高等数学习题答案.doc

1、习题一 （ A） 1.设 ），（），（ 55- A ， ）， 310B ，求 )(, BAABABABA 及 . 解 ),5()3,( BA ； 10 5A B , ) ； 1 0 5A B ( , ) ( , ) ； 1 0 5A ( A B ) , ) . 2. 设 A 表示某大学学习英语 的学生的集合， B 表示学习日语的学生集合， 则 BABABABA 及, 各表示怎样的集合 . 解 A 表示该大学不学习英语的大学生集合； B 表示该大学不学习日语的大学生集合；BA 表示该大学学习英语但不学习日语的大学生集合； BA 表示该大学既不学习英语又不学习日语的大学生集合； BA 表示该大学不

2、学习英语或不学日语的大学生集合 . 3. 求下列函数的定义域 . （ 1） 211 xxy ； （ 2） ）1tan( xy （ 3） )3arcsin( xy （ 4） xxy 1arc tan3 （ 5） )1ln( 2 xy （ 6） xey 1 解 （ 1） 1 0 0 1 , ) ( , ； （ 2） 1 0 1 22x k , k , , , ； （ 3） 1|3| x 即 42 x ； （ 4） 3x 且 0x ； （ 5） 1| x 即 ),1()1,( ； （ 6） ,0x 即 ),0()0,( . 4.设 )(xf 的定义域 1,0D ，求下列函数的定义域： （ 1） )(

3、sinxf ； （ 2） )0(),( aaxf （ 3） )0(),()( aaxfaxf . 解 （ 1） 1,0sin x ，即 2 2 1 0 1 2x k ,( k ) k , , , . （ 2） 1,0ax ，即 axa 1 ； （ 3） 1,0ax 且 1,0ax .所以当 10 2a 时，定义域为 1, aa ；当 21a 时，定义域为空集 . 5. 下列函数 )(xf 和 )(xg 是否相同？为什么？ （ 1） 22 ln2)(,ln)( xxgxxf ； （ 2） 33 34 1)(,)( xxxgxxxf ； （ 3） xxxgxf 22 t a ns e c)(,1)

4、( ； （ 4） 2)(|,|)( xxgxxf . 解 (1) 两个函数不同 ,因为对应法则或表达式不同 . (2)两个函数相同 ,因为定义域和对应法则都相同 . (3)两个函数不同 ,因为它们的定义域 不同 . (4)这对函数是相同的。因为它们的定义域相同且对应法则相同 . 6. 已知 23)( 2 xxxf ，求 )1(,)1(),( xfxfxf . 解 23)( 2 xxxf ； 231)1(2 xxxf； 221 1 3 1 2f ( x ) ( x ) ( x ) x x . 7. 设 11xxef( x) ,e 证明 )(xf 是奇函数 . 解 )(11)(,1111)( xf

5、eexfeeeexfxxxxxx .即 f(x) 是奇函数 . 8. 将函数 |12|5 xy 写成分段函数形式，并作出函数的图形 . 解 16225 2 11422x , xy | x |x , x . 函数图形如图所示 . 9. 试证明下列 函数在指定区间内的单调性： （ 1） )1,(,1 xxy ； （ 2） ),0(,ln xxy 解 （ 1） 1111xy xx ,在 1（ ， ） 上 单调递增； （ 2） y x lnx 在 0( , ) 上单调递增 . 10. 设 )(xf 为定义域在 ),ll（ 内的奇函数，若 )(xf 在 ),0( l 内单调增加，证明 )(xf 在)0,

6、(l 内也单调增加 . 证明 : 设 12 0x ,x ( l, ) ,且 12xx ,则 12 0x , x ( ,l ) ,且 12xx . f(x) 在 0(,l) 上单增且为奇 , 12f ( x ) f ( x ) ,即 12f ( x ) f ( x ) , 从而 12f( x ) f( x ) ,所以 f(x) 在 0( l,) 上也单调增加 . 11.设下面所考虑的函数都是定义在区间 ),ll（ 内的，证明： (1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； (2)两个偶函数的积是偶函数，两个奇函数的积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数 . 证明 只证明 偶函数与奇函

