1、 - 1 - 万有引力定律及其应用 【教学目标】 1 理解掌握万有引力定律的内容 . 2. 掌握应用万有引力定律和牛顿运动定律解决天体的基本方法 . 【教学重点】 万有引力定律的应用 . 【教学难点】 物理模型的建立，各个字母代表的物理涵义 . 【教学方法】 讲练结合，计算机辅助教学 . 【教学过程】 一、 万有引力定律 1 内容： 自然界中任何 物体都 相互吸引 的， 引力的方向在它们的连线上，大小 跟它们的质量的乘积成 正 比，跟它们的距离的平方成 反 比 2 公式 ： 122mmFGr,其中 G=6.67 10-11N m2/kg2，（ G 称为万 有引力恒量，由 卡文迪许扭秤实验 测出
2、） . 3 适用条件：只适用于 质点 间的相互作用，当两个物体间的距离 远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用， 4特殊情况： （ 1） 当两物体为质量分布均匀的球体时，也可用该表达式进行计算， 此时 r 是两球的 球心间的距离 （ 2） 一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力也适用， r 为 球心到质点 的距离 . 二 、万有引力定律在天体运动中的应用 解题思路 1 . 一般将行星或卫星的运动看做绕中心 天体的匀速圆周运动，其向心力由中心天体对绕行天体的万有引力来提供 . 2 222 2()nM m vG m a m m r m rr r T 依据是牛顿第二定律和万有引力定律 .
3、 解题思路 2. 地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，随着纬度的增加，物体的重力逐渐增大；地球表面的重力加速度也逐渐增大 .在赤道上重力加速度最小；两极的重力加速度- 2 - 最大 .在粗略 计 算时一般认为重力与万有引力是相等的，设 地球表面的重力加速度 g. 2MmG mgR ，所以2RGMg距离 地球高度为 h 处的重力加速度 gh： 2() hGMm mgRh ，所以2)( hRGMgh 应用一 、 求重力加速度 【例题 1】 设地球表面的重力加速度为 g，物体在距地心 60R（ R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度 g，则 g与 g 比值 为 解：在地球表面
4、2MmG mgR 在距地心 60R 处 2 (60 )GMm mgR 【例题 2】 月球 的质量和半径分别约为地球的 180 和 14 ，地球表面的重力加速度为 g，则 月球 表面的重力加速度约为 . 解：在地球表面 2MmG mgR 在 月球 表面 21801()4G M mmgR 月 三个重力加速度的比较 :g g g 月 问题：月球环绕地球做匀速圆周运动的向心加速度 an 是？ g 就是月球环绕地球做匀速圆周运动的向心加速 度 an. 应用二、 中心 天体质量 M和密度 的计算 测出环绕天体围绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T，由 2224MmG m rrT可得中心天体的质量
5、 2324 rM GT； 如 果 已 知 该 中 心 天 体 自 身 半 径 R ， 设 天 体 密 度 为 ， 13600gg21180 =1 54gg月（ ）- 3 - 3233343M M rV GT RR ； 如果环绕天体在中心天体表面附近运转，即 r=R 则有23GT【例题 3】某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测出的物理 量是 （ D ） A 行星的半径 B. 卫星的半径 C. 卫星运行的线速度 D. 卫星运行的周期 【例题 4】 已知地球半径为 R，地表附近一物体从高度 h1下落至地面所用时间为 t，若一卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度
6、为 h2，求卫星的运行周期 T 的表达式（不考虑地球自转的影响） 解： 对做自由落体运动的物体 21 12h gt在地球表面 2MmG mgR 对卫星 2224 ()()GMm m R hR h T2 3 2 2 32222 14 ( ) 4 ( )R h t R hT g R R h 最后提一个 问题：如何根据熟知的物理量求出地球的质量？ 最后做小结。 【 板书设计 】 万有引力定律 2 222 2()nM m vG m a m m r m rr r T 2MmG mgR - 4 - 来源：高考资源网 高考资源网() 四、课后训练题 1.天文学家发现某恒星有一颗 行星在圆形轨道上绕其运动，
7、并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出 （ C ） A行星的质量 B行星的半径 C恒星的质量 D恒星的半径 【解析】设测出的行星轨道半径为 R，周期为 T，恒星的质量为 M，行星的质量为 m ，则由RTmRGMm 222 4 得， 2 324GTRM ，故 C 正确。 2.据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度 200km，运行周期 127 分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件 不能 求出是 （ B ） A月球表面的重力加速度 B月球对卫星的吸引力 C卫星绕月运行的速度 D卫星绕月运行的加速度 【解析】设月球半径为 R，则： 2)( hR mMG 月 )
8、(22 hRTm 月月 gmR mMG 2 卫月 mahR mMG 2)( 2)( hR mMG 月 )(2hRm 由 可知， A、 C、 D 均可求出，因不知卫星质量，不能求出月球对卫星的吸引力， B 正确。 3.探测器探测到土星外层上有一个环 .为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离 R 之间的关系来确定 （ AD ） A若 v R，则该环是土星的一部分 B若 v2 R，则该环是土星的卫星群 C若 v 1/R，则该环是土星的一部分 D若 v2 1/R，则该环是土星的卫星群 - 5 - 4.卡文迪许比较准确地测出了引力常量，其实验装置是
9、下图中的哪一个 ( B ) 5宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间 t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大到 2倍，则抛出点与落地点之间的距离为 3 L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数为 G。求该星球的质量 M。 【解析】 设抛出点的高度为 h，第一次平抛的水平射程为 x，则有 x2 +y2 =L2 （ 1） 由平抛运动的规律得知，当初速度增大到 2倍，其水平射程也增大到 2x，可得 (2x)2 +h2 =( 3 L)2 （ 2） 由以上两式解得 h=3L（ 3） 设该星球上的重力加速度为 g，由
10、平抛运动的规律得 h=21 gt2 （ 4） 由万有引力定律与牛顿第二定律得 mgRGMm2（式中 m为小球的质量） （ 5） 联立以上各式得：22332 GtLRM 。 6月球绕地球做匀速圆周运动，已知地球表面的重力加速度为 g0，地球的质量 M 与月球的质量 m 之比 M/m=81，地球的半径 R0与月亮的半径 R 之比 R0/R 3.6，地球与月球之间的距离 r 与地球的半径 R0 之比 r/R0 60。设月球表面的重力加速度为 g，则在月球表面有mgrGMm2 经过计算得出：月球表面的重 力加速度为地球表面的重力加速度的 1/3600。 - 6 - 上述结果是否正确？若正确，列式证明；
11、若有错误，求出正确结果。 7中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为 T=301 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。 (引力常数 G=6.671011 m3 /kg.s2 ) 【解析】 设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为 ，质量为 M ，半径为 R，自转角速度为 ，位于赤道处的小物块质量为 m， 则有 RmRGMm 22 T 2 334 RM 由以上各式得23GT，代入数据解得： 314 /1027.1 mkg
