1、基于分数阶 Fourier 变换的线性调频超声回波信号的滤波【摘要】 编码超声发射技术已在高端超声成像仪中使用，其中线性调频信号是常用的编码信号。由于通过超声系统的回波会有较大衰减，接收信号通常比较微弱，并且带有强噪声，影响成像质量。分数阶Fourier 变换应用在编码超声信号处理中，可以有效提高成像质量。本研究提出一种新的成像方法，先对回波信号进行分数阶 Fourier 变换，再经带通滤波器滤除大部分噪声，然后通过匹配滤波器处理，最后成像。该方法同时融合了信号在时域和频域的信息，并可以进一步降低发射功率。仿真结果表明，这种方法相对于传统的成像方法可以进一步增强系统的抗干扰能力，提高信噪比，从
2、而改善超声成像质量。 【关键词】 分数阶傅立叶变换；线性调频信号；匹配滤波器；超声滤波；信噪比Abstract：Coded ultrasound transmit technology is generally used in high-end ultrasound imaging device. Linear frequency modifing signal is one of the most commonly used coded ultrasound signal. Because the ultrasound attenuate heavily, the received sign
3、al is very weak and accompanies with strong noise, which infects the quality of image. The fractional Fourier transform (FrFT) has some advantages over conventional matched filtering techniques in applications of coded ultrasound signal. FrFT can improve the imaging quality greatly in coded ultrasou
4、nd. A new imaging method was presented in the paper, after doing FrFT, we used band pass filter to filter most of the noise, and then matched filter to get the image. By using time and frequency information at the same time, the fractional Fourier method could lower transmission power. Our simulatio
5、n results prove this by showing good performances with higher SNR, and improve ultrasound imaging quality.Key words：Fractional Fourier transform; Chirps; Match Filtering; Ultrasound filtering; Signal to noise ratio1 引 言医学超声系统的一个重要问题是在保持有效分辨率的情况下，如何获得足够的成像深度。成像深度随着发射脉冲功率的增加而增加，但是出于安全考虑，发射功率应该是有限的。因此，
6、在这种局限性下，为增加成像深度，需要使用能量较高的长脉冲。然而，增加脉冲长度会降低成像的分辨率1 。采用线性调频信号和脉冲压缩技术可以解决上述问题。临床超声系统将发射信号从短的脉冲信号改为长的线性调频信号，在接收端采用匹配滤波技术，得到高峰值、低脉宽的脉冲信号，最后成像，见图 1。这种方法可以在不需要增大发射功率的条件下增加成像深度，并提高成像的分辨率。该方法中的核心技术匹配滤波，主要采用普通 Fourier 变换及其逆变换，这导致其无法充分利用线性调频信号的时频特性，因为Fourier 变换将信号在整体上分解为具有不同频率的正弦分量，得到的是信号的整体频谱，不能获得信号的局部特性。本研究采用
7、新的方案，在匹配滤波之前先采用分数阶 Fourier 变换，见图 2。回波信号经过分数阶Fourier 变换后，经过带通滤波器滤除大部分噪声，然后再通过匹配滤波器处理，最后成像。该方法同时融合了信号在时域和频域的信息，通过对接收信号的分数阶 Fourier 变换后的匹配滤波处理，信噪比进一步提高。仿真结果表明该方法可以进一步增强系统的抗干扰能力，提高信噪比。2 分数阶傅立叶变换在信号处理领域，传统的 Fourier 变换是一个研究最为成熟、应用最为广泛的数学工具。虽然 Fourier 变换提供了信号的频谱内容，但是它不能指出频谱成分对应的时间位置。为分析和描述频率随时间变化的非平稳信号的统计量
8、（如相关函数和功率普密度等） ，可以使用时频分析的方法，将一维的时间信号转换为二维的时间频率信号。分数阶Fourier 变换实际上是一种线性时频分析方法，于 1980 年由 Namias 提出完整定义2 ，并应用于光学领域，1994 年由 Almeida 引入到信号处理领域中。其中，p 是变换阶次，=p/2,R 是旋转角度，Ka(t,u)是分数阶 Fourier 变换的变换核，其定义如（2）所示。分数阶 Fourier变换同时融合了信号在时域和频域的信息，采用时间和频率的联合函数形式表示非平稳信号，因此，处理线性调频信号的能力优于传统的Fourier 变换。Lohmann 首次得出信号 x(t
9、)的 p 阶分数阶 Fourier 变换的模平方正好是 方向上的 Radon-Wigner 变换(RW)3 。图 3 即表示了这种概念，从图 3 中可以看出，魏格纳分布在时间轴的投影是信号幅度的平方，定义为信号的持续时间，而在频率轴的投影则是信号的功率频谱密度（PSD） ，可定义为信号的带宽。因此，坐标轴绕原点在某一角度下旋转会使信号有最小的投影宽度。这个角度 一般称之为最优旋转角度。利用上述关系式，关于 RW 变换的性质和许多研究成果可以直接应用在分数阶 Fourier 变换方面。图 3 中，若信号只在时间范围内改变，而频率不发生变化，则其在 u 轴上的投影位置将会有对应变化，进一步说明分数