7、数的乘积是奇函数 ,其它 略 . 设 f(x) 与 g(x) 分别是 区间 ),ll（ 上的偶函数和奇函数 ,即 f( x) f( x) , g( x ) g( x ) ,则 f ( x )g ( x ) f ( x )g ( x ) ,所以 f(x)g(x 是奇函数 ,也就是说 , 偶函数与奇函数的乘积是奇函数 . 12. 试证明：任何一个在 ),ll（ 内有定义的函数 )(xf 总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和 . 证明 令 )()(21)(),()(21)( xfxfxGxfxfxF ，则当 x ( l,l) 时 , F ( x ) F ( x ),G ( x ) G ( x )

8、, 即 )(xF 为偶函数， )(xG 为 奇 函 数 ， 易见1122f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) F ( x ) G ( x ) ,所以 ,任何一个在 ),ll（内有定义的函数 )(xf 总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和 . 13. 求下列函数的反函数，并注明反函数的定义域： (1) 3 1 xy ； (2) xxy 11 ； (3) )2ln(1 xy ； （ 4） 122xxy . 解 （ 1） 3 11 2 11 xy x , x ( , ) ( ) y xx ； ，； (3) 122 4 0 11x xy e x ( , )

9、( ) y l o g x ( , )x ， ；. 14.在下 列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值 21,xx 的函数值： （ 1） 3,6,s in,212 xxxuuy； （ 2） 1,0, 212 xxxuey u ； （ 3） 1,1, 212 xxeuuy x； （ 4） 2,1,1, 212 xxxuuy . 解 （ 1） 2631344xxy s in x y , y ，； (2) 2 011x xxy e y y e ， ，； (3) 2 2 211x xxy e y e y e ， ，； (4) 2121 2 5xxy x y y ， ，.

10、 15.用铁皮作一个容器为 V 圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并确定此函数的定义域 . 解 设其全表面面积为 A，底半径为 r,高为 h，则 hrrA 22 2 ，并且 Vhr 2 ，从而 2rVh，所以， rVrA 22 2 . 16. 已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 40 （图 1-11） .当过水断面 ABCD 的面积为定值 0s 时，求湿周 )CDBCABLL （ 与水深 h 之间的函数关系，并指明其定义域 . 图 1-11 解 由图易得 2 4 0AD BC h cot , = 4 040hA B C D h cscsin , 20 402A D B Cs h B

11、 C h h c o t , 0 40sBC h coth , 02 4 0 4 0sL A B B C C D h c s c h c o th . 17.设需求函数 dQ 与供给函数 sQ 分别为： pQpQsd 1020,323100 ，求市场均衡点 . 解 令 ,sd QQ 即 pp 1020323100 ，解得 30,5 00 Qp ，市场均衡点为)30,5(),( 00 Qp . 18. 某企业生产某产品每日最多生产 100单位，设日固定成本 130元，生产一个单位产品的可变成本为 6元，求该企业日总成本函数及平均单位成本函数 . 解 1 0 0,0,61 3 0( xxxc ）

12、， 100,0,6130)()( xxxxcxc . 19. 设销售某商品的总收益是销售量 x 的二次函数，已知 4,2,0x 时，总收益分别是8,6,0 ，试确定总收益函数 )(xTR . 解 设 cbxaxxR 2( ） ，则有 84166240cbacbac 解得 0,4,21 cba . xxxR 421)( 2 . 20. 已知需求函数为 510 Qp ，总成本函数为 Qc 250 , Qp, 分别为价格与销售量 .试求利润 L 与销售量 Q 的关系式，并求平均利润 . 解 221 0 5 0 2 8 5 055QQL ( Q ) P Q C( Q ) Q ( Q ) Q , 508

13、5L ( Q ) QL ( Q ) QQ . 习题二 （ A） 1.观察下列数列的变化趋势，收 敛的写出其极限： （ 1） nnx nn1)1( ； （ 2） nnx nn )1( ； （ 3） nnxn 1； （ 4）nnnx 3 12 ； （ 5） nx nn 1)1(2 ； （ 6） nnx )1(2 解 （ 1）收敛，极限为 1；（ 2）不收敛；（ 3）不收敛；（ 4）收敛，极限为 0；（ 5）收敛，极限为 2 ；（ 6）不收敛。 2.判断下列命题是否正确： （ 1）收敛数列一定有界； （ 2）有界数列一定收敛； （ 3）若收敛数列的通项大于 0，则其极限一定大于 0； （ 4）若数列

