1、能 量 法,第 十 章,10( 1，2 ) 概述 ，杆件变形能计算,106 虚功原理,107 单位荷载法 莫尔积分,108 计算莫尔积分的图乘法,105 卡氏定理,103 变形能的通式,104 互等定理,能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。, 10（ 1 ，2）概述 杆件变形能的计算,可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。,U = W,一，概述,1，线弹性 条件下，通过外力功求应变能,（1）常力作功 ：常力 P 沿其方向线位移 上所作的功,二，杆件变形能的计算
2、,如：轴向拉（压）杆外力作功,（2）变力作功 ：在线弹性范围内，外力 P 与位移 间呈线性关系。 (静荷载为变力）,基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力)均呈线性关系,弯曲（不计剪力的影响）,扭 转,轴向拉，压,（ N 为轴力）,（ 为相对扭转角，T 为扭矩）,（ 为转角，M 为弯矩）,由 U = W , 可得以下变形能表达式, 扭转杆内的变形能, 轴向拉压杆内的变形能,U,U, 弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）, 组合变形的变形能,2、非线性弹性体，通过 比能 求应变能,拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由 0 逐渐增大到 P1 时，杆端位移就由 0 逐渐增到 1 。,外力作功为,P,从拉
3、杆中取出一个各边为 单位长 的单元体，, l = 1 = ,作用在单元体上，下两表面的力为,P = 1 1 = ,其伸长量,P,该单元体上外力作功为, l = ,P = ,单位体积的应变能即 比能 为,若取单元体的边长为dx 、dy、dz，则该单元体的应变能为,dU = u dx dy dz,令 dx dy dz = dV,则整个拉杆内的应变能为,拉杆整个体积内各点的 u为常量，故有,扭转杆,拉压杆,在 线弹性 范围内,例题：试用比能计算横力弯曲的弯曲变形能和剪切变形能。,解：截面上的弯矩和剪力分别为 M(x) 和 Q(x)。,距中性轴为 y 处的应力为,弯曲变形比能为：,剪切变形比能为：,距
4、中性轴为 y 处的应力取微元体积为,dV上的弯曲变形能为：,dV上的剪切变形能为：,整个梁的弯曲变形能为：,整个梁的剪切变形能为：,整个梁的弯曲变形能公式为：,整个梁的剪切变形能公式为：,令,梁的变形能公式为：,弯曲变形能,剪切变形能,k是无量纲系数。它只于截面形状有关。,当截面为矩形时,例：图示简支梁，比较弯曲和剪切两种变形能。设截面为矩形。,解：,代入梁变形能公式,梁的弯曲变形能为：,梁的剪切变形能为：,梁的变形能为：,对矩形截面：,且,取 =0.3 ，当 h/l = 1/5 时，以上比值为 0.125。当 h/l = 1/10 时，比值为 0.0321。,可见只有对短梁才考虑剪切变形能，
5、对长梁则可忽略不计。,103 变形能的通式,广义力：力和力偶,广义位移：线位移和角位移,假设广义力按某一比例由零增致最后值,对应的广义位移也由零增致最后值。,对于线性结构，位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移，例如 2 可表示为,C1P1，C2P2，C3P3 分别表示力 P1 ， P2，P3 在 C 点引起的竖向位移,C1，C2，C3 是比例常数,2 与 P2 之间的关系是线性的,同理 ，1 与 P1， 3 与 P3 之间的关系也是线性的,在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功, 克拉贝隆原理（只限于线性结构）,梁中点的挠度为,梁右端的转角为,梁的变形能为,A,C,B,P,先加力 P 后，
6、再加力偶 m, 先加力 P 后，C 点的位移,力 P所作的功为,A,C,B,力偶 m 所作的功为,A,C,B,P,B 截面的转角为, 力 偶由零增至最后值 m,A,C,B,先加上的力 P 所作的功为,A,C,B,P,C截面的位移为, 力 偶由零增至最后值 m,A,C,B,A,C,B,P,P与力偶 m 所作的功为,104 互 等 定 理,功的互等定理和位移互等定理在结构分系中有重要作用。,两力作用点沿力作用方向的位移分别为,P1 ， P2,1，设在线弹性结构上作用力,1 ， 2,一，功的互等定理,P1 和 P2 完成的功应为,2，在结构上再作用有力,P3， P4,沿 P3和 P4方向的相应位移为
