1、关于无穷小量进行无限次运算的探讨数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业【摘要】无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述，是现今数学领域的一个引人注意的课题.无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等数学中占有很高的地位当运算从有限变到无限时，很多在有限运算中成立的结论在无限运算中却不成立无穷个无 穷小量的乘积不一定是无 穷小就说明了这一点 对 于这个问题，很多人做了研究，并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情形本文先阐明了无穷小量的历史发展过程，理清无穷小量的概念与性质.
2、从无穷小量的代数和与积两个方面对无穷小量的无限次运算进行进一步完善的探讨.给出了无限个无穷小量代数和与积仍为无穷小量的条件.【关键词】无穷小量；无限次代数和；无限乘积目录关于无穷小量进行无限次运算的探讨 .I1 课题背景与发展概况 .11.1 课题背景 .11.2 无穷小量的发展史 .12 无穷小量的概念及基本性质 .22.1 无穷小量的概念 .22.2 无穷小量基本性质 .23 无穷小量进行无限次运算的探讨 .33.1 无限个无穷小量的代数和 .33.1.1 举例说明无限个无穷小量的代数和 .33.1.2 无限个无穷小量的代数和为无穷小量的条件 .43.2 无限个无穷小量的积 .43.2.1
3、 无限个无穷小数列的积 .43.2.2 无限个无穷小函数列的积 .53.2.3 无限个无穷小量积为无穷小量的条件 .64 结束语 .8参考文献 .8- 1 -1 课题背景与发展概况1.1 课题背景极限与无穷小量是微积分学的基础概念之一.它们不但贯穿了整个微积分学，同时为后续课程的学习打下了扎实的基础知识它们的重要意义在于微积分、微分学、积分学中等一系列概念都是建立在极限与无穷小的基础上.从历史上看，建立极限与无穷小量的概念，并不是一帆风顺的是经过漫长的历史时期，不乏在数学界经过激烈的争论，在第二次数学危机下,由柯西逐渐完善的.可以这样说:没有极限与无穷小量就没有微积分学.无穷小思想在微积分和数
4、学分析的早期发展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述，是现今数学领域的一个引人注意的课题.例如上世纪ARobinson建立了“非标准分析” ，被视为一个重要数学进展.无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等数学中占有很高的地位在对无穷小量性质的理解中，学生能够理解有限个无穷小的乘积是无穷小，但却主观上认为无穷小乘无穷小会“越变越小” ，因而错误认为无穷个无穷小也是无穷小而事实并非如此当运算从有限变到无限时，很多在有限运算中成立的结论在无限运算中却不成立无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小就说明了这一点对于这个问题，很多人做了研究，
5、并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情形为此，本文对这个问题的进行进一步全面的探讨.讨论无穷小量无限次运算，包括无限个无穷小量代数和与积.1.2 无穷小量的发展史人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程，正如Hilbert所指出的：“无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧；更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清. 1 他还指出“数学是处理无穷的科学” 数学史上所谓3次危机都与无穷有关，它在本质上源于人们对无穷的认识不断深入的过程中所引起的认识上的困难我们可以把到目前为止人们对无穷小的认识大体上分为以下5个阶段 2第一
6、，对无穷小认识的初级阶段是早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派为了解决不可公度的问题，提出了“原子论”作为一种非常小的度量单位此后，无穷小伴着古希腊的“穷竭法” ，卡瓦列利的“不可分量原理” ，促使微积分方法的萌芽和发展在我国，则有战国时期(公元前446-256 年)的分杵原理，即惠施提出的“一尺之杵， 日取其半，万世不竭”等第二阶段是以微积分的诞生为标志，对无穷小量的认识经历了三百年左右的曲折认识，到19世纪才将无穷小量作为其极限为零的变量使用这是属于潜无穷的认识阶段承认潜在可实现性抽象在逻辑上可以导出数学归纳法原理第三，19世纪70年代集合论的建立，使人们对无穷小量的认识进入到实无穷阶段
