1、肿瘤热疗法的数学模型基础作者：商立军，李予蓉，翟雪焕，王莉 【关键词】 肿瘤 【Abstract】 AIM: To discuss the method of developing a mathematical model of heat therapy for tumors and to provide its theoretical basis. METHODS: The heat transfer equation, the energy density distribution and the solid integrate method were used according to
2、different shapes and characteristics of the tumors. RESULTS: The exact function relation of spatial temperature distribution in tumors and the estimate of VT for evaluating the effects of the heat therapy were obtained and the exact expression for different tumors was obtained respectively. CONCLUSI
3、ON: The mathematical model can accurately describe the temperature of tumors and can be used clinically to control the heat therapy. 【Keywords】 neoplasms; diathermy; microwaves models theoretical 【摘要】 目的探讨建立肿瘤热疗法数学模型的方法，给出其理论依据. 方法：利用热传导方程、能量密度分布和体积分方法，根据肿瘤的不同形状和特征，进行相应的简化和积分运算. 结果： 得到了描述肿瘤热疗温度空间分布的
4、精确函数关系和用于估计肿瘤热疗效果的 VT的估计式，并针对不同形状的肿瘤给出了具体表达式. 结论： 此模型可较好地描述肿瘤内部的温度分布，据此可应用于临床的肿瘤热疗控制. 【关键词】 肿瘤；透热疗法；微波；模型，理论 0 引言 微波高温热疗是当前辅助放射疗法和化学疗法治疗肿瘤的有效方法1，2 ，利用插入式微波天线高温原位灭活治疗骨肿瘤近年来在临床上也得到了广泛的应用3-5. 如何利用少量的微波天线获取大量的有关肿瘤的空间温度分布的信息，借此用以指导临床关于天线数量、位置的放置和控制肿瘤的加热，一直是人们关心的问题6-9. 为此，本文探讨肿瘤热疗法的数学模型，为临床应用提供理论基础. 1 肿瘤热
5、疗法的原理 任何细胞都有一定的温度效应，正常组织受热时，血管局部扩张，通过增大血液流动可将热量带走；而对肿瘤，由于其内部血管较少，受热时，肿瘤内部热量不易散失，利用此性质，加热肿瘤及其四周的正常组织，达到一定温度（通常为 4345）时可引起肿瘤细胞死亡，而正常组织不受影响，从而达到治疗目的. 据此，正确地监测肿瘤内部的温度是至关重要的问题. 临床上常采用向体内组织插入导管，通过探针在导管内的移动来测量和控制不同位置上的温度. 2 肿瘤温控的数学模型 实际上，要想精确地确定肿瘤内部温度的分布不太可能且无必要，为此，用变量 VT/V来表示与肿瘤内部温度有关的治疗作用，其中 V为肿瘤的体积，VT 为
6、温度大于临界温度 TC的那部分体积. 由此可见，VT/V可用来估计治疗效果. 2.1 一般方程为了求出 VT，必须知道肿瘤内部的温度分布，然后对TT0部分的体积进行体积分，求得 VT. 求温度分布可用如下的热传导方程，式（1）： Tt(x,t)=Kt2T(x,t)+Q(x,t)-WbCBT(x,t) 式中 Kt是热传导系数，CB 是血液的热容量，Wb 是血液流的热交换系数，Q（x,t）是加热过程中吸收热量的密度分布，T（x,t）是单位体积高于动脉基线温度的温度. 要解此方程需要相应的边界条件和初始条件. 由于肿瘤周围组织的性质与类型不同，系数 Kt是未知，血液流动分布状态的时空变化也是未知的，
7、且边界及表面加热方式的复杂性，都使求解方程（1）很困难；即便可以求解，临床应用也很复杂，显得不很实用. 为此，应考虑其他的方法. 2.2 简化的模型临床上常利用导管探针来测量和控制肿瘤的温度，因而可考虑利用沿导管的温度分布（一维的测量）来大致得到肿瘤的温度分布，从而求出达到治疗温度时的体积比例 VT/V的目的. 为此，假设肿瘤内部温度有一个极大点，位于肿瘤的中心；同一温度 Tm的点构成等温面 T（x,y,z）=Tm，肿瘤周界与正常组织相连而维持在一个固定的温度，用 Te表示，即等温面 T（x,y,z）=Te 和肿瘤的形状是一致的；边界形状满足式（2）：=R（，）表示原点到周界的距离为沿（，）方
8、向,一射线与周界曲面交在 R处. 假定温度探针是沿某一特定方向（，）跨越肿瘤半径（探针的端点可指到肿瘤中心） ，以无量纲的 表示这一方向的“折合半径” ，即式（3）：（，）=/R（，） ， （01） ，则 可用来比较沿不同半径的温度分布. 设 T（）=f（） ，f 是严格递减函数， f(1) =Te，f(0) =Tm，因f单调，反函数存在：（T）=f-1(T)，任给 T（Te 假定各向同性，则任一点（，）的温度只取决于折合半径，即 T（，）= f（/R（，） ）=f（） ，f-1(T) =/R（，）= T，故 T= f-1(T)R（，）= TR（，）（4） 上式即为温度分布. 最后计算 T（，
9、）= Tc等温面所围的体积，只需做三重积分，在球坐标下为： VTV=1V2=0=0t(,)=0dv 其中 dv=2sinddd V=200(,)0 dv 故 VT/V=3T=f-1(T)3（5） 利用（5）式即可得到对肿瘤温度的测量和控制，实际应用中，若肿瘤为规则的球形，则问题相当简单，VT/V=3T=（Tm-Tc）/（Tm-Te） 3，可由 Tc的值来确定. 若肿瘤为规则的椭球、星形曲面的旋转体等，都可以通过选择合适的坐标利用体积分来解决. 当然，这里我们假设肿瘤内部温度在肿瘤几何体中分布是各向同性的，如果肿瘤内部的温度分布不满足此假设，比如是临床上已扩散的恶性肿瘤，没有确定的边界，且温度分