10、阶 Fourier变换能同时反应出时域和频域的变化。由图 3 的几何关系，根据文献4 ，可知下式成立：t=2Nfcfs-tsin+costan(+/2)tan(+/2)(3)其中，t 是时间，t 是信号在分数域 u 轴上的投影，t 从0 至 N 变化，N 是采样数，fc 是发射信号的中心频率，fs 是采样频率， 是转换角度。 式（3）确定了分数域和时域的位置关系。由此，任意分数域的相对位置关系都可以对应到时域中。3 最优变换阶次一个线性调频信号的一般表达式如式（4）所示：x(t)=cos(at2+bt)(4)此处， 是调频率参数(Hz/s)，b 是中心频率(Hz)。由式（4）很容易得到式（5）
11、所示的瞬时频率关系：(t)=2at+b（5）由此可以看出，瞬时频率与时间呈线性关系。Capus 等关于调频率 和最优旋转角度 有一个几何证明5 ，如式（6）所示：=-2tan-1(f2s/N2a)(6)其中，fs 为采样率，N 是样本数。可以用两种方法求出最优旋转角度。首先未知信号的调频率时，可以采用最优转换操作的方法，其思想主要是指用分数阶 Fourier变换的旋转角度 调整转换6 ，以达到线性调频信号最优响应。当轴的旋转与信号的调频率相匹配时，即达到幅度响应的最大值。采用加窗的线性调频信号为：x(t)=w(t)cos(j500106t2)(7)式中，w(t)为 Blackman 窗函数。此
12、线性调频信号见图 4，当旋转角度在 =0 和 =/2 之间的角度进行搜索时，处理结果见图 5。图 4 线性调频信号Fig 4 Chirp signal其次，当知道信号的调频率时，也可以采用通过代入式（6）的方法得到最优转换阶次4 。将参数代入式（6）中，可得=1.1741。从图 5 中易得，最大脉冲压缩点是图中的最暗部分，即为线性调频信号的最优转换阶次,此时 =1.1440。相比较可得，第二种方法所得的最优转换角度也比较精确。4 线性调频信号的分数阶 Fourier 滤波在工程应用中，经过各种途径传输后的线性调频信号会不可避免的混有随机噪声，噪声严重影响对信号的检测与估计，因此，有效去除噪声是
13、一个重要问题。从时频分析的观点来看，经典的滤波方法大都只限于在频域或时域的加窗运算，但由于线性调频信号是宽带信号，与噪声之间有较强的时频耦合，这使得经典的滤波方法难以实现有效的信噪分离。基于分数阶 Fourier 变换的自适应时频滤波算法可以在一定程度上抑制噪声，分离出有用信号。对于式（7）当加上零均值的高斯白噪声后，叠加后的信号见图 6（a） ，采用输出信号的均值比输出噪声的均值，求得信噪比为5.4740。滤波过程大致如下 ：（1）对叠加的信号寻找最优转换阶次，搜索范围为 =0.6 到=1.6(=p/2)，搜索间隔为 0.01，搜索点数为 100，得到峰值点的位置为 0=1.06，峰值点所对
14、应的分数域值为 270；（2）对叠加信号做 0 阶 FrFT，然后在分数域上以 270 为中心进行窄带通滤波，滤波前后分数域幅值见图 6（b）和（c） ；（3）对滤波后的信号作-0 阶 FrFT，还原到时域波形，便得到了抑制噪声后的信号。图 6（d）给出了滤波后的信号波形。对比图 6 中的（a）和（d）可看出，噪声得到了很好的抑制。分别对图 4、图 6（a）和（d）中的信号做匹配滤波，结果见图 6（e）和（f） ，图 6（e）中点线为经过分数阶 Fourier 变换之后匹配滤波的结果，它相对于（f）有(a)(b)(c)(d)(e)(f)图 6 基于分数阶 Fourier 变换的 chirp 信
15、号的时频滤波(a)含噪音的线性调频信号；(b)对含噪音的线性调频信号做FrFT；(c)对（b）中信号滤波；（d）对滤波后的信号做 IFrFT；(e)实线：对不含噪音的线性调频信号直接做匹配滤波;点线：对重建后的线性调频信号做匹配滤波；(f)对含噪音的线性调频信号直接做匹配滤波更小的旁瓣，而且图 6（e）中的实线和点线的波形相比较而言，并没有太多的旁瓣，接近于理想情况。由图可以看出在做匹配滤波之前，对信号先进行分数阶傅立叶变换，可以很好地抑制噪声、提高信噪比，并且能够较好地成像，提高图像的分辨率。5 结论本研究分析和讨论了分数阶 Fourier 变换，介绍了对信号求取最优转换阶次的方法，通过仿真
16、证明了利用分数阶 Fourier 变换的自适应时频滤波算法。仿真结果表明该算法结合匹配滤波器处理，相对于普通编码超声成像算法，抗干扰能力强，而且还可以进一步增强系统的抗干扰能力，提高信噪比，有效滤除噪声，改善成像质量，也可以广泛用于超声成像等其他用途。【参考文献】1Bennett M J,McLaughlin S. Filtering of chirped ultrasound echo signals with the Fractional Fourier transform C. IEEE International Ultrasonics, conference 2004.2036-20
17、40.2Ozaktas HM, Barshan B. Convolution filtering and multiplexing in fractional Fourier Domain and their relation to chirp and wavelet transforms J.Opt Soc Am A ,1994 ,11(2):547-559.3Lohman A W. Relationships between the Radon-Wigner and fractional Fourier transforms J. Opt Soc Am A, 1994, 11(6):139
18、8-1801.4Bennett M J, McLaughlin S. The use of the Fractional Fourier transform with coded excitation in ultrasound imaging J. IEEE Trans. On biomedical engineering,2006, 53(4):754-756.5Capus C，Brown K. Short-time fractional Fourier methods for the time-frequency representation of chirp signals J. Acoustical Society of American, 2003,11:3253-3263.6Amein A S，Soraghan J J. A new chirp scaling algorithm based on the fractional Fourier transform J. IEEE Signal Process, Let, 2005, 12:705-708.
