1、XX 师范大学毕业论文设计1XX 师范大学数学系毕 业 论 文题 目: 新课程下的正弦定理教学模式探索学院(直属系): 数学与应用数学（金融方向）年级、专业: 20XX 数学与应用数学 学 生 姓 名: X X X 学 号: XXXXXXXX 指 导 教 师: XXX (副教授） 完 成 时 间: 20XX 年 X 月 X 日 XX 师范大学毕业论文设计2新课程下的正弦定理教学模式探索数信学院 数学与应用数学专业 【摘 要】新课标提出了现实教学观、活动教学观、过程教学观、 “再创造”教学观、数学化教学观。而目前正弦定理教学存在着忽视对正弦定理内容探究，对正弦定理进行灌输式教学，忽视正弦定理的现
2、实背景等问题。本文依据上述理论和现象设计正弦定理的教学案例。【关键词】正弦定理，教学设计，教学观，教学误区1 现代数学教学观1.1 现实教学观弗赖登塔尔认为“数学现实”是客观现实与人的数学认识的统一体。每个学生都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。也就是说每个学生都有自己的“数学现实” 。数学教学的任务就是应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实” ，并且根据学生实际拥有的“数学现实”采取相应的方法予以丰富，予以扩展。“数学现实”要求我们，为了使学生对数学学习感兴趣，主动参与特定的数学活动，使数学教学顺利展开，
3、教学活动必须关注学生的个人知识和直接经验。这就是说，教学活动要把学生的个人经验和现实世界作为数学活动的重要资源，以学生的发展为本，从学生的生活经验和知识经验出发，根据学生的年龄特点和心理发展规律选材。题材要广泛，呈现的形式要丰富多彩，充满着学生乐于接触的有价值的数学题材。基于学生的个人经验和现实世界的教学，不仅能解决数学问题，更重要的是让学生经历将现实问题转化为数学问题，实现数学化的过程，经历分析、发现、探究、解决问题过程，体验数学来源于生活，应用于生活，体验数学发现、数学创新的乐趣。1.2 活动教学观赖登塔尔认为：“如果将数学解释为一种活动的化，那么必须通过数学化XX 师范大学毕业论文设计3
4、来教数学、学数学”使学生在活动中思考，在思考中活动。让学生参与数学活动一方面可以是在教师的引导下自己分析、概括，形成概念或通过探究，发现、归纳、证明某个定理、规律，也可以让学生在课堂上做数学实验，验证、发现数学结论，还可以通过调查了解生活中的某些问题，用数学的观点看待这些问题，给出实际问题的数学模型，运用数学知识加以解决。 1.3 过程教学观现代知识观认为，数学知识包括结果性知识和“缄默知识” ，而且后一种知识对学习活动起支配作用，使人终生受益。鉴于此，新课程十分强调“过程” ，在总体目标和分领域目标中通过大量使用经历、体验、探索的字眼，明确规定了过程性目标。其实，数学教学的本质就是让学生不断
5、经历直观感知、观察分析、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思建构等活动过程，展示和发展思维，感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用数学的意识和创新思维，进而在获得数学理解的同时，思维能力、情感态度和价值观等多方面都得到进步和发展。重视过程就是要教师在教学设计中揭示数学知识发生、发展、演进、应用的过程，暴露知识的思维过程，让学生经历感知（情景）概括（建模）应用（实践）拓展的过程。1.4“再创造”教学观布鲁纳说过“探索是教学的生命线” ，这条生命线就是一个个大大小小过程的集合，可以说没有过程就谈不上探索，没有探索就没有创造。而数学中的每个公式、定理、
6、法则都是数学家辛勤探究的结晶，他们的探究蕴藏着深刻的数学思想方法。发现探究策略就是在教学中教师注意引导学生像科学家发现真理一样去学习，去体会创造的过程。一方面，鼓励学生观察、试验，用直觉或推理（特别是合情推理）提出猜想（定义、性质、法则、公式） ；另一方面，又教会学生善于运用推理方法，对猜想进行证明，然后建立这些发现物之间的联系，形成体系，得到类似于教科书的数学知识。1.5 数学化教学观数学发展的历史表明，数学概念的形成和发展，数学知识的应用和拓展，都有其丰富经历，都经过数学化的过程。数学教学是过程教学，数学教学就必须给学生展示数学化的过程，让学生学会数学化，学会运用数学方法观察现实XX 师范
7、大学毕业论文设计4世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，形成应用数学的意识。实施数学化教学策略就是以“问题情境建立模型解释、应用、拓展”的模式展开所要学习的数学主题，使学生在了解知识来龙去脉的基础上，理解掌握相应的学习内容。实施数学化教学策略的关键是依据学生的数学现实，利用数学知识的现实背景创设问题情境，让学生在探索中学习数学化。2正弦定理教 学 现 状当前中学数学素质教育非常苍白，只有课标、教材和教辅，没有生机、活力，更没有灵魂。长期以来，我们所传授给学生的数学知识，只剩下一副枯瘦的骨架，它只有知识、技能和思维，缺乏一些具有生命活力的东西，结果使得有许多学生感到数学枯燥无