7、实无穷抽象作为一种深远的理想化所生成客体的“现实性”并不是直接的.在逻辑上，承认实无穷抽象导致承认排中律而把它作为一条逻辑原理第四，20世纪60年代的非标准分析将实数域扩大到超实数域，其中每一个通常的实数看成是超实数的标准部分，它的周围聚集着无穷小邻域即单子，对单子结构的分析，是认识无穷小的一个本质的进步但这种认识仍有其时代的局限性例如Robinson仅从数理逻辑的角度来认识无穷小，并且用“互补原则”来看待无集集合等事实上，无穷小世界并不满足因果律第五，20世纪80年代兴起的“超弦”理论，为无穷小理论提供了新的模型20世纪现代数学的发展，促使人们逐步认识到实数集合有离散性和连续性两方面每个实数
8、和数轴上唯一的点成一一对应，实数集合从代数的角度看，它呈现出群、环、域等离散性的侧面，而从拓扑的角度看，它是局部列紧的，又呈现出连续性的一面；实数集的无穷性看成潜无穷时，就要研究实数形成过程的一般性质，例如要用有理数列来逼近无理数；而看成实无穷时则是将实数集合当作一个数学客体来研究超弦理论- 2 -的基本思路是将基本粒子作为它的一种泛函空间来研究，而不再像传统的观点那样将基本粒子作为一个质点(几何点)来看待2 无穷小量的概念及基本性质2.1 无穷小量的概念1在收敛数列中,我们称极限为0的数列为无穷小量,例如数列 都是无穷小量.要注意,无穷1)(,2n小量是一个变量,而不是一个非常小的量. 3
9、2设 在某 内有定义.若f)(0xU0lim(),xf则称 为当 时的无穷小量 .4f0x3在柯西借助于严格的极限理论，明确指出了无穷小量是以0为极限的变量其本质是：无穷小量是一个变量，它在自己的变化过程中，就其绝对值而言，可以小于任何给定的正数e，或者说它可以无限地接近于0. 5综上：极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小). .0)(lim,0)(li,0)(lim,li 000 xfxfxf xxn4. 注意：（1）这里指极限，包括数列极限和六种形式的函数极限；（2）无穷小量是相对某个极限过程而言；（3）无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对值很小的数；（4）数0可视为无穷小量，但无穷小量
10、不一定是0.2.2 无穷小量基本性质由无穷小量的定义我们可以立刻推得如下性质 6性质 1 在自变量的同一变化过程中,两个无穷小量的代数和仍是无穷小量.证明： ,时 的 两 个 无 穷 小 量是 当及设 x 使 得,0,021N;21时 恒 有当 N2时 恒 有当 x,ma21取 恒 有时当 ,Nx，,- 3 -0()n性质 2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.证明： 内 有 界 ，在设 函 数 10)(xxu .)(,0Mxu使 得则,时 的 无 穷 小是 当又 设 0 00,.xxM 使 得 当 时 使 得 当 时恒 有 ,Mu.,0为 无 穷 小时当 ux性质 3 有限个无穷小量的乘积
11、仍是无穷小量.推论推论 1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.推论 2 常量与无穷小的乘积是无穷小.推论 3 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量.推论 4 无穷小以极限不为零的变量除量，其商仍是无穷小.3 无穷小量进行无限次运算的探讨3.1 无限个无穷小量的代数和3.1.1 举例说明无限个无穷小量的代数和我们由推论已知有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量，但是无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.无限个无穷小量代数和在某个角度上其实是一个以无穷小量为项的无穷级数，根据无穷级数的性质可以知道无限个无穷小量的代数和不一定收敛，即使收敛也不一定为无穷小量.不烦举例说明：例 1 为 时的无穷小量，但
12、是 发散.ntf)(011)(nntf说明无限个无穷小量代数和不一定收敛.例 2 设 10,1,)(ntttfn- 4 -则对于每个 为 时的无穷小量；)(,2tfn0220,1,)(nttf故 不再是 时的无穷小量.2)(ntf0t说明无限个无穷小量代数和即使收敛，也未必是无穷小量.综上：无限个无穷小量的代数和不一定收敛，即使收敛也不一定为无穷小量.3.1.2 无限个无穷小量的代数和为无穷小量的条件 7无限个无穷小量的代数和为无穷小量的充分条件：如果 都是无穷小量 且 关于 一致收敛，则 是无穷小量.knx.2,1k1limknnyxny证明： 111(),0mknSxN记 对 ， N， 使
