2013年普通高等学校统一考试试题江苏卷.DOC

1、2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）参考公式：样本数据 ， ， 的方差 ，其中 .1x2nniixs122)(nix1棱锥的体积公式： ，其中 是锥体的底面积， 为高.ShV3h棱柱的体积公式： ，其中 是柱体的底面积， 为高.s一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相应位置上。1、函数 的最小正周期为 )42in(xy2、设 （ 为虚数单位） ，则复数 的模为 )zz3、双曲线 的两条渐近线的方程为 19624、集合 共有 个子集,05、右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 n6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单

2、位：环） ，结果如下：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 7、现在某类病毒记作 ，其中正整数 ， （ ， ）可以任意选取，nmYXnm7n9则 都取到奇数的概率为 n，8、如图，在三棱柱 中， 分别是ABC1FED， 1ACB，的中点，设三棱锥 的体积为 ，三棱柱 的体F1V1积为 ，则 2V21:9、抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 （包含xy D三角形内部与边界） 。若点 是区域 内的任意一点，则 的),(yxPyx2取值范围是 10、设 分别是 的边

3、 上的点， ，ED， ABC， AB1，B32若 （ 为实数） ，则 的值为 2121， 2111、已知 是定义在 上的奇函数。当 时， ，则不等式 的解)(xfR0xxf4)(xf)(集用区间表示为 12、在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右焦点为 ，OyC0(2bayF右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 ，lBBF1dl2d若 ，则椭圆 的离心率为 126d13、在平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 （ ）图象上一动点，xOy),(aAPxy10若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 AP， 2a14、在正项等比数列 中，

4、 ， ，则满足 的na1537621na21n最大正整数 的值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、 （本小题满分 14 分）已知向量 ， 。)sin,(co)sin,(coba， 0（1）若 ，求证： ；2|ba（2）设 ，若 ，求 的值。)1,0,16、 （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，ABCSSBC， ，过 作 ，垂足为 ，ABFF点 分别是棱 的中点。GE，求证：（1）平面 平面 ；/（2） 。17、 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线xOy)3

5、,0(A。42:xyl设圆 的半径为 ，圆心在 上。C1l（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，1C求切线的方程；（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐MA2标 的取值范围。a18、 （本小题满分 16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径。AC一种是从 沿直线步行到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到A，然后从 沿直线步行到 。B现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为。在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停min/50in2B留 后，再从 匀速步行到 。假设缆车匀速直线运动的速1B度为 ，山路 长为 ，经测量， ， 。i/3ACm160132c

6、osA5cosC（1）求索道 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、 （本小题满分 16 分）设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和。记 ， ，nad)0(dnScnSb2*N其中 为实数。c（1）若 ，且 成等比数列，证明： （ ） ；0421b， knk2*,N（2）若 是等差数列，证明： 。nbc20、 （本小题满分 16 分）设函数 ， ，其中 为实数。axfln)( axeg)(（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围；,1)(g),1a

7、（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论。gf数学试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法，每小题 5 分，共 70 分。1. 2. 5 3. 4. 8 5.3 6. 2 7. 8. 1:24 9.xy4363021,10. 11. 12. 13.-1, 14. 1221)0,(),(1二、解答题15. 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 14 分.解：（1）由题意得 ，即 ，2|ba 2)(2baba又因为 ，所以 ，即 ，1|2 0故 .（2）因为 ，所以)

8、1,0(sin,cos(,1sinco由此得， ，由 ，得 ，又 ，故)cos00，代入 得， ，而 ，所以 ， 。1in2sii6516. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想像力和推理论证能力，满分 14 分。证明：（1）因为 AS AB， AFS，垂足为 F，所以 F 是 SB 的中点，又因为 E 是 SA 的中点，所以 EF AB.因为 EF 平面 ABC， AB 平面 ABC，所以 EF平面 ABC.同理 EG平面 ABC，又 EF EG=E，所以平面 EFG平面 ABC.(2)因为平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB，又 AF 平面 SAB，

9、 AF SB.所以 AF平面 SBC，因为 BC 平面 SBC，所以 AF BC.又因为 AB BC， AF AB A， AF， AB 平面 SAB，所以 BC平面 SAB.因为 SA 平面 SAB，所以 BC SA.17.本小题主要考查直线与圆的方程，考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力。满分 14 分。解：（1）由题设，圆心 C 是直线 和 的交点，解得点42xy1xyC（3，2） ，于是切线的斜率必存在.设过 A（0，3）的圆 C 的切线方程为,kxy由题意， ，解得 或 .1|2k4(2)因为圆心在直线 上，

