1、 - 1 - 黄冈市 2017年秋季高三年级期末考试 数 学 试 题 （理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分。满分 150分，考试时间 120分钟 . 第 I卷（选择题 共 60分） 一、 选择题（本题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中只有一项是符合题目要求的） 1.设 z= i+1i-1 ,f(x)=x2-x+1,则 f(z)= ( ) A.i B.-i C.-1+i D.-1-i 2.已知集合 M=y|y=log12(x+1) ,x 3,N=x|x2+2x-3 0,则 M N= ( ) A.-3,1 B.-2,1 C.-3,
2、-2 D.-2,3 3.设等差数 列 an的前 n项的和为 Sn,且 S13=52,则 a4+a8+a9= ( ) A.8 B.12 C.16 D.20 4.设双曲线 x2a2 - y2b2 = 1 (a 0,b 0)的渐近线与圆 x2+(y-2)2= 3 相切 ,则双曲线的离心率为( ) A.4 3 3 B.2 3 3 C. 3 D.2 3 5.从 图中 所示的矩形 OABC区域内任取一点 M(x,y),则点 M取自阴影部分的概率为 ( ) A.13 B.12 C.14 D.23 6.函 数 y= x2+xex 的大致图象是 () 7.已知函数 f(x) asin(2 x ) bcos(2
3、x )，且 f(8) m,设 从 1,3,5,7,9 这五个数中 ,每次取出两个不同的数分别记为 t， s，共可得到 lg t lg s 的不同值的个数是 m,则 f(2 018)的值为 ( ) A. 15 B.-16 C.-17 D. 18 8.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.23 B.43 C.73 D.83 - 2 - 9.若 a b 1,-1 c 0, 则 ( ) A.abc bac B.ac bc C. loga|c| logb|c| D.bloga|c| alogb|c| 10.执行右面的程序框图，如果输入的 x -1， 4，则输出的 y属于 ( )
4、 A.-2,5 B.-2,3) C.-3,5) D.-3,5 11.已知 抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F,其准线与双曲线 y23 -x2=1 相交于M,N 两点 ,若 MNF 为直角三角 形 ,其中 F 为直角顶 点 ,则 p= ( ) A.2 3 B. 3 C.3 3 D.6 12.若函数 f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在 (- ,+ )上 单调递减 ，则 m的取值范围是 ( ) A.-12 ,12 B.- 2 3 , 2 3 C.- 3 3 , 3 3 D.- 2 2 , 2 2 第卷（非选择题 共 90分） （本卷包括必考题和选考题两
5、部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。将答案填在题中的横线上） 13.设向 量 a =(-1,2),b =(1,m)(m 0),且 (a +b ) (a -b )=|b |2-|a |2,则抛物线 y2=-2mx的焦点坐标是 _. 14.设 (1-ax)2018=a0+a1x+a2x2+ +a2018x2018,若 a1+2a2+3a3+ +2018a2018=2018a(a 0),则 实数a=_. 15.设等比数列 an满足 an 0,且 a1+a3= 516 ,a2+a
6、4= 58 ,则 log2(a1a2 an) 的最小值为_. 16.中国古代数学名著九章算术中的“引葭赴岸”是一道名题。根据该问题我们拓展改编一题：今有边长为 12 尺的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为 2尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接。如图，记正方形水池的剖面图为矩形 ABCD,芦苇根部 O为池底 AB的 中点 ,顶端为 P(注 :芦苇与水面垂直 ),在牵引顶端 P向水岸边点 D的过程中，当芦苇经过 DF的三等分点 E（靠近 D点） 时，设芦苇的顶端为 Q,则点 Q在水面上的投影离水岸边点 D的距离为 _尺 .（注： 5 2.236, 3 1.732,精确到 0.01尺 ）