7、,3 ， 4,P3 和 P4 完成的功应为,3，在 P3和 P4的作用下，P1 和 P2 的作用点又有位移,，,P1 和 P2 在 1和 2上完成的功应为,因此，按先加 P1，P2 后P3，P4 的次序加力，结构的应变能为,若按先加 P3 ， P4 后加 P1 ， P2 的次序加力，又可求得结构的应变能为,由于应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关故,功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功， 等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。,二，位移互等定理,若第一组力 P1，第二组力只有 P3，则,如果 P1= P3 ，则有,位移互等定理： P1作用点沿 P1 方向因作用
8、 P3而引起的位移， 等于 P3 作用点沿 P3 方向因作用 P1而引起的位移。,三，注意,1，力和位移都应理解为广义的。,2，这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形 引起的位移。,例题：拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度 EI ，受到 P1，P2 两个力作用。,(1) 若先在 B 截面加 P1 ，然后在 C 截面加 P2 ；,(2) 若先在 C 截面加 P2 ，然后在 B 截面加 P1。,分别计算两种加力方法拉杆的应变能。,(1) 先在 B 截面加 P1，然后在 C 截面加 P2, 在 B 截面加 P1， B截面的位移为,外力作功为, 再在C上加 P2,C截面的位移为,P2 作功为
9、, 在加P2 后，B截面又有位移,在加 P2 过程中 P1 作功（常力作功）,所以应变能为,(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。, 在C截面加P2 后， P2 作功, 在B截面加P1后， P1作功, 加 P1引起 C 截面的位移,在加P1 过程中P2作功（常力作功）,注意：,(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 区别。,(2) 应变能 U只与外力的最终值有关，而与加载过 程和加载次序无关。, 105 卡式定理,设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移。,作用有外力：,P1 ，P2 ， ，Pi ， ,相应的位移为：,1 ， 2 ， ， i ， ,结构的变形能,只给 Pi 一
10、个增量 Pi 。,引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为,原有的所有力完成的功为,在作用 Pi 的过程中， Pi 完成的功为,结构应变能的增量为,略去高阶微量,如果把 原来的力 看作第一组力，而把 Pi 看作第二组力。,根椐互等定理,或者,当 Pi 趋于零时，上式为,这就是 卡氏第二定理（卡氏定理）,(1) 卡氏第二定理只适用于 线性 弹性体。,说明,(2) Pi 为广义力，i 为相应的位移。,(3) 卡氏第二定理的应用, 轴向拉、压, 扭转, 弯曲, 平面桁架, 组合变形,例题： 已知：如图所示悬臂梁受力情况，抗弯刚度 EI 求：自由端的挠度（用卡氏第二定理）,解：因自由端没有与所求位移对应
11、的集中力， 需加一虚设外力 P,例题 ： 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料为 线弹性体。求梁C截面的挠度和A截面的转角。,解：,A,B,C,P,m,l,a,AB：,BC：,AB：,BC：,AB：,BC：,例题 ：外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料 为线弹性体。求梁C截面和D截面的挠度。,解：,法一:,AC：,CB：,BD：,AC：,CB：,BD：,法二:,AC：,CB：,BD：,第二种方法是正确的,例题：已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EI 求：圆环的张开位移（不计剪力及轴力的影响）。,例14-12,使曲率减小为正,解：由卡氏第二定理,例题 ： 抗弯刚度均为
12、EI 的静定组合梁 ABC，受力如图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。用卡氏第二定理求梁中间铰 B 两侧截面的相对转角。,解：在 B 两侧虚设一对外力偶。约束反力如图所示,q,A,B,C,l,l,AB：,BC:,AB:,BC:,例题： 刚架结构如图所示 。弹性模量EI已知。材料为线弹性。不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。,解 在C截面虚设一力偶 mc, 在D截面虚设一水平力P 。,CD:,CB:,AB:,M(x) = Px,CD:,CB:,AB: M(x) = Px,CD:,CB:,AB: M(x) = Px,例题：求A截面的铅垂位移。略去剪力影响,解