10、所以圆 C 的方程为xy.)()(2ax设点 ，因为 2 ，M,AMO所以 ，化简得 ，即 ，所以点223 0322yx 4)1(22yx在以 D（0，1）为圆心，2 为半径的圆上.由题意，点 （ ）在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则21 CD2+1，Myx,即 3.122)3(a由 0，得 R;85由 0，得 0 .2 51所以点 C 的横坐标 的取值范围为 .a2,18. 本小题主要考查正余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.满分 16 分.解：（1）在 中，因为 ， ,所以AB132cosA5cos

11、C， .35sin4si从而 )(iCAsincos.65341253由正弦定理 ，得 （m）.BAsini 1045632siCB所以索道 的长为 1040m.(2)假设乙出发 分钟后，甲、乙两游客距离为 ，此时，甲行走了（100+50 ）m,乙距离 处 130 t dtAtm,所以由余弦定理得.)507(2013)0(132)0()510( 222 tttttd因 0 ，即 0 8，故当 （min）时，甲、乙两游客距离最短.t3475（3）由正弦定理 ，得 （m）.BACsini65sinAB乙从 出发时，甲已走了 （m ）,还需走 710m 才能到达 .B50)182(50 C设乙步行的

12、速度为 m/min，由题意得 3，解得 ，所以为使两位v371v420v165游客在 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在 （单位：m/min）范C ,3围内.19.本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识，考查分析转化能力及推理论证能力.满分 16 分.解：由题设 .dnasn2)1(1)由 ，得 ，又因为 成等比数列，所以 ，0cb421b， 412b即 ，化简得 ，因为 ，所以 .)23()(2dad02adad2因此，对于所有的 ，有 .*Nmsm从而对于所有的 ，有 .,nk knk SnS22)(（2）设数列 的公差是 ，则 ，即 ， ，代入b1d

13、11db11)(dnbc*N的表达式，整理得，对于所有的 ，有ns *.)()2()1( 1113 cnad令 ， ， ，则对于所有的 ，有A21dbBbD*n.Dncn3在 式中分别取 ，2，3，4，得(*)，1111 463978 cdBAcBAcd 从而有 ,0529,71BA由，得 ， ,代入方程，得 ，从而 . dc001cd即 ， ， .1d21ab1cd若 ，则由 ，得 ，与题设矛盾，所以 .0101又因为 ，所以 .cc20.本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.满分 16 分.

14、解：（1）令 ，考虑到 的定义域为（0，+ ） ，故 ，进而解得01)(xaxf )(xf 0a，ax即 在（ ，+ ）上是单调减函数.同理， 在（0， ）上是单调增函数，由于 在)(f1f1a)(xf（1，+ ）上是单调减函数，故（1，+ ） （ ，+ ） ，从而 1，即 1.令1，得 .当 时， ；当 时， .又 在0egxaxlnl)(xgln0)(xg（1，+ ）上有最小值，所以 ，即 .1e综上，有 .),(a（2）当 0 时， 必为单调增函数；当 时，令 ,g0a)(aex解得 ,即 ，因为 在（-1,+ ）上是单调增函数，类似（1）有 -1，xeln)(xln即 1.结合上述两种

15、情况，有 .e（i）当 a时，由 以及 ，得 存在唯一的零点；0)f f)(xf（ii）当 时，由于 ， ，且函数 在 上的001(aaae 01a)(xf1,ae图象不间断，所以 在（ ）上存在零点.)xf,另外，当 时， ，故 在（0，+ ）上是单调增函数，所以 只有一0x1)(axf )(xf)(xf个零点.（iii ）当 0 时，令 ，解得 .当 0 时， ，当a1e)(f 1ax10)(f时， ，所以， 是 的最大值点，且最大值为 .1x0)(xf 1ax)(xf 1lna当 ，即 时， 有一个零点 .ln1 e当 ，即 时， 有两个零点.ef实际上，对于 ，由于 ， ，且函数 在

16、上的a0)(1)(1af )(xf,1e图象不间断，所以 在 上存在零点.)(xf,1另外，当 时， ，故 在（0， ）上是单调增函数，所以 在,01ax)xf1 )(xf（0， ）上只有一个零点.1a下面考虑 在（ ，+ ）上的情况.先证 .)(xf10)()(121aaeef为此，我们要证明：当 时， .设 ，则 ，再设e2xxhxh2，则 .ehl2)( )(l当 时， ，所以 在（1，+ ）上是单调增函数.故当10)(lx )(l时， .2x 42h从而 在（2，+ ）上是单调增函数，进而当 时，ex.即当 时， .)()(eehx 2当 ，即 时， ，又 ，10a1 0)()( 11

