1、初中数学探究性问题的设计1 什么是数学探究性问题数学探究性问题是由探究性内容目标特征和探究性行为目标特征构成的数学问题系统探究性内容目标特征是指在数学问题系统的四个要素条件、解题依据、解题方法、结论中，通过对其中的某几个（至少两个）要素进行分析、综合、观察、归纳、概括、推理、判断等一系列探究活动而确定其他要素的问题特征；探究性行为目标特征是指在问题的解决过程中，通过操作、观察、猜测、思考获得的感性经验，体现主动的、建构的、体验的、发现的学习方式等行为特征我们通俗地解释为：数学探究性问题是指在问题的解决过程中，以学生独立自主或合作讨论为学习形式，运用操作、猜想、分析、实验、推理、归纳、发现等学习
2、方式解决的数学问题2 数学探究性问题设计的类型初中数学探究性问题可按年级分类型进行设计，每个年级可分成“数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践”四部分，每一部分又可分为操做实验型、探索规律性、应用探究型、阅读探究型、推理探究型等类型下面通过举例来说明21 操作实验型操作实验型问题设计，一般是几何图形通过折、剪、拼等几何实验或是对图形的分割与重组，进行动手实践的问题在解决问题时，需要通过平移、轴对称、旋转、位似等基本的图形变换，运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明、探索和发现问题的各种答案，并对数学本质产生一种新的领悟，使学生的认知结构得到有效的发展设计实验 1：正方形拼图请按照要
3、求进行正方形拼图并分析规律问题 1：如图 1，把两个边长为 1 的正方形重新分割，请探究是否能拼成一个新的正方形若能，请说明有几种拼法（画出裁剪线和拼图） ，并求出新正方形的边长；若不能，请说明理由问题 2：如图 2，把两个边长为 2 和 1 的正方形重新分割，请探究是否能拼成一个新的正方形若能，请说明有几种拼法（画出裁剪线和拼图） ，并求出新正方形的边长；若不能，请说明理由问题 3：如图 3，把两个边长分别为 和 的正方形重新分割，请探究是否ab能拼成一个新的正方形若能，请说明有几种拼法（画出裁剪线和拼图） ，并求出新正方形的边长；若不能，请说明理由问题 4：说说从上述三个问题的探究过程中，
4、你发现正方形拼图有什么规律通过对本题的探究，从特殊到一般情形，将两个正方形重新分割后拼成一个新的正方形，让学生体会到：拼图实际上是图形的变换，在图形变换过程中图形的面积保持不变；在问题 3 中，新正方形的边长可以利用变换前后面积不变的等量关系列方程求解；拼图的关键是找能拼接的边和全等的图形这也是对本题中数学本质的一种领悟22 探索规律型探索规律型问题设计，一般先给出前三项，让学生探索第四项或后面某个特定的项，再探索第项的规律这样由特殊到一般，由简单到复杂，逐步深入通过操作、猜想、运算、推理、归纳n等深层次的探索活动得到答案此类题目形式丰富多样，内容覆盖广泛，可涉及初中“数与代数”“图形与几何”
5、 “统计与概率” “综合与实践”四个学习领域的内容，也是各省市中考命题中常见的一种题型设计实例 2：标准纸问题我们把长和宽之比为 的矩形纸片称为标准纸不难发现：将一张标准纸一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸（如图 4） 现有一张标准纸 两边 、 分别等于 和 ，ABCDB12则第 4 次对开后所得标准纸的周长是 ，第 2013 次对开后所得标准纸的周长是 ，第 次对开后所得标准纸的周长是 n本题探索第 次对开后所得标准纸的周长，难度较大因此，设计了先求第 4 次和第 2013 次对n开后所得标准纸的周长，解决问题时，要求学生能通过观察、实验、归纳、推理获得猜想，并综合运用相似形、矩形的
6、性质解决实际问题这样的问题设计符合初中阶段学生的思维特点，可以培养学生在合情推理的基础上再用所学知识进行验证并推断出正确结论的能力23 阅读探究型阅读探究型问题设计，一般用于新定义（新概念） 、方法类比、判断推理或迁移发展等类型的问题通过阅读理解，用新定义（新概念）解决的一个相关问题；或类比提供的材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；或对提供的材料进行归纳概括，依据对材料本质的理解进行推理，作出解答；或从提供的材料中，通过阅读理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类似更高层次的相关命题设计实例 3：阅读材料：如图 5，过ABC 的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条
7、直线之间的距离叫ABC 的“水平宽” （a） ，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高” （h） 我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面ABC1S2积等于水平宽与铅垂高乘积的一半证明： ABCDACS1212()2hha（其中， 、 是直线 与外侧两直线之间的距离）12A研究拓展我们如果把ABC 放到平面直角坐标系中来研究（如图 6） ，设 ， ，(,)Axy(,)Bxy， ，则铅垂高： ，水平宽： (,)Cxy(,)DxyADhyCa 1()(2ABADCBSahx问题探究：如图 7，抛物线顶点坐标为 C（1，4）交 x 轴于点 A（3，0） ，交 y 轴于