7、 - 3 - 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题满分 10分 ) 已知集合 A x |(13 )x2-x-6 1， B x|log3(x a) 1，若 x A 是 x B的必要不充分 条件， 求 实数 a 的取值范围 18.(本题满分 12分 )如图，在锐角 ABC中， D为 BC边的中点，且 AC= 3 ,AD= 11 2 ,0为 ABC外接圆的圆心，且 cos BOC= - 13 . (1)求 sin BAC 的值 ; (2)求 ABC 的面积 . 19.(本题满分 12 分 )设同时满足条件： bn bn 2 2bn
8、 1； bn M(n N*， M 是常数 )的无穷数列 bn叫 “ 欧拉 ” 数列已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 (a 1)Sn a (an 1)(a 为常数，且 a 0， a 1) (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn Snan 1，若数列 bn为等比数列，求 a 的值，并证明数列 1bn为 “ 欧拉 ” 数列 - 4 - 20.(本题满分 12分 )2017 年 5月 14日 至 15日，“ 一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行 ,会议期间 ,达成了多项国际合作协议 .假设甲 、 乙两种品牌的同类产品 出口 某 国家的 市场 销售量相等， 该国质量检验部门 为了解
9、他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 300 个进行测试，结果统计如下 图所示 . (1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是乙品牌的概率 (3)从这两种品牌产品中 ,抽取寿命超过 300 小时的产品 3 个 ,设随机变量 X 表示抽取的产品是甲品牌的产品个数 ,求 X 的分布列与数学期望值 . 21.(本题满分 12分 )如图 ,椭圆 C1:x2a2 + y2b2 = 1 (a b 0)的离心率为5 3 ,抛物线 C2:y=-x2+2截 x轴所得的线段长等于 2 b.C2与 y轴的交点为 M，过点
10、P(0,1)作直线 l与 C2相交于点 A，B,直线 MA， MB 分别与 C1相交于 D、 E. (1)求证 :MA MB 为定值 ; (2)设 MAB, MDE的面积分别为 S1、 S2,若 S1= 2S2( 0),求 的取值范围 . - 5 - 22.(本题满分 12分 )已知 f(x)= 1+lnx2ax (a 0,且 a 为常数 ). (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 a=12 ,在区间 (1,+ )内，存在 x1,x2,且 x1 x2 时，使不等式 |f(x1)-f(x2)|k|lnx1-lnx2|成立，求 k 的取值范围 . - 6 - 黄冈市 2017年秋季高三年级期末
11、考试 数 学 试 题 （理科）参考答案 一、选择题 ACBBB CDBDD AB 9.D 【解析】 本题考查指数函数和对数函数的性质 .由 -1 c 0得 0 |c| 1,又 a b 1, logb|c| loga|c| 0, -logb|c| -loga|c| 0, a b 1 0, -alogb|c| -bloga|c| , 即 bloga|c| alogb|c| .故选 D. 11.A 【解析】 本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质 .由题设知抛物线 y2=2px 的准线为x=- p2 ,代入双曲线方程 y23 -x2=1 解得 y= 3+3p24 ,由双曲线的对称性知 MNF 为等腰
12、直角三角形 , FMN=4 , tan FMN= p3+3p24 =1, p2=3+3p24 ,即 p=2 3 ,故选 A. 12.B【解析】 本题考查三角函数变换及导数的应用 .由 f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在 (- ,+ )上 单调递 减知 ,f (x)= - 56 + 16 sin2x+m(cosx+sinx) 0 在 (- ,+ )上恒成立 ,令 t=sinx+cosx, t - 2 , 2 .则 sin2x=t2-1,即 16 t2+mt-1 0 对 t - 2 , 2 恒成立 ,构造函数 g(t)= 16 t2+mt-1,则 g(t)的
