1、#*2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 4：数列一、选择题1. （ 2013年高考上海卷（理） ）在数列 中, ,若一个 7行 12列的矩阵的第na21ni行第 j列的元素 ,( )则该矩阵元素能取,ijijija17;ij 到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A. 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知数列 满足 ,则 的前 10项和等于na12430,3nana(A) (B) (C) (D)106109103103+【答案】C 3. （2013 年高考新课标 1（理） ）设 的三边长
2、分别为 , 的面积nABCnabcnABC为 , ,若 , ,则(nS123 1,2bca111,22n a)A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列, S2n为递减数列 D.S2n-1为递减数列, S2n为递增数列【答案】B 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD版） ）函数的图像如图所示,在区间 上可找到 个不同的数 使得=()yfx,ab(2)n12,.,nx则 的取值范围是12(),nfx(A) (B) (C) (D)3,42,343,452,3【答案】B 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 W
3、ORD版） ）已知等比数#*列 的公比为 q,记na(1)(1)2(1).,nmnmnbaa则以下结论一定正确的是( )*(1)(1)2().,mnc NA.数列 为等差数列,公差为 B.数列 为等比数列,公比为nmqnb2mqC.数列 为等比数列,公比为 D.数列 为等比数列,公比为c2c【答案】C 6. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD版含答案） ）等比数列 na的前 项和为 nS,已知 1230a, 95,则 1a(A)31 (B) 1 (C) (D) 9【答案】C 7. （2013 年高考新课标 1（理） ）设等差数列 的前 项和为na,则 (
4、)11,2,0,3nmmSSA.3 B.4 C.5 D.6【答案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）下面是关于公差 的等差数列 的四个命题:0dna1:np数 列 是 递 增 数 列 ； 2:npa数 列 是 递 增 数 列 ；3:数 列 是 递 增 数 列 ； 4:3nd数 列 是 递 增 数 列 ；其中的真命题为(A) (B) (C) (D)12,p34,p23,p14,p【答案】D 9. （2013 年高考江西卷（理） ）等比数列 x,3x+3,6x+6,.的第四项等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空题10.
5、（2013 年高考四川卷（理） ）在等差数列 中, ,且 为 和 的等比中na2184a23项,求数列 的首项、公差及前 项和.na#*【答案】解:设该数列公差为 ,前 项和为 .由已知,可得 dnns. 2111128,38ada所以 , 40解得 ,或 ,即数列 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 11dna所以数列的前 项和 或 n4s23n11. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD版含答案） ）等差数列 na的前 项和为 nS,已知 105,2S,则 n的最小值为_.【答案】 4912. （2013 年高考湖北卷（理） ）古希腊毕
6、达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,第 个三角形数为 .记第 个 边形数为n21nnk,以下列出了部分 边形数中第 个数的表达式:,Nnk3k三角形数 21nn正方形数 ,4五边形数 235N六边形数 ,6n可以推测 的表达式,由此计算 _.k10,24N选考题【答案】1000 13. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD版含附加题） ）在正项等比数列 中, , ,则满足na215376a的最大正整数 的值为_.na 2121n【答案】12 14. （2013 年高考湖南卷（理） ）设 为数列 的前 n 项和,nS
7、a#*则1(),2nnSaN(1) _; (2) _.31210S【答案】 ; 60()15. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD版） ）当时,有如下表达式:1xR211.nxxx两边同时积分得: 2222200000.ndxddx从而得到如下等式: 3111()().().ln.n请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算: 012231()().()_2 2nnnnCC【答案】 316. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）已知 na是等差数列, 1a,公差 0d, nS为其前 项和,若 125,a成等比数列,则 8_S【
8、答案】 64 17. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前 6项和为 23,前 9项和为57,则数列的前 项和 _.nn=S【答案】 257618. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD版） ）在等差数列中,已知 ,则 _.na3810a573a【答案】 219. （2013 年高考陕西卷（理） ）观察下列等式: 213262410照此规律, 第 n个等式可为_ _. )1(2)-n1-32- n（）（#*【答案】 )1(2)-n1-32-1 n（）（20. （2013 年高考新课标 1（理） ）若数列 na的前 n项和为 Sn= 2
