1、第三章 动量定理及其守恒定律 （ 5） 学习内容： 3.8 质点系动量定理和质心运动定理 3.9 经典力学中的动量守恒定律的常见形式 所做的工作： 1、讨论质点系在周围物体的作用下，动量的变化 规律及其运动定理 2、讨论经典力学中的动量守恒定律的常见形式 3.8 质点系动量定理和质心运动定理 (一 ) 质点系动量定理： 对于有若干个质点组成的系统来讲，每一个质点所受的力有内力和外力之分，相应的把质点系以外的物体我们称之外界 。 外力：外界对质点系内质点的作用力； 内力：质点 系内各质点间的相互作用力。 对质点系中任一质点 i ,有： i i iF F F外 内 ，且有： iF idpdt 其中
2、i ijjFF外， iji ijFF内。质点 j 质点 系，质点 j 质点系。 把质点系看成一个整体，总的动量为：iipp所受到总力为： ()ii ijiiiii i i i i i j idpdp F F F F F F Fd t d t 外 外 外内 内其中：i ijii jF F F 外 外，即质点所受到的和外力。 因为 ij jiFF ，所以内力的矢量和为 0，即 0iji j iFF内 dp Fdt 外其中iipp，iiFF外 外上式表明： 1 内力虽能改变质点系内诸质点的动量，但是不能改变质点系作为一个整体 的动量。 2 质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和。 这就是质点系的动
3、量定理，在直角坐标系的投影式为：省略下标 i ()()()ixixiiyiyiizizidpFdtdpFdtdpFdt用 dt 乘以上式的两边，得到： ( ) ( )iiiiF dt d p0 0()t it i F dt p p0p 为 0t 时刻对应的动量， p 为 t 时刻对应的动量 它表明：在一段时间内 质点系动量的增量等于作用于质点系外力的矢量和在这段时间内的冲量，此式即用冲量表示的质点系的动量定理。 例题一、 125p 已知：质量密度 求：推力 F火 ？ 喷口截面积为 s vv相 火箭的速度 v 恒 矢 量 火箭 惯性系 相对于火箭：在 dt 时间内喷出的工作物质的体积 vsdt
4、，其质量 vsdt 以火箭为参考系，喷出的物质为研究对象，则有： 喷出前： 0 0d m v sd t v的 速 度 喷出后： d m vsd t v v的 速 度 dp vsdtv 根据动量定理： dp vsv Fdt 其中 F 为燃烧完 ，燃烧物对 dm 的作用力，也就是火箭对 dm的作用力，根据牛顿第三定律，火箭在 dt 时间内所受到的推力为 FF火 F vsv 火 - F vs火 例题二、已知：质量为 0m ，即单位时间内落到车厢底板上的质量 速度 000tv v v i 0 0 2ttv v i gh j 00t t dt ：速度： 0 20v i gh j 求：煤对车厢的作用力 解
5、： 以 0m 为研究对象，地面为参照系，则有： 00t t dt ， 0m 的动量改变量为：00( 2 )p m v i g h j 外力的冲量 0()F dt m gj N dt 000 ( 2 )N m g F d t N d t pN m v i g h j 0m 对车底板的冲力 ： 1 NN 00( 2 )m v i gh j 并且到达车底板的煤对底板还有一个压力： 20N mgj 煤对车底板的作用力为： 1 2 0 0 ( 2 )N N N m v i g h g j （二）质心运动定理： 定义： i i i iiiciim r m rr mm 质点系有关位置的矢量，质心 质量的中心
6、 在 直 角 坐 标 系 中 ：,i i i i i ii i ic c cm x m y m zx y zm m m 由 质 点 系 的 动 量 定 理 ： ()i i iiidF m vdtii drv dt 2222() ci i i cii drdF m r m m ad t d t 称上式为质心运动定理。它表明质点系质心的运动与一个质量为 m 在力ii F的作用下的质点作相同的运动。显然，质点系各质点的内力对质心的运动不起作用。在直角坐标系中： ,ix c x iy c y iz c zi i iF m a F m a F m a 例题四、 130p 已知：4 3 6 3,5 5 1
7、 0DAa g j a g i g j 求： Ba 解 ： 由 质 心 运 动 定 理 ：2 2223 3 3 ( )c A B Ddr m r m r m rdW m md t d t m3 A B Dm g m a m a m a 在直角坐标系下分解：6: 0 si n 30546: 3 c os 3055BxByx a gy g a g g 解得：351 (1 1 3 3 )5BxByag ， 22 1 .3B B x B ya a a g ， 12 7 2 0BxByatg a （三） 质点系相对于质心参照系的动量 以质心为原点，建立坐标系称为质心参考系或质心系 。 c xyz 相对于
8、 o xyz 以速度 cc drv dt 运动。相对 c xyz 系质量为 im ，速度为 icv 的质点，其动量为 ic i icp mv ，则整个质点系的动量 ：( ) ( )i i i iic i ic ic i ic ii i im r m rdr ddp p m v m m md t d t m d t m 此时 0iii mrm （表示质心系中质心的位置矢量为 0） 所以 cp 0，表明质点系对质心参考系的动量为 0，体现了质心的特殊性和重要性。例如，质点系只有两个质点组成，则此两个质点相对于质心的动量总是大小 相等，方向相反。 3.9 经典力学中动量守恒定律的常见形式 (一 )
9、质点系的动量守恒定律 由iiiidFpdt可知 当不受外力或合力为 0时，即ii Fo则ii p 恒 矢 量，在直角坐标系下：ix ixiiiy iyiiiz iziiF o pF o pF o p 恒 矢 量恒 矢 量恒 矢 量（二）动量沿某一坐标轴的投影守恒 当 0,iiF F p 则 恒 矢 量，但是若 F 的某 一坐标轴的分量为 0，则此坐标轴方向上动量仍然守恒，如，ix ixiiF o p 恒 矢 量，称之为质点系动量沿 x 轴的动量守恒。 例题 2、 134p 求：1 ?v 以地面为参考系，炮弹的绝对速度： 12v v v。由于水平方向不受外力ixi Fo所以ixi p 恒 矢 量 0，即 1 1 2 2 122112( c o s ) 0c o sm v m v vmvvmm 所 以