8、味、害怕学数学，甚至不喜欢学数学。课堂教学效率是课改的第一生命，只有关注课堂教学效率，课程改革才能深入，“减负增效”的课堂教学新秩序的建立才有可能成为现实。必修 5 第一章第一节正弦定理的教学，目前存在以下误区：（1）忽视对正弦定理内容探究。教师只是注重了课本上的内容讲解，正弦定理的证明，运用，忽略了学生对正弦定理的理解，以及学生的兴趣，学习能力的培养。其实正弦定理有多种证明方法，是培养学生思维灵活性、敏捷性、广阔性的极好素材。同时正弦定理的证明包括转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法，有利于培养学生解决问题的能力。（2）对正弦定理进行灌输式教学：分析定理条件、结论、逻辑结构；激活旧知与相
9、关知识建立联系，适当复习，为定理证明奠定基础；证明命题给出教材证明方法；理解应用讲解例题，练习巩固。（3）忽视正弦定理的现实背景。“正弦定理”是解可转化为三角形计算问题的数学问题，在解决生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。教学内容和现实生活密切相关，是培养学生应用数学意识和创新能力的最好素。教师忽视用生活中的问题创设情境，激发学生的学习动机，忘记了数学教学应在轻松愉快的教学情境中，让学生学习“有用的数学” ，应用数学解决问题。3 正弦定理教学设计XX 师范大学毕业论文设计5正弦定理一、教材的地位和作用“正弦定理”既是初中解直角三角形内容的延拓，也是三角函数知识和平面向量知识在
10、三角形中的具体应用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本次课是“正弦定理”教学的第一节课，主要任务是引入并证明正弦定理。在课型上属于定理教学课，因此做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辨证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题解决问题的能力。而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。为什么要解斜三角形？解斜三角形必须要用正弦定理吗？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些教材
11、没有回答，而确实又是学生关心的问题。在此之前，学生已经学习了有关三角函数的知识，这为本节课的学习奠定了知识基础；同时，本节课内容是下节学习解三角形和余弦定理的知识基础。二、学生学习情况分析学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一， 课程标准强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴
12、趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。 ”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主XX 师范大学毕业论文设计6动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。四、教学目标1知
13、识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。2过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。3情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。五、教学重点与难点重点：正弦定理的发现和推导难点：正弦定理的推导教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。六、教法与学法分析由于学生在本节内容之前已学习了正弦定理，对用向量知识解决三角形问题有了一定的体会，故本节
14、课主要采用引导启发式教学法。引导学生通过特殊的角去发现边角之间的关系（余弦定理） ，启发学生在证明余弦定理时与向量数量积的知识产生联系，在运用向量知识的同时，注意使学生体会三角形，余弦定理，向量数量积等多处知识之间的联系。启发引导学生注意余弦定理的各种变形式。让学习特殊到一般、猜想发现、建立数学模型解决问题的思想方法。七、教学流程1.创设问题情境，提出问题如图：上海市政建设公司为了建造崇海过江隧道， A需要测量长江两岸的两个出口处 A 与 B 的距离，测量 河道人员在 B 点所在一侧选择 C 点，测得 BC 的长为 0。15km ，B C测得 ， ，能由此确定 AB 间的距离吗？30C45问
15、1：这个问题可以转化为什么数学问题？（能化为在 中，已知两个内角及夹边，如何求另一边。 ）AXX 师范大学毕业论文设计7问 2：要由角和边确定 AB，只需要知道什么关系就可以了。（三角形中边和角的等量关系）问 3：以前研究过三角形中边和角的等量关系吗？剖析：在 中有： ， ，ABCRtcaAsincbBsi1sin， ，boa0o问 4：找一找它们之间有什么联系？教师引导下： （1）AasinBbsiCcsin问 5：对一般三角形，上式也成立吗？（请同学们自己画一个三角形，量出边和角，利用计算器进行计算验证）给学生一个做数学实验的机会教师可利用几何画板中的度量功能计算出所画三角形边和角的数字，
