xf )(f0，当 n 为偶数时， 在 处 。f0x解 条件 分式最终为正（极限的保号性） 。于是 偶时， 极n)(,0)(xffx小； 奇时， 与 同号. 非极值.)(0xf0)(0xf（11）曲线 的拐点为 ，且该曲线在区间 上凹，在区间 下ey凹。解 ， ，令 ，得 。xx xxey20y2x当 时， ，曲线为凸的；当 时， ，曲线为凹的；拐点为2x0y )2,(e（12）若 在 上二阶可导，且 ，又知 在（0， ）内取得极大值，)(fa, )(xfM)(
4、xfa则必有 。 a解 设在点 极大，则 ，于是 ，0x0)(xf 00)()()( xfxfff ，0)( xyaf 于是 Maxafxf )()()( 000微积分学同步辅导 A 类题解答 第 26 页2选择题（1） 函数 和 ，在区间 上满足柯西定理的 等于（ ）1)(2xf 12)(gx,0（A） （B）1 （C） （D ）341解 （A ）22（2） 罗尔定理中的三个条件： 在 上连续，在 内可导，且 是)(xfba,ba, )(bfaf在 内至少存在一点 ，使得 成立的（ ） 。)(xfba,0)(f（A）必要条件 （ B）充分条件 （C）充要条件 （ D）既非充分也非必要条件。解
5、 充分条件 （B）（3）下列函数中在 上满足拉格朗定理条件的是（ ）e,1（A） （B） (C) (D) 。)ln(xxlnxln1)2ln(x解 在 满足（B）,e(4) 设 为未定型，则 存在是 也存在的（ ）0limx)(gf )(lim0xgfx0()lixfg（A）必要条件 （B）充要条件 （C）充分条件 （D）既非充分也非必要条解 充分 （C）（5）若在区间 函数 的 ，则 在 内是（ ）),(ba)(xf 0)(,xff )(xf,ba（A）单调减少，曲线上凹 （B）单调减少，曲线下凹（C）单调增加，曲线上凹 （D）单调增加，曲线下凹解 对应单增， 对应上凸，于是（D ）形为右图
6、。0f 0f（6）设 在（0，+ ）内可导，且 ，若 ，则在（ ）内有（ )(x0)(xf0)(f,）（A） （B）)(f )(f（C） 单调趋向于+ （D） 的符号不能确定x x解 注意在 处，函数可能不连续，选（D ）. 反例形为右图。0（7）设 =1，则在 处（ ）axlim2)(fax（A） 的导数存在，且 （B） 的导数不存在f 0)(f)(xf微积分学同步辅导 A 类题解答 第 27 页（C） 取得极小值 （D） 取得极大值)(xf )(xf解 极小值，同 1（10） ，选（C）（8）函数 有（ ）342y（A） 一个极大值和一个极小值 （B）两个极大值（C）两个极小值 （D） 一
7、个极小值，无极大值解 ， 一个极小值（D ）图形如右 )(3xy（9）设 在（ - ）上严格单调减少， 在 处有极值，则（ ）g, )(xf0（A） 在 处有极小值)(xf0（B） 在 处有极大值（C） 在 处有最小值)(xfg0（D） 在 处既无极大值，也无最小值解 ，故为极小值.（A）)()()(00xfgfxff （10）曲线 （ ）ey1（A）有一个拐点 （B）有两个拐点（C）有三个拐点 （D）无拐点解 ，xxeey2)1(，xxxxx exe 322332 )1()1()(1)()( 它在 两侧变号，但 为无定义点，故无拐点（D）1（11）设 在闭区间 上连续，在开区间（-1，1）上
8、可导，且 ，)(xf, 0)(,)(fMxf则必有（ ）（A） （B）Mf)( xf)(（C） （D）x解 选（C）1)()0() Mxfff （12）若 ，则 、 、 的大小关系为（ ）x12)(f微积分学同步辅导 A 类题解答 第 28 页（A） )1(2)1(2fff（B） （C） )()(fff（D） 2121解 ，故 选（C）ff0 )2()1()( ffff （13）设 有二阶连续导数，且 =1，则（ ）)(xf xflim,0（A） 的 极 大 值是0f（B） 的 极 小 值是 )(x（C） 的 拐 点） 是 曲 线，（ )(xfyf（D） 的 拐 点） 也 不 是 曲 线，的
9、极 值 ， （不 是 )(0)()0( xfyx 解 与 同号，故推出 .结合 ，选（B）fxf1)(xf 0f（14）曲线 的渐近线有（ ）2/1xey)2(1arctnx（A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条解 时， ，故得一条垂直渐近线 ； 时 ，非垂0x1xarctn(*)2直渐近线，类似 也不是，再 时， ，得水平渐近线。选（B）x4y（15）设函数 （ ）为为为 )()(00fxf（A） （B）0 0)(xf（C） 或 不存在 （D） 不存在)(xf)(0xf解 选（C）这是两种情形：微积分学同步辅导 A 类题解答 第 29 页3求下列极限：（1） （2）xxln)
10、1(lim xx1)ln(im0（3） （4）20/lixxe xli0解：使用洛必达法则要结合等式变形或等价变形等化简手段。（1）令 ， （分子化简用到： ，下题也是）t )(21)ln(2o21)(lim)1l(limln)(li 2001 tttttxtx（2） 21li)ln(i)1l(i 000 xxxx（3）令 ，化简到分式后使用洛必达法则2u= 310limxxe 0!5lim50lilimli 495050 uuuuu eee（4）令 ，化简后使用洛必达法则t= xexxxx 1lnipli)1(lni 0)1ln(00 1lnim)ln(i tttt e4已知 在 处有三阶导