13、图象开口向上，从而函数 g(t)在区间 - 2 , 2 上的最大值只能为端点值 ,故只需g(- 2 )= 13 - 2 m-1 0g( 2 )= 13 + 2 m-1 0. - 2 3 m 2 3 ,故选 B. 二、填空题 13.32 14.2 15.-10 16. 1.53 14.2 【解析】 本题考查二项式定理的应用及导数的计算 .将 (1-ax)2018=a0+a1x+a2x2+ +a2018x2018两边同时对 x求导得 2018(1-ax)2017(-a)=a1+2a2x+3a3x2+ +2018a2018x2017,令 x=1得-2018a(1-a)2017=a1+2a2+3a3+
14、 +2018a2018=2018a,又 a 0,所以 (1-a)2017=-1,1-a=-1,故 a=2.答案 :2. 15.-10【解析】 本题考查等比数列的性质及等差数列求和公式 .由于 an是正项等比数列，设- 7 - an=a1qn-1，其中 a1是首项， q是公比 则a1+a3= 516 a2+a4= 58 a1+a1q2= 516 a1q+a1q3= 58 , 解得 a1=116 q=2. 故 an=2n-5, log2(a1a2 an) =log2(2(-4)+(-3)+ +(n-5) =(-4)+(-3)+ +(n-5)= 12 n(n-9)= 12 (n-92 )2- 814
15、 , 当 n=4或 5时 , log2(a1a2 an) 取最小值 -10. 16.1.53 解析 :设水深为 x尺，则 x2+62 =（ x+2)2，解得， x=8 . 水深为 8 尺，芦苇长为 10 尺， 以 AB 所在的直线为 x 轴，芦苇所在的直线为 y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系 ,在牵引过程中， P的轨迹是以 O为圆心，半径为 10 的圆弧，其方程为 x2 +y2=100（ 6 x 6， 8 y 10） ， E点的坐标为 (- 4,8)， OE所在的直线方程为 y=- 2x， 设 Q点坐标为 (x,y),由联立解得 x=-2 5 ,DG=6-2 5 1.53 故 点 Q在水
16、面上的投影离水岸边点 D的的距离为 1.53. 三、解答题 17. 解析： 由 (13 )x2-x-6 1， 得 x2 x 6 0，解得 x 2 或 x 3，故 A x| x 2 或 x3 . 3 分 由 log3(x a) 1， 得 x+a 3 故 B x|x 3 a 5分 由题意，可知 B A，所以 3 a 2 或 3 a 3， 8分 解得 a 5 或 a 0. 10分 18.解 :(1)由题设知 BOC=2 BAC, 1分 cos BOC=cos2 BAC=1-2sin2 BAC= - 13 3分 sin2 BAC= 23 ,sin BAC= 6 3 . 5分 (2)延长 AD至 E,使
17、 AE=2AD,连接 BE,CE,则四边形 ABEC为平行四边形 , CE=AB. 6分 在 ACE中 ,AE=2AD= 11 ,AC= 3 , ACE= - BAC,cos ACE=-cos BAC=- 3 3 . 7分 由余弦定理得 ,AE2=AC2+CE2-2AC CE cos ACE, 即 ( 11 )2=( 3 )2+CE2-2 3 CE (- 3 3 ), 解得 CE=2, AB=CE=2, 9分 S ABC=12 AB AC sin BAC=12 2 3 6 3 = 2 . 12分 19.解： (1)由 (a 1)Sn a (an 1)得 ,S1 aa 1(a1 1) a1， -
18、 8 - 所以 a1 a. 2分 当 n 2 时， an Sn Sn 1 aa 1(an an 1)，整理得 anan 1 a， 4分 即数列 an是 以 a 为首项， a 为公比的等比数列 所以 an a an 1 an. 6 分 (2)由 (1)知， bnaa 1an 1an 12a 1an aa 1an ， 由数列 bn是等比数列，则 b22 b1b3，故 2a 1a 2 22a2 a 1a2 ，解得 a12 ， 9分 再 将 a 12 代入 式得 bn 2n，故数列 bn为等比数列， 且 a 12 . 由于 1 bn+ 1 bn+2= 12n + 12n+2 2 12n 12n+2 =
19、2 12n 1 = 2 1bn 1，满足条件 ；由于 1bn12n 12 ， 故 存 在 M12 满 足 条 件 . 故数列 1bn 为 “ 欧拉 ” 数列 12分 20. 解 : (1)甲品牌产品寿命小于 200小时的频率为 20 60300 415，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 415. (3 分 ) (2)根据抽样结果，寿命大于 200 小时的产品有 220 210 430个，其中 乙 品牌产品是 210个，所以在样本中，寿命大于 200小时的产品是 乙 品牌的频率为 210430 2143，用频率估计概率，所以已使用了 200小时的该产品是 乙 品牌的