16、显示， ， 的值，并不断变化三角形的形状，让学生进一步观察三个比值AasinBbsiCcsin的变化情况。问 6：大家发现在拖动过程中，很多三角形都满足（1）式，能不能说对任意三角形都满足（1）式呢？（不能）2.定理证明问 7：如何来证明呢？（教师引导学生从特殊的简单情形开始，如当三角形为直角三角形时）C CA D B D A B证明：过作边上的高由 ， 得 ，即CbsinasinBabsiniAasinBbsi同理有： ，因此Bbsicsi AasiBsinCcsi证明 2：由面积公式有： ，得S2121 AasinBbsi同理有： ，因此BbsinCcsi AasinBbsiCcsiXX
17、师范大学毕业论文设计8（以上两种方法是正弦定理的传统证明方法，利用这两种方法，可培养学生的求异思维）问 8：还有其它反映长度和角度的量吗？（向量的数量积）问 9：在 中如何构造出这些量来？ABC（向量 ， ， ， + = （2） ）ACB问 10：如果先证 ，对上式如何处理才能实现呢？AasinBbsi尝试 1： 是 与 的夹角，对（2）两边同时乘以 ，AB得 （ + ）= 即 （射影定理）Ccabosc（虽然没有如愿，但却发现了射影定理，也有收获）尝试 2：对（2）两边平方，得到 （余弦定理）22sC（一次“失败” ，却意外的发现了余弦定理，为余弦定理的学习埋下伏笔）教师引导学生反思上述方法
18、失败之处：向量的数量积得到的是余弦，而要证明的式子与正弦有关的等式。问 11： 改写成什么式子？Asin（ ）)co(2问 12：哪两个向量的夹角就是 A2（过 A 点作向量 与 垂直，这两个向量的夹角就是 ）jBA2（做出向量 是问题的关键所在，课本没有展开这个过程，如何引导学生利用向量，并做出这个向量是教师的主要任务，也是这种证明成败的关键）3.定理证明完成，给出课题，解决引例中问题（首尾呼应）4.问题延拓问 13： 中 ，在一般 ，设ABCRtAasinBbsicCsinABCAasinBbsi，那么这个 等于多少呢？kCcsink（学生思维再次被激活，但学生证明可能存在困难）XX 师范
19、大学毕业论文设计9问 14： 告诉我们，对 而言，当 与边 确定时，比AasinBbsiCcsinABCAa值 就确定了，此时 的形状唯一确定吗？k（不确定，顶点可以动）问 15：看看顶点 A 的轨迹是什么？（教师利用几何画板演示，让学生观察到点 A 在 外接圆上）BC（学生感到外接圆呈现很自然，定理公式不是天上掉下来的）问：比值 与外接圆有什么关系呢？如何证明？k（证明这个结论已经不是一件难事，真正的困难在于发现外接圆）5.课堂小节1） 正弦定理的内容2） 正弦定理证明中的思想方法3） 正弦定理能解决什么样的问题？（8）课例评注从结构上看，格式很规范。而且具有以下特点：1.教案对于教材的地位
20、和作用分析具体、透彻，明确了教材的编写意图,把握了学生的学习基础，明确了本节内容地位。对于重点和难点的把握较准2.教学目标定位准确,叙述具体。而且按照新课标的要求,从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观分别进行阐述，突出了数学思想方法和能力的培养，体现了数学教育的内在价值。3.教学设计特点鲜明数学教材中的大多数知识追求概念的准确，逻辑的演绎、知识的系统、严密的推理。这种形式地、演绎地数学呈现，看上去确实是冷冰冰的， ，教师如果照本宣科，学生就很难进行“火热的思考”和主动建构，也难以欣赏“冰冷的美丽” ，从而难以领会数学的本原。在上述案例中：(1)注意体现数学教学的问题特色，体现了“问题是数
21、学的心脏” ，数学教学就是“问题教学” 。 本节课，把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，让问题处于学生思维水平的“最近发展区” ，充分激发学生的好奇心和求知欲。具体地说是由“问题情境分析建模猜想发现论证猜想应用结论五个环节组成的一种探究发现式教学模式（2）课堂引入利用了密切联系生活的问题，体现数学与生活的联系，突XX 师范大学毕业论文设计10出了数学解决现实问题的工具作用，有利于培养学生的应用意识；（3）用向量法来证明正弦定理突出了向量解决数学问题的工具作用；（4）整个教学过程突出了建立数学模型、特殊到一般的化归、数形结合、联想转化、分类讨论等解决问题的思想方法，体现了数学是一个独具特色
22、的统一的数学思想方法体系；（5）体现了数学教学的过程性，重视学生在获取和运用知识的过程。学生经历了观察分析、归纳联想、演绎证明、反思建构等活动过程，在发现的过程中，体会到数学法则的提出过程、知识的形成过程、发展过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展学生的能力。 （6）体现“数学教学是数学思维活动的教学，进行了“学疑结合” “学思结合” “学用结合”的学法指导，这对学生的主体意识和创新能力的培养有着积极的意义。参考文献1欧几里得 几何原本【M】 第十二卷 陕 西 出 版 集 团 ， 陕 西 人 民 出 版 社2李建华 普通高中课程标准实验教科书 数学必修 5【J】 2007 年 01 期 第 2 页 人民教育出版社3刘年义 叶留青 数学通报【J】 2004 第 9 期 第 3 版4潘涌 新课标教育前景 天津教育【M】 2004 第 7 期5张忠旺 正弦定理教学反思 2006 年 03 期6胡炳生，吴俊，王佩瑾，孙国汉 现代数学观点下的中学数学【M】 高等教育出版社 1999 年 05 期7正弦定理的应用【J】.中学数学教学.1987 年 05 期.第 18 页8姚冬梅 新课标下小学数学教学的尝试 青海教育【M】 2006 第 7 期Under the new curriculum the sine theorem teaching