17、1 aaaf 0)(1af且函数 在 上的图象不间断，所以 在（ ）上存在零点.f,a )xf,e又当 时， ，故 在（ ）上是单调减函数，所以 在1x0)(xf (f,1 )(xf上只有一个零点.),(a综合（i） ， （ii） ， （iii） ，当 0 或 时， 的零点个数为 1，a1e)xf当 时， 的零点个数为 2.10e)(f数学 II（附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图, 和 分别与圆

18、 相切于点 , , 经过圆心 ,且OCAO.OBC2求证: .AB.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵 , ,求矩阵 .012B6B1C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),xOyltyx2,1曲线 的参数方程为 ( 为参数). 试 求直线 和曲线 的普通方程,并求出它们的公共Ctan2, lC点的坐标.D.选修 4-5: 不等式选讲( 本小题满分 10 分)已知 0,求证: .ab3bb2【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

19、字说明、证明过程或演算步骤.22. （本小题满分 10 分）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中1CBAACB241ADBC点.（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；D（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值.1123.（本小题满分 10 分）设数列 ：na1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，即当 (),k个 k-1(),(1)2kn时，*2N.记 （ ）.对于 ，1()kna12nSan*N*l定义集合 是 的整数倍， ，且 1 .|lPn（1）求集合 中元素的个数；1（2）求集合 中元素的个数.20数学 II（附加题）参考答案21.【选做题】选修 4-1:几何证明选讲 本小题

20、主要考查圆的切线性质、相似三角形判定与性质，考查推理论证能力.满分 10 分.证明：连结 ，因为 和 分别与圆 相切于点 , ,ODABCODC所以 .90又因为 ，所以 .tRtAB:所以 .又 ，故 .C22B.选修 42：矩阵与变换本小题主要考查逆阵、矩阵的的乘法，考查运算求解能力，满分 10 分.解：设矩阵 的逆矩阵为 ，则 ，即 ，Aacbd10acbd102acbd10故 从而 的逆矩阵为 ，11,0,2abcdA102所以 .1AB603C.选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化问题的能力.满分 10 分.

21、解：因为直线 的参数方程为 ( 为参数),由 得 ，代入 ，得到直线ltyx2,11txxty2的普通方程为 .l 02x同理得到曲线 的普通方程为 .C联立方程组 解得公共点的坐标为 ， .y),1(2 )2,()1,D.选修 45：不等式选讲 本小题主要考查利用比较法证明不等式，考查推理论证能力.满分 10 分.证明： )()(2)( 2223 baabab因为 ，所以 0， ，a0,0从而 0，即 .)2()(bab32baba222. 【必做题】本小题主要考查异面直线、二面角、空间向量等基础知识以及基本运算，考查运用空间向量解决问题的能力. 满分 10 分.解：（1）以 为坐标原点，建

22、立如图所示的空间直角坐标系 ，则AAxyz， ， ， ， ，(0,)(,)B(,)C(1,0)D1(,4)1(0,2)C，所以 ， .因为 12,41,4cos,BD 所以异面直线 与 所成角的1|DA8301A余弦值为 .30（2）设平面 的法向量为 n1=( ),因为 ，1C,xyz(,0)，所以1(,4)n1 0，n 1 0，即 且 ，取 ，得 ， ，所以，AD021z2xyn1=(2,-2,1)是平面 的一个法向量 . 取平面 的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 与平面1AB1ADC所成的二面角的大小为 .B由 ，得 .|cos|12.|n3915sin323.【必做题】本小

23、题主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力. 满分 10 分.解：（1）由数列 的定义得na1,2,a32,4,a53,6,a74,所以84,a9,104,51S3S405S从而 ，6S728S960,14,所以集合 中的元素的个数为 5.5,6,s1,P（2）先证： （ ）(21)ii*iN事实上，当 时， ， 故原等式成立；(213iS(2)3,i假设 时成立，即 ，则当 时，m)1m 1im(1)23(21)(S.245)()综合可得 .于是(21)ii.22(1)2 (11()i iii由上可知 是 的倍数，而 所以(1)iSi2),ijaji是 的倍数，又(21)2()ijj(1(ij不是 的倍数，而ii 1)(2(2)1,2),ijiji所以 不是(1)2(1)2)jiji的倍数，故当 时，集合 中元素的个数为,ijallP，于是，当 （1 ）时，集合 中的元素的个数为3i (lijjil.2ij又 200031（231+1）+47，故集合 中元素的个数为 .20P2347108