20、概率为 2143. (7分 ) (3)由题意知 X 可能取值为 0,1,2,3,且 P(X=0)=C040 C340 C380 = 19158 ,P(X=1)= C140 C240 C380 = 60158 , P(X=2)= C240 C140 C380 = 60158 , P(X=3)= C340 C040 C380 = 19158 . (9 分 ) X 的分 布列为 X 0 1 2 3 P 19158 60158 60158 19158 - 9 - 故 E(X)= 0 19158 +1 60158 +2 60158 +3 19158 = 237158 . (12分 ) 21. 解 :(1
21、)由题设得 2 b=2 2 ,(b 0), b=2,又 e= ca = 5 3 , c2=59 a2=a2-4,解得 a2=9. 因此椭圆 C1和方程为 x29 + y24 =1.由抛物线 C2的方 程为 y=-x2+2,得 M(0,2). (2分 ) 设直线 l的方程为 y=kx+1(k存在 ),A(x1,y1),B(x2,y2).于是 . 由 y=-x2+2y=kx+1 消去 y 得 x2+kx-1=0,x1+x2=-kx1x2=-1 , (3分 ) MA MB =(x1,y1-2) (x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2) =
22、(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1, 将 代入上式得 MA MB =-1-k2+k2+1=0(定值 ). (5分 ) (2)由 (1)知 ,MA MB, MAB 和 MDE 均为直角三角形 ,设直线 MA 方程为 y=k1x+2,直线 MB 方程为 y=k2x+2,且 k1k2=-1,由 y=k1x+2y=-x2+2 解得 x=0y=2 或 x=-k1y=-k12+2 , A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2), (7分 ) S1=12 |MA| |MB|= 12 1+k12 1+k22 |k1|k2|. (8分 ) 由y=k1x+2x29 + y24 =1解得
23、 x=0y=2 或x= -36k14+9k12 y= 8-18k124+9k12 , D(-36k14+9k12 ,8-18k124+9k12 ), 同理可得 E(-36k24+9k22 ,8-18k224+9k22 ), (9分 ) S2=12 |MD| |ME|= 12 36 1+k12 |k1|4+9k12 36 1+k22 |k2|4+9k22 , (10分 ) 2= S1S2= 1362 (4+9k12)(4+9k22)= 1362 (16+81k12k22+36k12+36k22) = 1362 (97+ 36k12+ 36k12 )132362 ,又 0, 1336 故 的取值范
24、围是 1336 ,+ ) (12分 ) 22.解 :(1) f(x)= 1+lnx2ax (a 0,且 a为常数 ), f (x)= -2alnx(2ax)2 = - lnx2ax2 .(1分 ) 若 a 0 时 ,当 0 x 1, f (x) 0;当 x 1时 , f (x) 0. 即 a 0 时 ,函数 f(x)单调递增区间为 (0,1),单调递减区间为 (1,+ ). (3分 ) - 10 - 若 a 0 时 ,当 0 x 1, f (x) 0;当 x 1时 , f (x) 0. 即 a 0 时 ,函数 f(x)单调递增区间为 (1,+ ),单调递减区间为 (0,1). (5分 ) (2
25、)由 (1)知 , f(x)= 1+lnxx 在区间 (1,+ )上单调递减 ,不妨设 x2 x1 1,则 f(x1) f(x2), 不 等 式 |f(x1)-f(x2)| k|lnx1-lnx2| 可 化 为 f(x1)-f(x2) k(lnx2-lnx1). (8分 ) 即 f(x1)+kx1 f(x2)+kx2,令 F(x)=f(x)+klnx,则 F(x)在区间 (1,+ )上存在单调递减区间， F (x)= f (x)+ kx =-lnxx2 +kx = -lnx+kxx2 0有解，即 kx lnx(x 1), k lnxx 有解 , 令 G(x)= lnxx , 则 G (x)= 1-lnxx2 ，由 G (x)=0 得x=e, (10分 ) 当 x (1,e)时， G (x) 0,G(x)单调递增 ;当 x (e,+ )时 , G (x) 0,G(x)单调递减 . G(x)max=G(e)= 1e , 故 k 1e . (12分 )