13、：,AB为弯曲变形,CD为轴向拉伸,取AB为研究对象,CD杆,AB梁,AC：,CB:,P,AB梁,CD杆,例题：圆截面杆ABC，（ABC=900）位于水平平面内，已知杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E , G 。求C 截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。,BC：弯曲变形,C,l,q,AB为弯曲与扭转的组合变形,A,B,l,（扭转变形）,（弯曲变形）,C,l,q,A,B,l,BC：弯曲变形,AB：弯扭组合变形,P=0,P=0,例题：图示刚架各段的抗弯刚度均为 EI 。不计轴力和剪力的影响。用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移 D 和转角 D 。,解：在点虚设一力偶矩 m,CD：弯曲变形,P1,A
14、,B,C,D,P,P,l,l,2 l,将力 P 向C 简化得：,力 P（产生拉伸变形）,将 m 向C 简化得：,m（产生弯曲变形）,力偶矩 2Pl（产生弯曲变形）,D,P,l,l,2 l,D,P,l,l,2 l,AC 产生 拉伸 与弯曲 的组合变形。横截面上的内力有轴力和弯矩。,但是轴力不计，因此横截面上的内力只计弯矩。,A,B,C,D,P,P,l,l,2 l,P1,BC段：,BA段：,A,B,C,D,P,P,l,l,2 l,P1,质点和质点系的虚位移原理：质点和质点系处于平衡状态的充要条件是，作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零。,106 虚功原理,一，虚功原理,作用在杆件上的力分为外力和
15、内力,外力：荷载和支座反力,内力：截面上各部分间的相互作用力,对于处于平衡状态的杆件，其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零。,杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件，且为微小量，即符和虚位移的基本要求。所以，可以把杆件由荷载作用产生的 微小实位移 当作虚位移。, 支座约束条件, 各单元体变形的几何相容条件,杆件的约束条件：,梁上荷载：,P1， P2， P3， P4， RA， RB,给梁任一虚位移，荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移（支座处没有虚位移）为,1， 2， 3， 4,(一) 梁的外力虚功,外力虚功为,(二) 梁的内力虚功,弯矩虚功,M+dM,剪力虚功,(1) 该
16、微段的外力虚功,M，Q应看作该微段的外力,该微段的外力虚功为（略去二阶小量）,(2) 该微段的内力虚功 dWi,由该微段的虚位移原理,(3) 梁的内力虚功,梁的虚位移原理为,若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力 Q，还有轴力 N 和扭矩 Mn，则杆的虚位移原理为, i 为 Pi 力作用点沿 Pi 方向的相应虚位移， d， d， d ， d 分别为与弯矩M ，剪力Q，轴力 N 和扭矩 Mn相对应虚位移。, 虚位移原理既不限定于线性问题，也不限定于弹性问题。,将实际荷载作用下杆件的位移及各微段两端横截面间的变形位移当作虚位移。,求在实际荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向（或转向）的位移 。,107
17、 单位荷载法 莫尔积分, 在该点处施加一个相应的 单位力 ，将其看作荷载, 由 单位力 引起的杆件任一横截面上的内力记作,d ， d ， d ， d 。,杆件的虚位移原理为,对于线弹性体，在所研究的杆件中，由实际荷载因起的长为 dx 的微段两横截面的变形位移分别为,N，M，Q，Mn 是杆件横截面上由 实际荷载 所引起的内力。,(1) 单位力是个广义力。若 为所求某截面的线位移，则单位力即为施加于该处沿待定线位移方向的力；若 为所求某截面的转角或扭转角，则单位力即为施加于该截面处的弯曲力偶或扭转力偶；,若 为桁架两结点间的相对线位移，则单位力应该是施加在两结点上的一对大小相等，指向相反的力，其作
