1、中学数学网 http:/中学数学网 http:/考点训练 41 开放型问题一、选择题1(2011兰州)如图所示的二次函数 yax 2bxc 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1) b24ac0；(2)c1；(3)2 ab0，x0)的图象上，若kx点 R 是该反比例函数图象上异于点 B 的任意一点，过点 R 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足为M、N .从矩形 OMRN 的面积中减去其与正方形 OABC 重合的面积，记剩余部分的面积为 S，则当 Sm( m 为常数，且 0m4)时，求点 R 的坐标(用含 m 的代数式表示)解 (1)如图，若 R 在点 B 的左边，设 R(x0，y0)，
2、由题意，得 k4.故 x0y04，由反比例函数的几何意义可得，四边形 RMAD 的面积为 S(Sm )，即AMMRm，AM 2x 0，MRy 0，故 (2x 0)y0m, 2y0x 0y0m,2y 04m ，y0 ，m 42故 x0 ，故此 时 RError!.8m 4(2)若 R 在点 B 的右边，同理 RError!. 综上，可得点 R 的坐标为Error!或Error! .12(2011綦江)在如图的直角坐标系中，已知点 A(1,0)、B(0，2) ，将线段 AB 绕点 A按逆时针方向旋转 90至 AC.(1)求点 C 的坐标；(2)若抛物线 y x2ax 2 经过点 C.12求抛物线的
3、解析式；在抛物线上是否存在点 P(点 C 除外)使ABP 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由中学数学网 http:/中学数学网 http:/解 (1)过点 C 作 CDx 轴，垂足 为 D，在ACD 和BAO 中，有CADBAO90， ABOBAO90，CADABO .又ADCAOB90 ，CAAB， ACDBAO，CD OA1，AD BO2，点 C 的坐标为(3 ，1) (2)抛物线 y x2ax 2 经过点 C(3， 1)，121 323a2，解得 a .12 12抛物线的解析式为 y x2 x2.12 12解法一：i) 当 A 为直
4、角顶点时 ，延长 CA 至点 P1，使 AP1ACAB，则ABP 1 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形过点 P1 作 P1Ex 轴， AP 1AC ，EAP 1DAC，P 1EACDA90，EP1ADCA ，AEAD 2, EP1CD1，可求得 P1 的坐标为(1,1) 经检验点 P1 在抛物线上，因此存在点 P1满足条件；ii) 当 B 为直角 顶点时，过点 B 作直线 lBA，在直线 l 上分别取 BP2BP 3AB，得到以AB 为 直角边的等腰 RtABP 2 和等腰 RtABP 3.作 P2F y 轴，同理可证BP 2FABO，P 2FBO 2, BFOA1，可得点 P2 的坐标为
5、(2，1)，经检验 P2 在抛物线上，因此存在点 P2满足条件同理可得点 P3 的坐标为(2，3)，经检验 P3 不在抛物线上，故不存在满足条件的点 P3.综上，抛物线上存在点 P1(1,1)，P 2(2，1)两点，使得 ABP 1 和ABP 2 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形解法二：i) 当点 A 为直角顶点时，易求出直线 AC 的解析式为 y x ，由Error!12 12解之可得 P1( 1,1)(已知点 C 除外) 作 P1Ex 轴于 E，则 AE2, P1E1, 由勾股定理有 AP1 .又ABAE2 P1E2 5，AP 1AB ，P 1AB 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形
6、；5ii)当 B 点 为直角 顶点时，过 B 作直线 lAC 交抛物线于点 P2 和点 P3，易求出直线 l 的解析式为：中学数学网 http:/中学数学网 http:/y x2，由Error!12解得 x12 或 x24.P 2(2，1)，P 3(4，4)作 P2Fy 轴于 F，同理可求得 BP2 AB，P 2AB 是以 AB 为直角边的等腰直角三5角形作 P3Hy 轴于 H，可求得 BP3 2 AB， ABP 3 不是等腰直角三角形，22 42 5点 P3 不满足条件综上，抛物线上存在点 P1(1,1)，P 2(2，1)两点，使得 ABP 1 和ABP 2 是以 AB 为直角边的等腰直角三
7、角形13(2011荆州)如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形 OABC 与 CDEF 的边 OC、OA所在直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系(O、C、F 三点在 x 轴正半轴上)若P 过A、B 、E 三点( 圆心在 x 轴上) ，抛物线 y x2bxc 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点14为 G，M 是 FG 的中点，正方形 CDEF 的面积为 1.(1)求 B 点的坐标；(2)求证：ME 是P 的切线；(3)设直线 AC 与抛物线对称轴交于 N，Q 点是此对称轴上不与 N 点重合的一动点，求ACQ 周长的最小值；若 FQt，S ACQS，直接写出 S 与 t 之间的函数关系式解
8、 (1)如图甲， 连接 PE、PB，设 PCn.正方形 CDEF 面积为 1，CD CF 1.根据圆和正方形的对称性知 OPPCn，BC2PC2n.而 PBPE， PB2BC 2PC 24n 2n 25n 2.又 PE2PF 2EF 2(n1) 21，5n 2(n1) 21.解得 n11，n 2 (舍去)12BCOC2.B 点坐标为(2,2)(2)如图甲，由(1)知 A(0,2)，C(2,0)A、C 在抛物线上，Error! 解之，得： Error!抛物线的解析式为 y x2 x2.14 32抛物线的对称轴为 x3，即 EF 所在直线C 与 G 关于直线 x3 对称，CF FG1.MF FG
9、.12 12在 Rt PEF 与 RtEMF 中，中学数学网 http:/中学数学网 http:/ ， ，PFEF 21 EFFM 112 21 .PFEF EFFMPFE EFM90，PEF EMF.EPF FEM.PEM PEFFEMPEFEPF90.ME 与P 相切(3)如图丙，延长 AB 交抛物线于 A，连 CA交对称轴 x3 于 Q，连接 AQ，则有 AQA Q，ACQ 周长 的最小值为( ACAC)的长 A 与 A关于直线 x3 对称，A(0,2)，A(6,2) 又C(2,0) ，AC 2 ，6 22 22 5而 AC 2 .22 22 2ACQ 周长的最小值为 2 2 ；5 2当 Q 点在 F 点上方时，St 1；当 Q 点在线段 FN 上时，S1 t ；当 Q 点在 N 点下方时，St1.