9、13a,则数列 na的通项公式是 na=_.【答案】 = 1(2). 21. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版） ）如图,互不-相同的点 和 分别在角O的两条边上,所有 相互平行,且所12,nAX 12,nB nAB有梯形 的面积均相等.设 若 则数列 的通项公式是1n .nAa12,a_.【答案】 *,23Nnan22. （2013 年高考北京卷（理） ）若等比数列 an满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_;前n项和 Sn=_.【答案】2, 1223. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知等比
10、数列是递增数列, 是 的前 项和,若 是方程 的两个根,则nanSa13a， 2540x_.6S【答案】63 三、解答题24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD版） ）设函数,证明:22()1(,)3nnnxxfxRN#*()对每个 ,存在唯一的 ,满足 ;nN213nx()0nfx()对任意 ,由()中 构成的数列 满足 .p1np【答案】解: () 是 x224322 1)(0 nxxfnxyx n 是 单 调 递 增 的时 ，当的单调递增函数,也是 n的单调递增函数. . 01)(,0nnff且10)(,10( 32n xxxfx ， 且满 足存 在
11、 唯 一 xxf nnn 14142),).( 22243时当,30)(14)(0 nnnnn xxxf综上,对每个 ,存在唯一的 ,满足 ;(证毕) N23nnf() 由题知 0431)(,01 222 nxxxfx nnnpn )()1(432)( 22222 pxf npnpnpppnpn 上式相减: 22122423222432 )()(pnxnxxxnxx pppnpnpnnn ）（）（ 221224232 )()(- pnpnpnppnpn . xpn1-1法二: #*25. （2013 年高考上海卷（理） ）(3 分+6 分+9 分)给定常数 ,定义函数0c,数列 满足 .()2
12、|4|fxcxc123,a *1()nnafN(1)若 ,求 及 ;(2)求证:对任意 ,;1a2a3 *,Nc(3)是否存在 ,使得 成等差数列?若存在,求出所有这样的 ,若不存在,说1,n 1a明理由.【答案】:(1)因为 , ,故 , 0c1(2)ac111()2|4|2afacc312()|4|0af#*(2)要证明原命题,只需证明 对任意 都成立, ()fxcxR()2|4|fxc即只需证明 |+xc若 ,显然有 成立; 0xc|=0xc若 ,则 显然成立 2|4| 4xcxc综上, 恒成立,即对任意的 , ()f*nN1na(3)由(2)知,若 为等差数列,则公差 ,故 n无限增大
13、时,总有 na0dc0na此时, 1()24)()8n nfc即 8dc故 , 21111()|afaac即 , |4|8c当 时,等式成立,且 时, ,此时 为等差数列,满足题意; 10c2n0nn若 ,则 , a11|4acac此时, 也满足题意; 238,()8n综上,满足题意的 的取值范围是 . 1,c26. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD版含附加题） ）本小题满分 10分.设数列 ,即当12,344na： ， -， ， -， ， -， ， ， -1-1kk 个（ ） ， ， （ ）时, ,记 ,对kk（ ） （ ） N1kna（ ）
14、 12nnSa N于 ,定义集合lN lPnSNl是 的 整 数 倍 ， ， 且(1)求集合 中元素的个数; (2)求集合 中元素的个数.1 20P【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用#*数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列 的定义得: , , , , , ,na1a23a435a6, , , , 47a849051 , , , , , , , , ,1S23SS627S89S, 05 , , , , 1a44551a66211a集合 中元素的个数为 5 P(2)证明:用数学归纳法先证 )()12(iSi事实上, 当 时,
15、故原式成立 1i 3)(3)12( i 假设当 时,等式成立,即 故原式成立 m)12()12( mSm则: ,时, i 2222)12(32)(11)(2 )()1()()() mSSm)()5(2综合得: 于是 12)12(iSi)1(2)1()(12)( iiiii由上可知: 是 的倍数 (i)而 ,所以 是 )2,112)( ijaji )()12()12(ijSiji的倍数 ),)( iji又 不是 的倍数, (12)(iSi i而 )2,1)2)( jaji 所以 不是)2()1()()12( ijiiSiji的倍数 ,)(1ji#*故当 时,集合 中元素的个数为 )12(illP
16、2i1-31）（于是当 时,集合 中元素的个数为 ）（ i2jlPj又 4730）（故集合 中元素的个数为 2P108227. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD版） ）在公差为的等差数列 中,已知 ,且 成等比数列.dna10325,a(1)求 ; (2)若 ,求,d.| na【答案】解:()由已知得到: 2221311()54()50()()5()a dd; 41346nnddaa或()由(1)知,当 时, , 01na当 时, 1n23123(10)(21)|nnnaaaAA当 时, 1n231231213210| ()(10()()n nnaaaAAA所以,综上所述: ; 1232(1),(1)| 0,2nnaaA28. （2013 年高考湖北卷（理） ）已知等比数列 满足 : , .n231a235(I)求数列 的通项公式;na