13、 得 当 时 ， 对 一 切 有 ()2mnSyli()0, ,mnSn又 故 ， 使 得 当 时 ， 从 而 有 ()()mnmyy即 liny3.2 无限个无穷小量的积我们已经知道有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量，那么无限个无穷小量的乘积又是怎样呢？下面我们一起探讨这个问题.同样我们可以举例说明，无限个无穷小量的积不一定收敛，即使收敛也不一定为无穷小量.3.2.1 无限个无穷小数列的积 8定义：设 是无穷小序列，即对 （ 为自然数集）均有,.,.)()2()1(mnnxx Nm()lim0nx记 若对任意固定的 ，有 ，则称无穷乘积 收敛于 ，或者,.)()2(1)(nnmP()linP(
14、)1xnnP.()1xnm例 3 设 ,.14,32:1)( nan- 5 -,.14,3:2)( naxn)3( ,.1,.,1:)( mxmn令 .)()2()( nnxP（1）若 此时,3, )(mPanm 时 ，则 ()li,mnP即：无限个无穷小量的乘积可以是无穷大量.（2）若 此时 不存在.,)1(,.,21,)( )1 nm 时 ，则 ()lin（3）若 此时)(CCa mm 时 ，为 任 意 常 数 ） ， 则（ ()mnCP即：无限个无穷小量乘积可以是事先给定的任意常数.3.2.2 无限个无穷小函数列的积例 49设 ,01,0()(,1)nttfn则显然 为 时的无穷小量 .
15、)(tfn03,21(下证，对每个 均不收敛：10),ntft固定 存在正整数 使得 时，有,1(0t 0N0.1nt故 ,)()(011NnNntftf 000 )1(!)(1 NNNnttf 由于 不存在，故 不收敛.01lim()Nnftntf10)(说明无限个无穷小量的积不一定收敛.- 6 -例 5 设 对于 ，210,)(1txf nnnttxf210,)(11则对每个 均为 时的无穷小量.下面证明)(,1tfn0nk nnttf1210,)(从上式可知， 110,)()(limknktftf显然，其无穷乘积不再是无穷小量.说明了无限个无穷小量的积即使收敛，也不一定是无穷小量.3.2
16、.3 无限个无穷小量积为无穷小量的条件1. 充分条件：如果 都是无穷小量 且 关于 一致收敛，则 是无穷小量.knx.2,1k1limknnyxny证明方法同无限个无穷小量代数和.2充要条件I） 无限个无穷小数列为无穷小量的充要条件定理 1 设 是无穷小序列，即对 （ 为自然数集）均有,.,.)()2()(mnnxx N()lim0nx记他们乘积为 若对任意固定的 ， 存在，则)()(1)(Pn()limnP() ()lim0, .mn nnNP当 时 ，证明：（1） 必要性： ，从而有() ()11li0 2m mn nn NP若 ， 则 ， ， 当 时 ， ()2mnP，故 ()22.mn
17、NP， 当 时 ，- 7 -取 ()12max(,), .mnNnNP当 时 ， 有（2） 充分性： () ()0, limnn ， ， 当 时 ， 有 ， 由 于 存 在 ，从而上式中令 我们得到()li,m由 的任意性知 .()li0nmnP若利用定理 1,容易得到：推论 1 设 是无穷小序列，即对 （ 为自然数集）均有,.,.)()2()(nnxx N()lim0nx若他们乘积为 有意义，即对任意 ， 存在.若存在自然数 ，当)()(1)( mmPn()limnPk时，有 ，则 是一个无穷小数列.,nk)(nx)()2(1)(,mnnx证明： ()li01,2.),ink0, iiinN
18、x对 当 时 ， 有取 12max(,.,),iNNkm当 有()(1)2()(1)2(1)().kmknnnnnPxxx由定理 1 可知 ()li0mnnP即 是一个无穷小数列.)()2(1)(,mnnmxP推论 2 设 是无穷小序列，即对 （ 为自然数集）均有,.)()()( N()lim0nx若他们乘积为 有意义，即对任意 ， 存在.若存在自然数 ，当)()2(1)( mnnmxn()limnPk时，有 ，则 是一个无穷小数列.,nk)(常 数Ax)()2(1)(,nxP证明方法同推论 1.II）无限个无穷小函数列乘积为无穷小量充要条件 11设函数列 在点 的某领域内连续，且 即 为12
19、(),.,().mfxfx0 0lim()1,2.)xf()mfx无穷小量.设 1.miFf若 存在，则称 有意义，记作 在 连续且li()x1()mfx 1()().mFxfFx0- 8 -那么讨论 在 是否无穷小量的问题，即0lim().xFlim()Fx0x0lim().xF实质上是讨论连续函数列 的极限函数 是否在点 连续的问题，由数学分析 10()0x给出的充分条件，即要求 在 的某领域内一致收敛于 .因此有：()mx0 ()F定理 212 设函数列 在点 的某领域内连续，且12(),mfxfx0即 为无穷小量.设0lim()1,2.)xf()mfx1(),f1().mifx若 在