11、数，且 ，求极限)(f 3)0(,2)(,0)(,)( ffff.320limxx解一：由 在 处 Taylor 公式，得： ，于是)(f0x )(!3)(32xoxf；1)(21limli 3320xofx解二：由洛必达法则也可以。注意 型条件的检验。0/xfxfxf xxx 2)(li613)(li)(lim020320 21)0(60)(lim610 fxffx（注：最后一步极限只可使用导数定义，决不可以用洛必达！因为三阶导函数可以不存在）5证明下列不等式微积分学同步辅导 A 类题解答 第 30 页（1）当 时，10xxex2解：设 ，原不等式)()(f0)(xf在(0,1)内单调减，且
12、4,2) 2efexx 0)(f在(0,1)内单调减，又由 ，故在(0,1) 内)(0(xff)(f xxeexx 11)122为（2）当 时， 解：作函数 )0(,()fexf= ，因 为 的唯一驻点，且当 时 ，当xef)(0)(xf 0x)(f时 时，故 是 的极大值，也是最大值 ， 则x1)(f 1(，因 即得 .)1(efxxxex1（3）当 时，52x解：令 ， )()(2F4)2ln()(xF因当 时， ，故 ，从而5x 016l2ln4l e0)(F1)5(Fx.)(2（4）比较 和 的大小1)l解：因 ，故问题在于比较 与 之大小，2)21ln(令 0ln)(,1ln)( f
13、xf则02x )2()(xfxf令 ，即得 .112)1l(6求下列函数的极值：（1） )(2)(xxf解： = 0)2(312 x0,2xf1微积分学同步辅导 A 类题解答 第 31 页在 处取得极小值，且06)(,6)(fxf fx4)0(f， 在 处取得极大值，且222(f（2） 2)13()(exexfx解： = . 1,0x)3()(2xefx， 在 处取得极小值，且极小值为)(2ef )(xf20f， 在 处取得极大值，且极大值为311 215)(e（3） 0,)(2xf解： )0(1limlilim220 fef xlarxx )()1()(0f在 处连续，从而 在 内处处连续.
14、fx), 0,1),ln(2)(xf在 处， 不可导，令)(f exf1)(x0,0 ),0(e1),(e)(f 不存在极大值 0极小值由上面的表可知， 的极大值为 ，极小值为 .)(xf 1)0(f ef2)1(7已知 有两个极值点 ，求 的极大值与极小值.92)(23baxf ,xxf解： 6由 从中解得 )2(042)(11baf 12,9ba即得 ， 923xx 06)(,8)(fxf在 处取得极大值，且)(f114在 处取得极小值，且 .)(,062xf 213)2(f微积分学同步辅导 A 类题解答 第 32 页8求 在 内最大值和最小值.2)(xef),(解： = .122 1,0
15、x， 02limlilim)(li 22 xxxxx eef 0lim)(li2xxef在 内最大值为 ，最小值为 0.)(,1,0fff),19求下列曲线的渐近线：（1） 23xy解： 为垂直渐近线.3limxx为水平渐近线.0,2y（2） 1xy解： 1limli1 xx为垂直渐近线， 为水平渐近线.y10研究方程 实根的个数.0lnAx解：令 ，则 =f)( 1ln)(xf e0x)1,ee),()(f 0极小值 eA1 )(lim,)(li0xfxfxx（1）若 ，则在 内方程无根，在 内方程有一根.A,0e),(e（2）若 ，则方程在 与 内各有一根./1)1,(（3）若 ，则极小值
16、 ，在 内 ，在 内 ，即eef,0e0)(xf),1(e0(xf方程只有一个实根.（4）若 ，则极小值 ，从而在 内 ，方程无实根.A1)1(f ),(fx3y30)1(.9xyxln10微积分学同步辅导 A 类题解答 第 33 页11设 满足 的实数，证明na,21 012)(321 na )cos(cos21 xxa在开区间 内至少有一个实根.)2,0(解：设 xnaxxaf )12si(13sinsi21 在 内满足 Rolle 定理条件：, 012(3)(,0)(1 nnaff ，使得 ， 即在 内有 满足)20()(f2x)cos(3cos1 naxa12设函数 在闭区间 上连续，
17、在开区间 内可微，试证存在 ，使)(fb, ,(ba),(,ba得 。2bff证：首先由拉格朗日中值定理，得 使 ，),(baabff)(其次针对 以及 在 上，由 Cauchy 中值定理知，存在 使xf2)x, ),(ba两式联手即得。()(2fab13设 在 上连续，在 内可导，且 .证明在 内至少存在一点 ，)(xf1,0)1,0(0)(f)1,(使 .)(f证：令 ，则 在 上满足 条件，则存在 ，使xF)(xF,ThR)1,0(即0)( )(1()0)1( ffff 14设 在 上连续，在 内可微，证明在 内至少存在一点 ，,xba,a,(ba,ba使得 .bffln)()(证：令 ，将 及 在 上应用柯西中值定理，则有xgl)(xg,即 ,1)(ln)( bafabf abfafln)()(f
