1、种群生长的非线性差分方程模型及稳定性分析作者：赵东涛 李文潮 陈长生 【关键词】 种群 关键词: 种群;非线性差分方程;稳定性 摘 要:目的 寻求种群生长的数学模型. 方法 差分方程理论. 结果 建立了描述种群生长的非线性差分方程模型. 结论 该非线性差分方程模型具有良好的可靠性和稳定性. Keywords:population;nonlinear difference equation;stabili-ty Abstract:AIM To find a mathematical model of population growing.METHODS Theory of difference
2、equation.RESULTS Model of nonlinear difference equation that de-scribes the growth of population has been established.CONCLUSION Model of nonlinear difference equation has the advantage of reliability and stability. 0 引言 为了确定将来一个种群中动物的规模，我们考虑构造一个数学模型，以反映该种群生长的内在变化规律.在其生命历程中，我们总是假定种群繁殖或是死亡的概率与该种群的数目无
3、关，都保持不变，显然，这只有在种群规模足够小以致于它的成员之间没有相互影响的情形下才能成立.事实上，在有限的环境里，任何种群的生长终究要受制于资源以及种群个体之间的相互影响，有限的资源必将抑制种群进一步的增长，因此，如果不考虑系统外部因素的影响，种群迟早会趋于饱和状态1 . 1 非线性差分方程模型的建立 我们定义变量 N（t）为时刻 t 时种群中动物的数目，b 和 d 分别是种群的生殖率和死亡率，一般来说，它们都是种群数目 N 的函数，分别记为 b（N）和 d（N）.事实上，在一个有限的环境里，当种群数目 N 增长时，b（N）趋于减少而 d（N）趋于增长，记种群的增长率 r（N）=b（N）-d
4、（N） 2 .当生殖率等于死亡率时，即增长率为零时，种群就会达到平衡状态，我们称此时的种群数目 N=N 为种群的“饱和水平”.考虑在一个很短的时间t，t+t内，有 b（N）N（t）t 个动物出生以及 d（N）N（t）个动物死亡，t+t 时动物的数目 N（t+t）应该等于时刻 t 时动物的数目 N（t）加上时间t，t+t内出生的动物数目再减去它们的死亡数，于是 N（t+t）=N（t）+b（N）N（t）t-d（N）N（t）t，我们把上式写成:N（t+t）-N（t）t =r（N）N（t） （1）其中 r（N）=b（N）-d（N）为种群的增长率，为了确定其解析表达式，我们把它展开成 Taylor 级数
5、:r（N）=r0 +r1 N+r2 N2 +r3 N3 +，略去高阶项，取前两项作为其近似的解析表达式，即 r（N）=r0 +r1 N，这是一个含有两个参数 r0 和 r1 的方程，考虑到当 N=N 时种群增长率为零，即 r（N ）=0，从而确定参数 r1 =-r 0 N ，这样我们就得到种群增长率 r（N）的表达式为:r（N）=r0 1-N（t）N ，并由此建立了描述种群生长规律的非线性差分方程:N（t+t）-N（t） t =r0 1-N（t）N N（t） （2）下面我们给出差分方程（2）的解.记 N =N（t） ，=0，1，2，则 N1 =N0 +r0 （ 1-N0N ）N0 t，N2 =
6、N1 +r0 （1-N1N ）N1 t，N =N-1 +r0 （1-N-1 N ）N-1 t，通过迭代法可以确定时刻t=t 时种群的数目 N =N（t）. 2 稳定性分析 非线性差分方程（2）描述了种群生长规律，分析这个差分方程性质就可以了解种群系统的状态.为此我们定义系统平衡的概念:如果系统满足条件 N（t+t）=N（t） ，就称这个系统处于平衡状态.对差分方程（2）而言，这就意味着:r0 1-N（t）N N（t）=0. 我们从这个方程中得到系统的平衡点 N=0 及 N=N ，鉴于模型（2）仅对数目相当大的种群才适用，所以不必考虑平衡点 N=0 及其附近的性质，下面我们只研究在平衡点 N=N
7、 附近的性质.为此我们假设在 N=N 处有一个很小的负扰动 （t） ，则:N（t）=N +（t）=N 1+（t）N =N 1+（t） ，其中扰动率 （t）=（t）N ，差分方程（2）等价于 （t+t）-（t）t =-r0 （t）-r0 2 （t）.在上式中略去高阶无穷小-r0 2 （t） ，得到 （t+t）=（1-r0 t）（t） ，记 =（t） ，=0，1，2，其中0 是初始扰动率，于是 1 =（1-r0 t） 0 ，2 =（1-r 0 t） 2 0 ，n =（1-r0 t）n 0 . 如果即时，则当 1-r0 t1，既 00 t2，则当 n时，（nt），此时平衡是不稳定的;如果 1-r0
8、t0，即当 r0 t1 时，（nt）的符号正负交错，此时解是震荡的;当 r0 t1 时解是非震荡的. 综上所述，在平衡点 N=N 处有一个很小的负扰动 （t）时，有如下结论:如果 0 处的平衡是稳定的、非震荡的;如果 12，系统在N 处的平衡是不稳定的、震荡的. 3 实例 为了验证非线性差分方程模型（2）的可靠性，我们用它来预测美国1790/1950 年间的人口数，计算时分别取 1790 年、1850 年和 1910 年的人口普查数据为起始点，时间步长 t=1a，确定了模型参数 r0 =0.3134，N =197268200.计算结果表明用非线性差分方程模型（2）得到的预测数与美国每 10 年
9、 1 次 的人口普查的数据相当吻合，具体结果见 Tab1. 表 1 美国人口普查结果与非线性差分方程模型的预测数 略 4 讨论 稳定性分析对于预测非线性差分方程的特性，进而预测种群系统的增长特性具有重要的意义，实际计算的结果也表明了非线性差分方程模型（2）的可靠性和稳定性.同时，我们也注意到当t 充分大时，确切地说是当 r0 t2 时，非线性差分方程（2）所描述的系统在 N=N 处将出现不稳定的状态. 计算前应当验证时间:t 步长只有满足条件 0 对于非线性差分方程（2） ，我们令t0，就可以得到著名的Logistic 方程3-5 :dN dt=1-N（t） N N（t）. 参考文献: 1Pi
10、elou EC.An introduction to mathematical ecology（Shuxue shengtaixue yinlun） M.Beijing:Kexue Chubanshe（Scienti-fic Publishing House） ，1978:5-33. 2Hoppensteadt FC，Peskin CS.Yixue he shengming kexue zhong de shuxue wenti（Mathematics in medicine and the life sciences） M.Beijing:Shijie Tushu Chuban Gongsi
11、（Beijing World Publishing Corporation） ，1997:5-44. 3 Zhou HW.Yiyong shengwu shuxue（Biomathematics in medicine） M.Beijing:Renmin Weisheng Chubanshe（People Health Publishing House） ，1990:6-18. 4Chen CS，Xu YY，Wu B，Shang L.Multivariate growth curve model of longitudinal data in medical research J.Di-si Junyi Daxue Xuebao（J Fourth Mil Med Univ） ，2000;21（6）:673-675. 5Chen CS，Xu YY，Wu B.Response feature analysis of longitu-dinal data in medical research J.Di-si Junyi Daxue Xuebao（J Fourth Mil Med Univ） ，2000;21（1）:15-17.