10、布主要受加热器的热分布影响时，就必须探讨另外的途径了. 3 扩散肿瘤热疗法的数学模型 对于已扩散的恶性肿瘤，它没有确定的边界，且温度分布主要受加热器的热分布影响时，讨论这种类型肿瘤热疗法的数学模型，对于临床应用具有同样重要的意义. 3.1 临床标准用加热器的能量密度分布如 Fig 1所示为临床典型的加热设备，加热器是圆盘形，皮肤表面防止冷却包是为了防止皮肤烧伤. 对于这种加热设备，其能量密度分布可利用柱坐标来求出，它是指数衰减的（向着组织内部）. 图 1加热设备 Fig 1Heating instrument（略） Z=0 在表面，r 是圆盘的方向，则： Q=Q0exp(-Z)exp(-(r)
11、2)（6） 其中 是组织的衰减系数， 是径向高斯分布的密度，Q0 是在（0，0，0）点的能量密度. 式（6）表示加热器远交的能量沿 Z轴方向是指数衰减，r 方向是高斯型分布，绝大多数热量是交在沿 Z轴表面附近. 3.2 求温度分布的一般方法式（6）是热量分布的形式，要求出温度分布需要对其求偏导数并求解偏微分方程. 虽可用分离变量法求解，但方程本身很复杂，计算将很困难，临床应用就更困难. 为此，需要找出其他的方法，仿文献5中的方法来估计 VT. 3.3 对 VT的估计结合热传导方程，假定血液流动迅速耗散热量，则任一点的温度分布可近似表示为式（7）：T（r,z）=Aexp(-(r)2)exp(-Z
12、)-exp(-w1/2z) ，其中 A=Q0/Kt(w-2), w=wbcb，各参数的定义同热传导方程. 为了求出 VT/V，首先要求出等温面 T（r,z,）=TC 的方程，再估计VT/V. 由（7）式，令 T（r,z）=TC 得： exp(r)2 =A/TCexp(-Z)-exp(-w1/2z) ， r2(z)=（1/2）-z+ln1-exp(-w1/2z)+c，其中c=ln(A/TC). 等温面为一族绕 z轴的旋转面，与到轴的距离和到皮肤的距离有关. 由此对 VT的估计有 3种方法： 求如下积分：V=q9r2(z)dz，由于被积函数复杂，且 ln很难积分，同时确定积分的限要解超越方程 r2
13、(z)=0，而这更难； 数值积分的方法，可用计算机来计算，但工作量大，临床上不很适用； 对等温面做近似，利用导管探针的实测温度来估计VT. 可将等温面近似为椭圆、抛物面等，再结合导管探针的实际插入测得的温度与导管间的相对位置，很容易估计出 VT，详见文献5. 4 讨论 本文指出的方法，建立了肿瘤热疗法的数学模型，是其临床应用的理论基础. 虽然工作比较复杂，但还比较精确. 不仅可以测量肿瘤的温度，还可以指导临床，找出插入导管的正确方法和位置. 尽管做了许多假设，但都是合理的，利用微积分和几何的方法，易于实现对温度的测量和检测，是加热疗法的理论基础. 但临床情况复杂，各类肿瘤的几何形状、组织性质、
14、血管分布及流动方式都不一样，加热方式也不同. 因此，必须结合临床才能发挥数学模型的作用，同时只有通过临床医学不断地实验和理论的不断融合，才能最大限度地发挥其作用. 参考文献： 1 Frassica FJ, Chao EYS, Sim FH. Special problems in limb salvage surgery J. Semin Surg Oncol, 1997;13(1):53-55. 2 Horigome H, Nomura T, Saso K. Standards for selecting percutanaous ethanol injection therapy or p
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16、agement of malignant or aggressive bone tumors of extremities J. Disi Junyi Daxue Xuebao (J Fourth Mil Med Univ), 1999;20(12):1024-1028. 4 Strohbehn JW. Inverse techniques in hyperthermia: A sensitivity study J. IEEE Trans Biomed Eng, 1994;41(4):373-382. 5 Samulski TV, Cox RS, Lyous BE, Fessenden P.
17、 Heat transfer and blood flow during hyperthermia in normal canine brain J. Intern Hypert, 1988;5:249-263. 6 Liu YH, Yang GS, Wang JQ, Wang H. The infection of the length and the inserted depth of microwave antennas for hyperthermia J. Disi Junyi Daxue Xuebao (J Fourth Mil Med Univ), 1998;19(Suppl):
18、28-30. 7 Yang GS, Jing XJ, Wang JQ, Xiang HY. Ttemperature measurement technology in microwave hyperthermia instruments J. Disi Junyi Daxue Xuebao (J Fourth Mil Med Univ), 2001;22(3):286-287. 8 Wang SH, Sui XW, Zhang LR. Measurement and control on temperature in the microwave hyperthermia instrument J. Yiqi Yibiao Xuebao (J Appar Instrum), 1997;18(2):113-118. 9 Fan XY, Yang GS, Wang H, Chen SP. Development of control system for microwave bonetumor therapeutic device J. Disi Junyi Daxue Xuebao (J Fouth Mil Med Univ),2001;22(7):662-664.
