1、1指数增长方式对无标度网络幂律分布的影响摘 要：随机网络中的增长和择优连接特性是其顶点度服从幂律分布的重要原因。然而，在现实网络中存在多种不同的增长方式。基于择优连接和指数式增长，给出了无标度网络顶点度服从幂律分布的解析结果：p（k）k-r（r=2+1 且 0.50，x0，则区间0，t上的计数过程 N（t）服从泊松分布P（N（t）= k）=e-t，从而在每个时间单元上出现的节点数目 n 服从泊松分布 P（n=k）=e-。 在时刻 t，平均有 t 个节点被添加到网络中，则模型变为一个具有n0+t 个节点和 mt 条边的随机网络，整个网络的度之和为kj=2mt。将网络中的节点 i 按照其连通度 k
2、i 的大小重复 ki 次排成一个列表。例如，一个网络有 4 个节点，分别标记为 a、b、c、d，且其度4数分别为 2.1.2.3，网络共有 4 条边，则节点排成列表的形式为（a，a，b，c，c，d，d，d） 。处理的结果使得择优连接转化为等概率的均匀连接，所以新节点的每条边与老节点连接的概率为 p=。当t，p0，能够满足二项分布逼近泊松分布的条件：较大的 N，较小的 p，从而得到 =Np。对于适当的 t，存在 2mtn0+t，所以有N=2mt（n0+t） 。 根据二项分布逼近泊松分布得到 =NCmNpm（1-p）N-m，也即是说，从 N 个节点中选出 m 个节点与新增节点相连的事件对应于 m
3、重贝努里试验。这里，N 是从所有 n0+t 个节点中选出的局域世界的节点数，则Nn0+t。又由于 N（n0+t） ，得到 1 （2） 下面我们用平均场理论解析计算概率 p（k） ，以便精确确定标度指数r。 假设是 k 连续的，对于节点 i 有 =A（ki）=A （3） 由于kj=2mt，且在只有一个节点被添加到网络的时间间隔 t上连通度的变化率为 k=m，可知 A=m，所以由等式（3）得到 = （4） 等式（4）的初始条件是节点 i 在时刻 ti 被添加到网络，连通度为ki（ti） ，则等式（4）的解为 ki（t）=m （5） 由于节点能够随时间演化增加其度数，则0；又由于 ki（t）的增5长
4、不可能超过 t，则 所以参数 满足 0.5 （6） 根据等式（2）和（6） ，可得到随机网络的演化速率 满足 0.52t=1-Pti2t=e-t2 （10） 概率密度 p（k）通过微分可以得到 p（k）=e-t222t（m）2 （11） 根据泰勒级数展开式，得到 e-t2=1-t2+2t24- 由于 km，得到概率密度的近似表达式为 p（k）22tm2 （12） 这里幂律分布的指数为 r=2+1，其中参数 满足 0.5（m0+t-1）e1-m0+1=e- （m0+t-1）e1-m0+1 （17） 对上式求导，可以得到概率密度 P（k）为 p（k）=e- （m0+t-1）e1-m0 e- （18
5、） 7根据 ex 的泰勒级数展开式和 km，得到概率密度为 p（k）e- （19） 这个结论与 B&A 模型的结论相同1，但是系数却丰富化了。同样地，模型的特征连通度为 k*=m。这个模型说明如果缺少了择优连接就消除了B&A 模型的无标度特性。 结论 为检测和验证参数 对幂律指数 r 的影响，我们用计算机模拟随机网络的演化过程。模拟的结果由图 1 给出。这里指数分布参数 取值为=0.7，短划线的斜率为幂律分布的指数 r=2.308。同样的图形也可以在文献6中找到。 从模拟的结果可以看出，网络演化的速率 能够影响幂律分布的指数 r，基本满足关系式 r=2+1。当然，由于泰勒级数的舍入使得结果不严
6、格等同于关系式 r=2+1。 在图 1 中，有少量的节点偏离了幂律分布，我们称之为“super hub”节点。这些“super hub”拥有网络中的大量的边，随着网络演化的发展， “富者愈富”的现象能更早地显现。而其他节点的度服从幂律分布，满足 r=2+1 形式。由于“super hub”的存在，网络演化为一个或几个相对较大的集群，这种现象能在生态系统中找到。 解析结论和模拟结果也同样表明了新增节点所择优连接的局域世界的规模是动态变化的（N=2mt） 。局域世界的大小与整个网络的大小是成正比例的。事实上，网络不可能是按照事先规定了大小的局域世界进行演化的。 8参考文献： 1 Barabsi，A
7、.-L.，Albert，R.，and Jeong，H.，Mean-field theory for scale-free random networks，Physica A 272，pp 173-187，1999. 2 Barabsi，A.-L.，Albert，R.，Emergence of scaling in random networks，Science 286，pp509-512，1999. 3 李备友，刘思峰，路英，等.基于二分网络演化的市场波动与羊群行为J.系统工程，2011， （9）：59-65. 4 Albert，R.and Barabsi，A.-L.，Statistical
8、mechanics of complex networks，Rev.Mod.Phys.74，pp 47-97，2002. 5 M.E.J.Newman，The structure and function of complex networks.SIAM Review 45，pp167-256，2003. 6 Xiang Li，Guanrong Chen.A local-world evolving network model.Physica A 328，2003pp274-286. 7 Dorogovtsev，S.N.，Goltsev，A.V.，and Mendes，J.F.F.，Pseud
9、ofractal scale-free web，Phys.Rev.E65，066122，2002. 8 Szab，G.，Alava，M.，and Kertsz，J.，Structural transitions in scale-free networks，arXiv：cond-mat/0208551，2002 9 Watts，D.J.and Strogatz，S.H.，Collective dynamics of small-world networks，Nature 393，pp 440-442，1998. 910 Ravasz，E.and Barabsi，A.L.，Hierarchica
10、l organization in complex networks，Phys.Rev.E 67，026112，2003. 11 Montoya，J.M.and Sol，R.V.，Small world patterns in food webs，J.Theor.Bio.214，pp 405-412，2002. 12 Sol，R.V.，and Montoya，J.M.，Complexity and fragility in ecological networks，Proc.R.Soc.London B 268，pp2039-2045，2001. 13 李备友.基于交易者网络的证券市场传闻扩散博弈分析J.经济管理，2011， （9）：160-166. 责任编辑 吴高君 收稿日期：2013-08-02 基金项目：国家社会科学基金项目（11BJL074） ；教育部人文社会科学研究基金项目（10YJAZH042） ；山东省社会科学规划研究项目（12CJJJ18） ；山东省高等学校人文社会科学研究计划（J13WG05） 作者简介：蒋冰冰（1979-） ，女，河南洛阳人，硕士研究生，从事证券市场研究。
