1、上海中考网 http:/ E 度社区 http:/2003 年全国初中数学联合竞赛决赛试题一、选择题（每小题 7 分，共 42 分）1、2 。A 54 B4 1 C5 D1213 22、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是个。A0 B1 C3 D53、若函数 ykx(k0) 与函数 yx 1 的图象相交于 A、C 两点，AB 垂直 x 轴于B，则 ABC 的面积为。 A1 B2 Ck Dk24、满足等式 x 2003 的正整数对的个03xy203数是。A1 B2 C3 D45、设ABC 的面积为 1， D 是边 AB 上一点，且 ADAB 13。若在边 AC 上取一点 E，使四边形
2、DECB 的面积为 ，则 的值为。A 43EC21B C D31456、如图，在平行四边形 ABCD 中，过 A、B、C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD相切，若 AB4，BE5，则 ED 的长为。A3 B4 C D4156二、填空题（每小题 7 分，共 28 分）1、抛物线 yax bxc 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C。若ABC是直角三角形，则 ac。2、设 m 是整数，且方程 3x2mx2=0 的两根都大于 而小于 ，则5973m=_。3、如图，AA 1、BB 1 分别是EAB、DBC 的平分线，若AA1BB 1AB ，则BAC 的度数为。4、已知正整数 a、b
3、之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约 数的105 倍，那么 a、b 中较大的数是。三、 （本题满分 20 分）在ABC 中， D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点 E、F ，使 DEDF ；过E，F 分别作 CA、CB 的垂线，相交于 P，设线段 PA、PB 的中点分别为M、N。求证：DEMDFN；PAE PBF。BCDAEA DEB1CA1BCEA BFPDNM上海中考网 http:/ E 度社区 http:/四、 （本题满分 20 分）已知实数 a、b、c 、d 互不相等，且a b c d+ x，试求 x 的值。11d五、已知：四边形 ABCD 的面积为 32，AB、C
4、D、AC 的长都是整数，且它们的和为 16。这样的四边形有几个？求这样的四边形边长的平方和的最小值。试题说明：这是 2004 年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题，请关注。2003 年全国初中数学联赛答案：第一试一、1、(D)；2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不超过 3 个，即内角中锐角最多不超过 3 个。3、(A)；设 A( )，则 ，故 。又因为ABO 与CBOyx,112ABOSxy同底等高，因此， 2ABCABOS4、(B)；由已知等式可得
5、 (03)(03)xyxy而 ，所以， 。故03xy22x又因为 2003 为质数，必有 或103xy1xy5、(B)；如图 3，连结 BE， 4ADES设 ，则 。CExA1ABESx。故1,34DS3C6、(D)；如图 4，连结 AC、CE。由 AEBC，知四边形 ABCE 是等腰梯形。故 ACBE5。又因为 DcAB，DC 与圆相切，所以，BACACDABC。EDCBAED CBA上海中考网 http:/ E 度社区 http:/则 ACBCAD5，DCAB4因为 ，故2DCAE2165DCA二、1、1；设 A 。由ABC 是直角三角形可知 必异号。12(,0),xB12,x则 20cx
6、a由射影定理知 ，即 ；故2OC212ccxa1,ac2、4；由题设可知， 2930537m解得 。故8133425m43、12；设BAC 的度数为 x因 ，故 又 ，则AB2,BDCxAB CBD 。因为41(80)2x故 ，解得 1(80)41802xx4、225；设( ) ，且 ， ，其中 ， 与 互质。于ba,dmandbnm是 的最小公倍数为 。依题意有ba, n，即1205mdn3()25(1)7d又 ，据式(2)可得n10mn325n7m根据式(1)，只能取 ，可求得57d故两个数中较大的数是 。2上海中考网 http:/ E 度社区 http:/第二试A 卷一、解：设前后两个二
7、位数分别为 ，yx,10,9有 ；即2()10xyxy22(5)()当 45()49y即 ，则 时，方程有实数解29y25029xyy由于 必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为00，1，4，5，6，9，故 仅可取 25；此时， 或3故所求四位数为 2025 或 3025二、(1)如图，据题设可知，DMBN，DMBN，DNAM，DNAM故AMDBND因为 M、N 分别是 RtAEP 和 RtBFP 斜边的中点，所以，EMAMDN，FNBNDM又已知 DEDF，故DEMFDN(2)由上述三角形全等可知EMDFND，则AMEBNF而AME、BNF 均为等腰三角形，所以，PAEPBF三、解：
8、由已知有； ； ； 1axb1bxc1cxd1dxa由式解出 a式代入式得 21x将式代入得 xd即 32(1)()0dxaa由式得 ，代入式得x3()20ax由已知 ，故032若 ，则由式可得 ，矛盾。故有xca2,xB 卷一、同(A 卷)第一题的解答。PNMFEDCBA上海中考网 http:/ E 度社区 http:/二、如图，分别取 AP、BP 的中点 M、N。连结EM、DM、FN、DN。由 D 是 AB 的中点，则DMBN，DMBN，DNAM，DNAM。故AMDBND。又因为 M、N 分别是 RtAEP、RtBFP 斜边的中点，所以，EMAMDN，FNBNDM。因为 DEDF，则DEM
9、FDN故EMDFND，从而，AMEBNF而AME、BNF 均为等腰三角形，故PAEPBF三、(1)如图，记 ABa，CDb，AC ，并设ABC 的边 ABl上的高为 ，ADC 的边 DC 上的高为 。则1h2hABCDADCSS四 边 形 1()()lab仅当 时等号成立。即在四边形 ABCD 中，当 ACAB，ACCD 时等12l号成立。由已知可得 64()lab又由题设 ，可得1264(1)64(8)64ll于是， ，且这时 ACAB，ACCD8,l因此，这样的四边形有如下 4 下：，7,1ba;2,68labl358它们都是以 AC 为高的梯形或平行四边形。(2)又由 AB ，CD ，则a22228,8()BCaADa因此，这样的四边形的边长的平方和为 222(8)14()19故当 时，平方和最小，且为 192ba(C)卷一、同(A 卷)第三题的解答。二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B 卷)第二题三、同(B 卷)第三题解答。PFE NMDCBA1h 2h lbaD CBAM CNF ED BAP
