1、 JIUJIANG UNIVERSITY毕 业 论 文题 目 反例在教学中的作用院 系 理学院 专 业 数学教育 姓 名 谭燕燕 年 级 B0912 班 指导教师 孔祥文 2012 年 4 月 4 日2目录摘要(3)关键词（3）引 言(3) 1 反例的含义(3)2 反例的来源与构造（5）3、反例在数学教学中的作用 （5）3.1 能够帮助学生正确全面地理解数学概念（6）例题 1（ 6）3.2 能够增强学生发现问题、纠正错误的观念（8）例题 2 （8）例题 3（9）3.3 使学生理解并掌握数学中的有关定理、性质（9）例题 4（9）3.4 加深学生对教学公式、法则的正确理解（9）例 5（10）3.5
2、 提高学生否定错误的命题的能力 （10）例 6（10）4、运用反例必须注意一些问题（11）5、总结 （12）参考文献(13)3反例在教学中的作用【摘要】数学是一门缜密的科学,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，在数学发展史中，反例与证明有着同等重要的地位。尤其是在揭示事物的虚假性时，有其特殊的魅力，起着十分重要的作用。所谓反例,通常是用来说明一个命题不成立的例, 即符合命题的条件但与命题的结论相矛盾的例。在数学中要证明一个命题成立,就要严格地论证在符合题设的各种可能的情况下结论都成立,而要推翻一个命题,却只要指出在符合题设的某个特殊情况下结论不成立,也就是只要举出一个反例就行。【关键词】 反
3、例 来源 构造 辨证 作用 【引 言】反例，就是故意变换事物的本质属性使之质变为其他知识，在引导思辩中，从反面突出事物的本质属性的否定例证。在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念。反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用。举例来说，对一个命题：所有的天鹅都是白色的。这是一个全称命题，声明对于某类事物全体（所有的天鹅） ，都有某个性质（是白色的） 。为了说明这个命题不是真的，只需要举出一个例子，其对象属于这类事物，但不具有命题中声称的性质就可4以了。这样的例子称为反例：一只不是白色的天鹅就是这个命题的反例。反例的威力来源于形式逻辑，它与证明是相反相成的两种逻辑方法。论证是用已知为真的判断，
4、确定另一个判断的真实性；而反例是用已知为真的事实去揭露另一判断的虚假性。它们都是为了揭示事物的本质和内在联系。美国数学家 B.R.盖尔鲍姆说：“冒着过于简单的风险，我们可以说（撇开定义、陈述以及艰苦的工作不谈）数学由两大类证明和反例组成，而数学也是朝着两个主要的目标提出证明和构造反例”发展。数学中的反例通常是指符合某个命题的条件,但又与该命题结论相矛盾的例子,也 即指出某命题不成立的例子 .在数学的发展史中,反例和证明有着同等重要的地位.一个正确的数学命题需要严密的证明,谬误则靠反例即可否定.如何帮助学生学好数学?首要问题是帮助,促使学生掌握好基本概念和基本性质.解决这一问题的有效方式之一,是
5、重视和恰当的使用反例. 因此,在数学的学习中,反例有着极为重要的意义,举反例的方法在数学学习中应经常为同学们所用,它会使同学们对概念,定理,公式的理解更全面,透彻, 它在发现和认识数学真理 ,强化数学基础的理解和掌握,以及培养学生的思维能力和创造能力等方面的意义和作用是不可低估的.在数学中，要证明一个命题成立，需严格地论证由已知条件推理出结论。而要证明一个命题错误，十分简洁而又极具说服力的办法就是举反例。下面我将从反例的来源与构造，反例在数学教学中的5作用，运用反例应该注意的问题这三个方面来论述。一， 反例的来源与构造对于数学学科证明一个猜想是真实的,必须经过严格的推理论证;证明一个猜想 是假
6、的,只须找到猜想命题的反例.在数学学习中,出现了这样一种现象,教师为了说明一个命题为假命题, 举出一个反例, 说明反例虽然满足命题的条件, 却无命题的结论, 但反例怎样得到呢?教师很少分析甚至不做分析.学生感到老师确实高明,从肚子里能 掏出一个一个非常具有说服力的反例,就像舞台上的魔术师,能从帽子里掏出一个又一个白鸽,虽然非常精彩,却是观众学不会的. 与获得证明的方法一样,反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动,其方法 包括: 观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等,反例决不能凭空得到。 第一：从定义入手获得反例 概念是数学学科的细胞,是反映事物本质的思维形式.在逻辑学中,定义是明确概
7、念内涵的逻辑方法.在数学问题中,若首先给出一个概念的定义,然后判断一个猜想是否正确,则反例的获得常常需要从定义入手。第二：运用特殊化,运动变化的思想获得反例特殊化一般是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一上较小的集合或 仅仅一个对象,特殊化在求解问题时常常用到.二， 反例在数学教学中的作用 反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉 被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论 ,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论.它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成.6它承认世界的局部可能在一定条件下.过程中,在某一方面(形态,结构,信息,功能, 时间,能量等)表现出与整体
8、的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以 是连续的,因而拓展了视野. 虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特 1975 年首 先提出的, 但最早的工作可追朔到 1875 年, 德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托德国数学家)构 造了有许多奇异性质的三分康托集.1890 年,意大利数学家皮亚诺构造了 填充空间的曲线.1904 年,瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘 的一类曲线.1915 年,波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一 样的几何图形.这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉.以后,这一领域的