14、的极限大于 0，则数列的每一项也一定大于 0 解 仅（ 1）是正确的。 3* 设 2cos1 nnxn ，考察 0lim nn x，求出 N ，使得当 Nn 时，有 |0| nx . 当 001.0 时， N =？ 解 0 ，要使 |2c o s|1|02c o s1|0| nnnnxn，因为 nnn 1|2cos|1 ，所以，只需 1,1 nn 即 ，取 1N ，则当 Nn 时，就有 |0| nx 成立 . 当 001.0 时， 1000N . 4* 用数列极限的分析定义证明： （ 1） 2312 13lim nnn； （ 2） 12lim22 nnnn； （ 3） 1999.0lim 个n

15、n； （ 4） 1)21-1lim nn （. 证明 （ 1） 0 ，要使 )12(2 5|2312 13| nnn，因为nn 41)12(2 5，所以，只需 45n ，取 45 N ，则当 Nn 时，就有 |2312 13| nn 成立 .即 2312 13lim nnn. （ 2） 0 ，要使 |2|12|222 nn nnnn ， nnnn nnnnnn n 111|2|2|222 ，所以，只需 1,1 nn 即 ，取 1N . （ 3） 0 ，要使 nn 1011.0|1999.0| ）（，即 1lg,110 nn ，取1lgN . （ 4） 0 ，要使 nn 21|1)211(|，

16、即 1lo g,122 nn，取 1log2 N. 5.利用函数的图形，从几何上观察变化趋 势，并写出下列极限： （ 1） xx elim； （ 2） ccx (lim是常数）； （ 3） xx arctanlim； （ 4） )ln1(lim1 xx ； （ 5） )1(lim 22 xx； （ 6） )1(lim4 xx. 解 （ 1） 0；（ 2） C；（ 3） 2 ；（ 4） 1；（ 5） 3；（ 6） 3. （图略） 6. )(xf 在 0x 处有定义是当 0xx 时 )(xf 极限存在的 _ (A) 必要条件 (B)充分条件 (C) 充分必要条件 (D)无关条件 解 （ D） 7.

17、 )0( 0 xf 与 )0( 0 xf 都存在是 当 0xx 时 )(xf 极限存在的 _ (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件也非必要条件 解 (A) 8. 若 22arc tanlim2 xx kx，则 k =（ ） (A) 2 (B) 0 (C) 21 (D) 1 解 (A) 9. )(xf 在 0x 处有定义是 )(xf 在 0x 处连续的 _ (A) 必要条件 (B)充分条件 (C) 充分必要条件 (D)无关条件 解 (A) 10* .用极限的分析定义证明下列极限： （ 1） 424lim 22 xxx； （ 2） 01sinlim0 xx

18、x； （ 3） 131lim22 xxx； （ 4） x xx 21lim0. 解 (1) 0 ，要使 |)2(|2|)4(24| 2 xxxx ，取 ， 则当 |)2(|0 x 时，总有 |)4(24| 2xx 成立。即 424lim 22 xxx。 （ 2） 0 ，要使 |1s in|01s in| xxxx ， |0|1s in| xxxx ，只需 |0|x 取 . （ 3） 0 ，要使 34|131|222 xxx ，22 434 xx ，只需 2|,42 xx，取2X，当 Xx| 时，有 |131|22xx ， 131lim22 xxx. （ 4） 0M （无论多大），要使 Mxx

19、x |21|21| ， 2-|1|21| xx ，只需21|,-2|1| MxMx 即 ，取 21 M ，则当 |0|0 x 时，总有 Mx x |21| ， x xx 21lim0 . 11.设 39)( 2 xxxf 问：（ 1）在自变量的什么变化过程中， )(xf 是无穷小？ （ 2） 在自变量的什么变化过程中， )(xf 是无穷大？ 解（ 1）当 3x 时， 39)( 2 xxxf 是无穷小； （ 2）当 x 时， 39)( 2 xxxf 是无穷大 . 12.求下列极限： (1) xxx1sinlim 20; (2) x xx arctanlim; (3) 503020)25( )32