20、的某领域内一致收敛于 .则当 时， 为无穷小量F0xF0xFx若 存在，则称 有意义，记作 在 连续且li()m1()mfx 1()().mf0那么讨论 在 是否无穷小量的问题，即0li.xli0x0li().xF4 结束语以上的分析可以看出，人们对无穷小量经历了十分艰难的探索过程，也是人们对它的认识不断深化的过程，这个过程至今还远没有完成从古希腊朴素直观的认识，到潜无穷、实无穷，非标准分析再到今天的超弦理论，都是人们认识无穷小的不同层次，它既来源于人们对客观事物无穷变化过程的不同认识阶段，又不能与物质层次的不可穷性混为一谈，它是属于一种理想化的抽象正是这种理想化的抽象才能为人们对物质世界不断
21、深入的探索提供强有力的工具，人们对无穷小量不断深化的认识过程，也完全符合人们实践、认识、再实践、再认识的辩证法在这个认识过程中，旧的矛盾解决了，又会产生新的矛盾，需要人们去解决矛盾的不断涌现，并不是数学面临危机，相反地恰好显示出数学强大的生命力正是这种不断解决矛盾的过程中，推动数学不断向前发展. 换句话说，这才是数学发展的真正动力参考文献1 西蒙辛格.费马大定理M .上海:上海译文出版社,1998.2 匡继昌.微积分和无穷小量的哲学思考J. 数学教育学报 .2007,16(2):1-3.3 陈纪修,於崇华,金路.数学分析M. 北京: 高等教育出版社,2004,35-36.4 华东师范大学数学系
22、.数学分析M. 北京: 高等教育出版社,2001,59-60.5 李庆高.微分思想话今昔J. 潮潭大学自然科学学报,1994, 16(1):54-69.6 钟友明,王平平,柳健.微积分M. 北京: 科学出版社,2008,23-39.7 戎海武,王向东.关于无穷大和无穷小的几个问题J. 高等数学研究 ,2007,3-5.8 许必才.关于可列个无穷小乘积的例子J. 西南民族大学学报 (自然科学版),2005, 31(3):473-474.9 李艳丽.无穷小量运算的一个注记J. 雁北师范学院学报 ,2005,21(2):68-69.10 华东师范大学数学系.数学分析M. 北京: 高等教育出版社,20
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24、ract: Thought Infinitesimal plays an important role in early development of calculus and mathematical analysis. It is also a key concept for understanding of calculus. Its a attractive subject in modern mathematic field, that recognition of Infinitesimal and strictly re-exposition. Infinitesimal is
25、an important concept in advanced mathematics. It holds a high status in advanced mathematics. When the operation changes from the finite to the infinite, many conclusions established in limited operation are not true when in infinite one. The product by endless Infinitesimal numbers which is not sur
26、e to get an Infinitesimal number proves this point. For this issue, many people do the research, making many examples. However, they havent summarized all cases of the product by endless Infinitesimal numbers.The article firstly illustrates the historical development of Infinitesimal, clarifying the
27、 concept and the nature of the Infinitesimal. And then do further research of the Infinitesimal endless operation from the two sides, the algebraic sum and product of Infinitesimal, given the conditions of endless Infinitesimal algebraic sum and product still being Infinitesimal.Key words: Infinitesimal; endless algebraic sum; endless product.