9、研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只 是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来.1，运用反例进行教学，能够帮助学生正确全面地理解数学概念 数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。 例 1：关于函数的概念，不少学生片面地认为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了帮助学生澄清、纠正这一错误认识，可向学生提出这样的两个问题： (1)人的身高与年龄成函数关系吗？ (2)若 ， 则 y 是 x 的函数吗？ xycottan7结果不少学生都认
10、为(1)人的身高与年龄有关系，因而人的身高与年龄构成函数关系。而(2)中由于 ，因变量 y1cottanxy不随 x 的变化(y1) ，故 y 不是 x 的函数。老师学生一起参与讨论。发现问题(1)里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人的身高，即当自变量(人的年龄)发生变化时，因变量(身高) 没有完全确定的值和它对应，因此不符合函数的定义。而在问题(2)里，对每一个给定的 x 值(在 x 的定义域内)，y 随 x 总有唯一确定的值(y1)和它对应，只不过当 x 变化时，y 的值始终不变罢了。由此使学生认识到 y 是 x 的函数，并非一定要求 y 随 x 的变化而变化。 通过所举两个反
11、例的学习，学生便自觉地体会到：对变量 x 的每一个确定的值，变量 y 有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。教学中，概念、定理、公式一般采用正面阐述的形式，学生往往对一些关键性词语认识不够，对所给条件理解不透彻，不能抓住它的本质属性，只是机械地记忆概念、定理的名称和公式的结构。如果遇到概念、定理、公式的名称相近或结构类似，就容易造成理解上的混淆。比如“36 的平方根是多少？”有的同学会不假思索回答：“6”。说明他们没有把“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”这个概念搞清楚。此时只要举出反例“ ”，就加深了理36)(解，很有说服力。再如：“定理：对角线相等且互相平分的四边形是矩形”
12、与“定理：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”内容很相近，公式8与 结构形式相近，学生搞不清楚。因此在教学中，诸ba2)(2如此类的问题，讲述时多举反例， （也可鼓励学生举反例） ，达到强化理解的作用。2、引入反例进行教学，能够增强学生发现问题、纠正错误的观念。学生在解题中经常出现差错且不易发现、纠正。对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。例 2：学生在判断两个相关联的量是否成反比例的量时，往往不是很清楚，如下面的一个实例：小美总共要做 10 道数学题，已经做了的题和没有做的题是否是成反比例的。错解：已经做了的题和没有做的题是成反比例的
13、。有大多数的学生认为这是对的，他们没有充分理解成反比例的三个条件，这个题只满足了前面的两个而没有满足第三个：两个量的乘积一定。这个题是两个量的和一定，此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因，从而更加深刻的理解成反比例的三个条件。例 3：学生解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象，如下面的一个实例： 解方程：12x错解:方程两边同乘以 ， 得： , 即 x0 )1(x1)(2x经检验知 x0 是原方程的解。 学生们看完后竟有一半人认为这个解答正确，理由是由把 x09代入方程两边相等。于是，我又举了一个简单的分式方程 如124x何去分母？此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘(方程右
14、边未乘以 ，于是学生便迅速地得出正确解法。 )1(x通过上面两个例子的教学，例 2:使学生能更好的理解成反比例的三个条件是缺一不可的，要同时满足三个条件才是成反比例的量。例 3 加深了学生对解分式方程去分母不要漏乘的印象。同时，也使学生认识到，解答结果对并不能保证解题过程的正确。(有时计算结果往往一种偶然的巧合)，收到了较好的教学效果。在教学实践中，经常会遇到学生证明命题时会出现错误或无据可依。构造反例不仅可使学生发现错误，澄清是非，更重要的是从反例中得到较、好的补救。找出自己的漏洞，获得正确的结论。3、构造反例进行教学，能够使学生理解并掌握数学中的有关定理、性质 学生在学习一个新的定理、性质
15、时，往往会忽略定理、性质中的关键词语，从而造成解题的错误。为了克服这一现象，教学中要善于构造反例，帮助学生牢记关键词语，达到正确理解并掌握定理、性质。 例 4，垂径定理的推论 1“平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦” ，学生常会忽略括号中的限制条件，误记为“平分弦的直径垂直于弦” 。教学时可以构造反例，如：圆中任意两条直径，虽然它们互相平分，但不一定互相垂直，由此来纠正这一错误，加深对限制条件10的理解。4、引用反例进行教学，能够加深学生对教学公式、法则的正确理解而达到灵活运用 学生在学习有关公式、法则时，经常会忽略这些公式、法则的运用范围，使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，铸成错误。因此，
16、教学中不仅要向学生讲清、交代公式、法则的适用条件，而且要适当引用一些反例，加深他们对这些公式、法则的理解而达到有效的掌握。例 5： 先化简，再求值，当 a=2 时。32a甲：原式:=0乙：原式=2你认为谁正确，为什么？此例是有绝对值的化简公式的应用，导致两种截然相反结果的原因是绝对值中 a-3 的值是大于 0 还是小于 0，由题意知 a=2 时 ，因此故乙正确。通过此例甲、乙两同学计算过程的对比，03a让我们明显体会到今后在化简有绝对值式子时，一定要注意绝对值内 a 的符号，否则会出现两种完全不同的结果。5、运用反例进行教学，能够提高学生否定错误的命题的能力 判断一句话（或一种理论）的真伪，首当其充的方法选择就是构造反例。这是由反例自身的特点决定的。它具有直观、简明、清晰、说服力强等特点，因而在澄清是非，揭示错误，否定命题时显示出它特殊的震撼力。
