1、1简化的牛顿迭代法的 MATLAB 实现摘要：牛顿迭代法是方程求根中的一种较快捷的迭代方法，但遇到较复杂的方程时计算量较大。本文采用了 MATLAB 编程来实现牛顿迭代法，并给出了具体的计算例子。 关键词：牛顿迭代法 MATLAB 编程 算法思想 1 问题的提出 牛顿迭代法收敛速度快，但每次都要求导，求逆，计算量相当大。为了减少计算量，引入简化的牛顿迭代法。 2 算法思想 以前我们解一元方程 f（x）=0 时采用过牛顿法，其几何意义是在根x*的附近取点 x0 作为方程的近似值，如图 1-1 所示，过曲线 y=f（x）上的点（x0，f（x0） ）作切线，以它作为 y=f（x）的近似。切线与 x
2、轴的的交点 x1 作为根 x*的第二次近似，不断作下去，便得到迭代公式 xk+1=xk- k=0，1，2 当 f（x）满足一定条件下，迭代序列xk收敛到 x*。 解一元方程 f（x）=0 的牛顿法的主要思想是将非线性函数线性化。因此仿照一元方程的情形，就得到非线性方程组的牛顿迭代法。 令 则方程组 设（x1（k） ，x2（k） ，xn（k） ）是方程组（2-1）的一组近似解，2把它的左端在（x1（k） ，x2（k） ，xn（k） ）处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（2-1）的近似方程组： 这是关于 xi（k）=xi-xi（k） （i=1，2，n）的线性方程组，如果它的系数
3、矩阵（见 2-3）： 非奇异，则可解得（见 2-4）： 矩阵（2-3）称为向量函数 F（x）的雅可比矩阵，记作 F（x） 。又记 x=xi+xi（k） 。 3 算法程序 其程序为： %ndf.m function ndf=ndf（x） clc； disp（ MATLAB 编的简化牛顿迭代法程序 ） disp（ 浙江机电职业技术学院机械工程学院 ） disp（ - ） syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x=input（请以x1，x2，.的形式输入未知变量 x=） ； F=input（请以 ； ；.的形式输入非线形方程组的矩阵 F（x）=） ； x0=input（请以
4、行的形式输入未知变量的初始值 x0=） ； n=length（x） ；%确定未知变量的个数 3g=jacobian（F，x） ；%产生雅可比矩阵 F0=subs（F，x，x0） ；%给方程组的矩阵置初值 g0=subs（g，x，x0） ；%给雅可比矩阵置初值 if det（g0）=0； disp（ 不符牛顿迭代法的条件！） break end 4 总结 牛顿迭代法收敛速度快，但要求导，求逆。计算的结果受初值，迭代次数（或精度要求）的影响比较大，如果求导后代入初值，如结果为零，则无法迭代。因而当求导后结果为零时，必须寻求另外的方法来计算。 参考文献： 1云磊.牛顿迭代法的 MATLAB 实现J.信息通信，2011（6）. 2倪健，马昌凤.解非线性方程牛顿迭代法的一种新的加速技巧J.广西科学院学报，2010（1）. 3王霞，张启虎.数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨J.天中学刊，2010（5）.