18、用线与两结点间的连线重合。,(2) 若计算结果为正值，表示 的指向与单位力的指向一致；若为负值，则 的指向与单位力的指向相反。,(3) 在只受结点荷载作用的桁架中，单位力方法计算桁架结点位移的表达式为,(4) N , M , Mn 是由杆上的 实际荷载 引起的内力,略去剪力的影响，则杆件的虚位移原理为,例题 : 抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均部荷载作用，用单位力法求梁中点的挠度 fc 和支座A截面的转角。剪力对弯曲的影响不计。,(1)求 C 截面的挠度,在C点加一向下的单位力，,任一 x 截面的弯矩为,(2) 求A截面的转角,在 A 截面加一单位力偶,引起的 x 截面的弯矩为,（顺时针）,例
19、题： 图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI。 用单位力法求 C 点的挠度和转角。,A,B,C,a,2a,RA,解：,AB:,（1）求截面的挠度（在加一单位力“1”）,A,B,C,a,2a,RA,BC:,A,B,C,a,2a,RA,BC:,AB:,(),A,B,C,a,2a,RA,BC:,AB:,(2) 求 C 截面的转角 ( 在加一单位力偶）,A,B,C,a,2a,RA,BC:,AB:,例题：刚架的自由端A作用集中力P。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的影响。计算A点的垂直位移及B截面的转角。,解：(1) 计算A点的垂直位移，在A点加垂直向下的单位力,a,A,B,C,l,EI1,
20、EI2,AB:,BC:,B,EI1,EI2,(2) 计算B截面的转角，在B上加一个单位力偶矩,AB:,BC:,B,EI1,EI2,例题： 图示刚架，两杆的 EI 和 EA 分别相同，试求C点的水平位移,A,B,C,a,b,解：在 C点加一水平单位力,A,B,B,A,C,C,CB :,a,b,A,B,B,A,C,C,AB :,a,b,A,B,B,A,C,C,a,b,A,B,B,A,C,C,例题： 图示为一水平面内的折轴杆，B 处为一刚性节点，ABC=900，在 C 处承受竖直力 P，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIn ，求 C 点竖向的位移。,A,B,C,a,b,解：在 C点加竖
21、向单位力,BC:,A,B,C,a,b,AB:,A,B,C,a,b,AB:,BC:,A,B,C,a,b,例题： 由三杆组成的刚架，B，C为刚性节点，三杆的抗弯刚度都是EI，试用单位力法求A1，A2两点的相对位移。,A1,A2,B,C,l,l,P,P,A1,A2,B,C,l,l,P,P,A1,A2,B,C,l,l,解：A1，A2 在加一对水平单位力,B，C 两支座的反力均为零,A1B：,BC：,CA2：,A1,A2,B,C,l,l,P,P,A1,A2,B,C,l,l,A1B：,BC：,CA2：,例题： 刚架受力如图，求A截面的垂直位移，水平位移及转角。,AB：,BC：,解：求A点铅垂位移（在A点加
22、竖向单位力）,AB：,BC：,求A点水平位移（在A点加水平单位力）,AB：,BC：,A,B,C,l,l,q,求A点的转角（在A点加一单位力偶）,A,B,C,l,l,q,AB：,BC：,桁架求位移的单位荷载法为,A，C两点间的距离缩短,例题：用单位力法求AB梁自由端A截面的挠度和转角，EI为已知。,l,q,P,A,B,解：求A截面的挠度,在A截面加竖向单位力“1”,l,q,P,A,B,解：求A截面的转角,在A截面加竖向单位力偶“1”,108 计算莫尔积分的图乘法,在等直杆的情况下，莫尔积分中的EI（GIP）为常量，只需计算,因为 是由单位力或单位力偶引起的弯矩，故沿杆长方向的 图是由 直线 或
23、折线 组成。,M(x)图一般是曲线,为 l 段内图 M(x) 的面积 ,为图M(x)对 y 轴坐标的静矩,C 为图M(x)的形心，xc 为其坐标,对于等直杆有,即 积分可用M(x)图的面积 和与M(x)图形心C对应的 的乘积来代替,当M图为正弯矩时，应代以正号。,当M图为负弯矩时，应代以负号。,也应按弯矩符号给以正负号,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,b,l,h,三角形,C,二次抛物线,l,h,顶点,c,N 次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,注意,有时M(x)图为连续光滑曲线，而,为折线，则应以,折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图成法，然后求其和。,例：均布荷载作用下的简支梁，其 EI 为常数。 求跨中点的挠度。,
