1、数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10)5. 求 的近似值 ,使其相对误差不超过 。2*x%.0解: 。4.1设 有 位有效数字,则 。*xnnxe15.0|)(|*从而, 。15.0|)(|*nre故,若 ,则满足要求。%.n解之得, 。 。4*x(P10)7. 正方形的边长约 ,问测量边长时误差应多大,才能保证面积的误差不超cm10过 1 。2cm解:设边长为 ,则 。a设测量边长时的绝对误差为 ,由误差在数值计算的传播,这时得到的面积的绝对误差有e如下估计: 。按测量要求,021|02|e解得, 。215.|eChapter 2(P47)5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩
2、阵:。012A解:设 。分别求如下线性方程组:, , 。0A10A先求 的 LU 分解(利用分解的紧凑格式) ,。3)0(21)(即, , 。L3021U经直接三角分解法的回代程,分别求解方程组,和 ,得, ;01Lyy1和 ,得, ;01LyyU32和 ,得, ; 。10LyyU312所以, 。31201A(P47)6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组: 8162513402343x解:平方根法:先求系数矩阵 的 Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式) ,A,即, ,其中, 。1)5(21)5(3)(3402)( 12310LTLA经平方根法的回代程,分别求解方程组和 ,得,
3、。8162LyyxT1x改进平方根法:先求系数矩阵 的形如 的分解,其中 为单位下三角矩阵,ATLD4)(ijlL为对角矩阵。,4321ddiagD利用计算公式,得;1;1,2,2dlt ;9,2,3331 dl。1,2,16, 4441424 dltt分别求解方程组,和 ,得, 。816LyyxDT1x(P48)12. 已知方程组 的解为 。98.0.21x10,21x(1) 计算系数矩阵的条件数;(2) 取 ,分别计算残量 。TTx)5.,(,)01(*2* )2,(*iAbri本题的计算结果说明了什么?解:(1)设 ,求得, 。98.A 10981A从而, 。3601)(1Cond(2)
4、计算得, , ; , 。Tr)01.,(101.r Tr)985.0,.(298.12r这说明,系数矩阵的条件数很大时,残量的大小不能反映近似解精度的高低。Chapter 3(P72)3. 用 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代求解方程组1231xx取初值 ,迭代 4 次,并比较它们的计算结果。Tx)0,()0解:由方程组得, 121332xx从而,Jacobi 迭代格式为:,12)()(1)1(332)()()( kkkkkkxx .,0Gauss-Seidel 迭代格式为:,12)()1()1(332)()()( kkkkkkxx .,20整理得,123)()1(3)(2
5、)()( kkkkkx.,20Jacobi 迭代: TTTTT xxxx )1,3()1,3(),(),()0,( )4)3)2)1)0 Gauss-Seidel 迭代: TTTTTx )5,()7,5(),1(),0(),( )4)3)2)1)0 Jacobi 迭代中 已经是方程组的精确解,而从 Gauss-Seidel 迭代的计算结果,可以预见它)3(x是发散的。(P73)9.设有方程组312124bxa(1) 分别写出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的计算公式,(2) 用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的 的取值范围。a解: 由方程组得, 3132214
6、bax从而,Jacobi 迭代格式为:, 3)(1)1(3221)()()(4baxxkkkkk .,20迭代矩阵为: 04aB设 ,求得, ,故 。0|I |5|,5,321 aa |5)(aB另由 Jacobi 迭代格式,得 Gauss-Seidel 迭代格式为: ,31)(32)(2)1(3 22)()()( 44baxaxkkk kkk .,10k迭代矩阵为: 20G设 , 求得, ,故 。|I23215,0,a25)(aG另外,应保证方程组的系数矩阵非奇异,解得, 。由迭代收敛的充要条件得,Jacobi 迭代收敛 ;Gauss-Seidel 迭代收敛 。5|a 5|a故,使得两种迭代
7、法都收敛的 的取值范围是相同的: 。|(P74)12.证明对称矩阵 当 时为正定矩阵,且只有当 时,1aA221|aJacobi 迭代解 才收敛。bx解: 为正定当且仅当以下三个不等式同时成立:A,01,01, aa解之得, 。此时解方程组的 Gauss-Seidel 迭代收敛。12a另外,可得解方程组的 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为 0aB解得, 。由收敛的充要条件,Jacobi 迭代收敛当且仅当 。|2)(aB 21|aChapter 5(P140)7.设 为 个互异节点, 为这组节点上的 次nx,10 1),10)(njxljnLagrange 插值基函数,试证:(1) ;nj kjkl0,)((2) 。njjkj nxl0 ,10,)(证:(1)对于固定的 ,设 ,则 为次数不超过 的,1knjjkxlP0)()()(Pn多项式,且, kiix)(n,1而对于多项式函数 当然也满足如上的等式条件以及次数 ,由 Lagrange 插值问题的适kx 定性, 。P)((2)对于固定的 ,,21nk njjiki ikiijnj jkikijj xlxCxCxllx 0000 )()1()1()()(,证完。0)()1(0 kiki kii xxC