8、点 B.（1）求抛物线和直线 AB 的函数解析式；（2）设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接 、 ，当点 运动到顶点PBP时，求 的铅垂高 及 ；CABDCABS（3）在（2）的条件下，是否存在一点 P，使 ，若存在，求出点 的坐标；若ABC9S8 不存在，请说明理由这是一个运用新概念解决问题的典例通过阅读材料，让学生读懂在平面内三角形面积的推广公式，并运用到平面直角坐标系内，用坐标表示三角形的面积公式，再在综合题中运用三角形面积公式解决相关问题问题由浅入深，符合学生的认知规律，有利于培养学生的阅读探究能力24 应用探究型应用探究型问题设计，要与学生的生活实际紧密联系，问题的背
9、景尽可能是学生熟悉的，以引起学生探究的兴趣常见的问题背景有通讯收费、按揭贷款、存款利息、打折销售、工资待遇、运输费用、工程造价、旅游价格、行程问题等问题的设计要注意让学生通过探究感受到“生活处处有数学” ，同时让学生获取生活智慧设计实例 4：问题背景：今年四月份，李大叔收获洋葱 30 吨，黄瓜 13 吨现计划租用甲、乙两种货车共10 辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱 4 吨或黄瓜 1 吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各 2 吨探究 1：李大叔安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来探究 2：若甲种货车每辆要付运费 2000 元，乙种货车每辆付运费 1300 元，请
10、你帮助李大叔算一算应选哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？这是一个运输问题，背景是李大叔销售收获的洋葱和黄瓜，需要租车问题的探究点：一是设计租车方案；二是探究运费最省的方案这样的设计，不仅可以激发学生主动探究的热情，而且也提高了问题本身的价值应用探究型问题能充分体现数学建模的特点和过程，它具有教强的挑战性、探索性、实用性，并可以在不同水平上运用多种模型来分析和求解25 推理探究型推理探究型问题设计，既要重视逻辑推理，又要重视观察实验、探索猜测、类比归纳等合情推理在封闭性证明题中，将要证明的结论隐去，并改用“是否存在” “是否成立”等问句表述，就可将原证明题设计成探究型问题有些特殊的封闭性
11、问题，将其特殊的条件加以推广，也可以得到推理探究型问题课本的例题和习题中有不少证明题可以通过增加、变换情境，改变设问方式，将封闭性问题改为推理探究型问题设计实例 5：已知，如图 8（1） ，在正三角形 ABC 中，M，N 分别是 AC，AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若BON=60，试问 BM 与 CN 相等吗？请说明理由拓展探究 1：如图 8（2），在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 CD，AD 上的点，BM 与 CN 相交于点O，若BON=90，试问 BM 与 CN 相等吗？请说明理由拓展探究 2：如图 8（3），在正五边形 ABCDE 中，M，N 分别是 CD，DE 上的
12、点，BM 与 CN 相交于点 O，试问 BM 与 CN 相等吗？请说明理由拓展探究 3：如图 8（4），在正 n（n3）边形 ABCDEF中，M，N 分别是 CD，DE 上的点，BM与 CN 相交于点 O，试问当BON 等于多少度时，结论 BM=CN 成立？此题原本是一个封闭性的证明题，将原题的问题“证明 BM=CN”改成“试问 BM 与 CN 相等吗？请说明理由”，并将特殊的条件“正三角形 ABC，BON=60”拓展到“正方形 ABCD，BON=90”继续探究原结论是否成立，在拓展探究 2 中又隐去了条件“BON=108”，使得结论更加开放，最后推广到在正 （ ）边形中探究结论成立的条件这样的设计，通过一步步的推理探究，n3由易到难，由简单到复杂，由具体到抽象，结论由单一到多元，拾级而上设计的问题有认识基础，引人入胜，容易激发学生探究的欲望数学探究性问题的价值不仅在于巩固知识、反馈信息，更重要的是在自主探索与合作交流的过程中真正理解数学知识、形成技能、获得数学思想和方法、拥有广泛的数学活动经验、培养良好的数学素养，能够自主探索和创新，有可持续发展的能力因此，在设计探究性问题时，要注意了解学生的关注点和兴趣点，要尽可能地了解学生的生活实际，在生活中寻找知识的原型，让学生在问题探究的过程中以积极的心态，调动原有的知识和经验，尝试解决新问题，同化新知识，并积极建构新知识