20、()13(lim x xxx; (4) nnnnn 3232lim 11 ; (5) )1212(lim 223 xxxxx; (6) )112(lim2xxx ； (7) h xhxh330)(lim ; (8) xx xxxx 2324lim 2 230 ; (9) )1 11 1(lim31 xxx ; (10) 2321lim n nn ； (11) nnn21412113191311lim ; (12) 222 )2(2lim xxxx. 解 （ 1） 0；（ 2） 0；（ 3） 3020 )52()53( ；（ 4） -3；（ 5）（提示：通分化简） 41 ； （ 6） 2；（ 7

21、） 23x （提示：利用立方公式）；（ 8） 21 ；（ 9） -1；（ 10） 21 （提示：先求和 ，再求极限）；（ 11） 43 ；（ 12） ；（提示：求其倒数的极限） . 13.判断下列命题是否正确？如果正确说明理由，如果错误试给出一个反例 （ 1）如果 )(lim0 xfxx存在，但 )(lim0 xgxx不存在，那么 )()(lim0 xgxfxx 不存在； （ 2）如果 )(lim0 xfxx不存在，且 )(lim0 xgxx也不存在，那么 )()(lim0 xgxfxx 不存在； （ 3）如果 )(lim0 xfxx存在，且 )(lim0 xgxx也不存在，那么 )()(li

22、m0 xgxfxx 不存在 解 （ 1）正确 . （反证法，利用极限四则运算法则） （ 2）错误 . 反例： 0x 时， xxf 1sin)( ， xxg 1sin)( 极限均不存在，但0)()( xgxf 极限 存在 . （ 3）错误 .反例： 0x 时， xxf )( 极限 存在为零 ， xxg 1sin)( 极限 不存在，但 1sinf x g x x x 极限 存在 为零 . 14.求下列极限： （ 1） nnRn 2sin21lim 2； （ 2） xxx sinlim； （ 3） xxx 3sin2tanlim0； （ 4） xx xx sincos1lim0 ； （ 5） xxx

23、 cotlim0； （ 6） 1 )1sin(lim21 x xx； （ 7） 3)1(lim xx xx； （ 8） xx x10 )21(lim ； （ 9） xx xx )11(lim ； (10) xx x co t0 )tan21(lim . 解 （ 1） 2R ；（ 2） 1（提示： )sin(sin xx ，或令 tx ）；（ 3） 32 ；（ 4） 21 ； （ 5） 1；（ 6） 21 ；（ 7） e ；（ 8） 2e ；（ 9） 2e ；（ 10） 2e 。 15.利用极限存在准则证明： （ 1） 111lim nn(2) 1)12111(lim 222 nnnnn . 解

24、 （ 1）提示：nn 11111 。 （ 2）112111 22222 n nnnnnnn n 。 16.设 21x ， ,2,121 nxx nn ，证明这数列的极限存在，并求其极限 证明 （单调性） 210 xx ，设 kk xx 1 ，则 022221111 kkkkkkkk xx xxxxxx ，因此 nx 单调递增 . （有界性） 221 x ，设 2kx ，则 221 kk xx ， nx 有上界 . 故nn xlim存在 . 设 lxnn lim，对 nn xx 21 两边取极限得 ll 2 ，即1(2,022 llll 舍去） .即 2lim nn x . 17. 研究下列函数

25、的连续性，并画出函数的图形： （ 1） 21,3 10,1)( 2 xx xxxf ； （ 2） 1|,1 11,)( xxxxf 解 （ 1）连续；（ 2）在 1x 处间断，图形略 . 18.求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 （ 1） 23 1)(22 xx xxf ； （ 2） xxxf 1sin)( ; (3) xxxf sin)( ; (4) 1,3 1,1)( xx xxxf; (5) xxxxfnnn 2211lim)( 解 （ 1）间断点： 21，x ，其中 1x 是可去间断点， 2x 是无穷间断点； （ 2） 0x ，可去间断点； （ 3） ,2,1,0, kkx ，其中 0x 是可去间断点，其他是无穷间断点 ; （ 4） 1x ，跳跃间断点； （ 5） 1|,1|,01|,11lim)(22xxxxxxxxxf nnn ，间断点： 1,1x 是跳跃间断点 .